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1 已知$\odot O$的半径为5,点$P$在$\odot O$内,则$OP$的长可能是 (
A.7
B.6
C.5
D.4
D
)A.7
B.6
C.5
D.4
答案
∵ $\odot O$ 的半径为 5,点 P 在 $\odot O$ 内,
∴ OP＜5. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系对应的数量判定规则：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，当$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。本题已知圆的半径和点在圆内的位置，我们先根据规则推出$OP$的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$OP$。
已知$r=5$，点$P$在$\odot O$内，根据点在圆内的判定规则可得：$OP ＜ r$，即$OP ＜ 5$。
对比各选项：A选项$7＞5$、B选项$6＞5$均不满足要求；C选项$5=5$，对应点在圆上，也不符合；只有D选项$4＜5$满足条件。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查点与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握不同位置下点到圆心的距离和半径的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系对应的数量判定规则：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，当$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。本题已知圆的半径和点在圆内的位置，我们先根据规则推出$OP$的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$OP$。
已知$r=5$，点$P$在$\odot O$内，根据点在圆内的判定规则可得：$OP ＜ r$，即$OP ＜ 5$。
对比各选项：A选项$7＞5$、B选项$6＞5$均不满足要求；C选项$5=5$，对应点在圆上，也不符合；只有D选项$4＜5$满足条件。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查点与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握不同位置下点到圆心的距离和半径的大小关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2[2026湖北随州期末]如图,以正方形的顶点A为圆心,AB长为半径画圆,下列说法正确的是 (
A.点A在圆内
B.点B在圆内
C.点C在圆上
D.点D在圆外
A
)A.点A在圆内
B.点B在圆内
C.点C在圆上
D.点D在圆外
答案
连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=AD,AC＞AB,
∴ 点 A 在圆内,点 B,D 在圆上,点 C 在圆外. 故选 A.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=AD,AC＞AB,
∴ 点 A 在圆内,点 B,D 在圆上,点 C 在圆外. 故选 A.
解析
【分析】
判断点与圆的位置关系的核心依据是：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题中圆的圆心为A，半径r=AB，因此只需结合正方形的性质，分别求出点A、B、C、D到点A的距离，再和r比较大小，即可逐一判断选项的正误。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，且对角线AC=√2 AB ＞ AB，
已知所画圆的圆心为A，半径r=AB：
① 点A到圆心的距离为0，0 ＜ AB，故点A在圆内；
② 点B到圆心的距离为AB，等于半径，故点B在圆上；
③ 点D到圆心的距离为AD=AB，等于半径，故点D在圆上；
④ 点C到圆心的距离为AC＞AB，故点C在圆外。
综上只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；正方形的性质
【点评】
本题侧重基础，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合正方形边长、对角线的长度特征对比距离和半径的大小，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
判断点与圆的位置关系的核心依据是：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题中圆的圆心为A，半径r=AB，因此只需结合正方形的性质，分别求出点A、B、C、D到点A的距离，再和r比较大小，即可逐一判断选项的正误。
【解析】
连接AC，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，且对角线AC=√2 AB ＞ AB，
已知所画圆的圆心为A，半径r=AB：
① 点A到圆心的距离为0，0 ＜ AB，故点A在圆内；
② 点B到圆心的距离为AB，等于半径，故点B在圆上；
③ 点D到圆心的距离为AD=AB，等于半径，故点D在圆上；
④ 点C到圆心的距离为AC＞AB，故点C在圆外。
综上只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；正方形的性质
【点评】
本题侧重基础，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合正方形边长、对角线的长度特征对比距离和半径的大小，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
3[2025江苏无锡调研]如图,数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动,在原点右侧且距原点7个单位处有一点P,经过
3或4
秒,点P在⊙O上.答案
当点 P 第一次在 $\odot O$ 上时,(7-1)÷2=3(秒); 当点 P 第二次在 $\odot O$ 上时,[7-(-1)]÷2=4(秒). 综上所述,经过 3 秒或 4 秒,点 P 在 $\odot O$ 上. 故答案为 3 或 4.
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系：点在圆上等价于点到圆心的距离等于圆的半径。本题中⊙O向右匀速运动，点P固定在数轴上7的位置，点P在圆上分两种情况：①⊙O刚接触到点P，此时圆的右端点与P重合，圆心在P左侧，距离P为1个单位；②⊙O穿过点P，此时圆的左端点与P重合，圆心在P右侧，距离P为1个单位。先求出两种情况对应的圆心位置，再根据“时间=路程÷速度”计算对应时间即可。
【解析】
设经过$t$秒时，点$P$在$\odot O$上。
已知$\odot O$的半径为1，运动速度为每秒2个单位向右，因此$t$秒后圆心$O$对应的数轴上的数为$2t$，点$P$对应的数为7。
当点$P$在$\odot O$上时，圆心$O$到点$P$的距离等于半径1，即：
$|2t - 7| = 1$
分两种情况求解：
1. 当圆心在点$P$左侧时：
$7 - 2t = 1$
解得$2t=6$，$t=3$；
2. 当圆心在点$P$右侧时：
$2t - 7 = 1$
解得$2t=8$，$t=4$。
综上，经过3秒或4秒时，点$P$在$\odot O$上。
【答案】
3或4
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题属于几何与动点结合的基础题型，解题核心是掌握点在圆上的判定条件，注意分情况讨论所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆点与圆的位置关系：点在圆上等价于点到圆心的距离等于圆的半径。本题中⊙O向右匀速运动，点P固定在数轴上7的位置，点P在圆上分两种情况：①⊙O刚接触到点P，此时圆的右端点与P重合，圆心在P左侧，距离P为1个单位；②⊙O穿过点P，此时圆的左端点与P重合，圆心在P右侧，距离P为1个单位。先求出两种情况对应的圆心位置，再根据“时间=路程÷速度”计算对应时间即可。
【解析】
设经过$t$秒时，点$P$在$\odot O$上。
已知$\odot O$的半径为1，运动速度为每秒2个单位向右，因此$t$秒后圆心$O$对应的数轴上的数为$2t$，点$P$对应的数为7。
当点$P$在$\odot O$上时，圆心$O$到点$P$的距离等于半径1，即：
$|2t - 7| = 1$
分两种情况求解：
1. 当圆心在点$P$左侧时：
$7 - 2t = 1$
解得$2t=6$，$t=3$；
2. 当圆心在点$P$右侧时：
$2t - 7 = 1$
解得$2t=8$，$t=4$。
综上，经过3秒或4秒时，点$P$在$\odot O$上。
【答案】
3或4
【知识点】
点与圆的位置关系；数轴动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题属于几何与动点结合的基础题型，解题核心是掌握点在圆上的判定条件，注意分情况讨论所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4[2025 江苏宿迁期末]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$D$是$AB$边的中点，以点$C$为圆心，$2.4\ \mathrm{cm}$为半径作圆，则点$D$与$\odot C$的位置关系是
点 D 在$\odot C$外
.答案
连接 CD. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,∠ACB = 90°, AC = 4 cm, BC = 3 cm,
∴ AB = $\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$.
∵ D 是 AB 边的中点,
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$, 即点 D 到圆心 C 的距离为 2.5 cm.
∵ $\odot C$ 的半径为 2.4 cm,2.5＞2.4,
∴ 点 D 在 $\odot C$ 外. 故答案为点 D 在 $\odot C$ 外.
∴ AB = $\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$.
∵ D 是 AB 边的中点,
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$, 即点 D 到圆心 C 的距离为 2.5 cm.
∵ $\odot C$ 的半径为 2.4 cm,2.5＞2.4,
∴ 点 D 在 $\odot C$ 外. 故答案为点 D 在 $\odot C$ 外.
解析
【分析】要判断点D与$\odot C$的位置关系，核心是比较点D到圆心C的距离与圆的半径的大小：若距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内。首先结合直角三角形的两条直角边长，用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出CD的长度，最后将CD的长度与半径2.4cm比较大小，即可得出结论。
【解析】
连接CD，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$，
$\because$ D是AB边的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$，即点D到圆心C的距离为2.5cm，
$\because \odot C$的半径为2.4cm，$2.5＞2.4$，
$\therefore$ 点D在$\odot C$外。
【答案】
点D在$\odot C$外
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题的关键是明确点与圆位置关系的判断依据，结合直角三角形的相关性质求出点到圆心的距离，再与半径作比较即可。
【难度系数】
0.8
【解析】
连接CD，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$，
$\because$ D是AB边的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$，即点D到圆心C的距离为2.5cm，
$\because \odot C$的半径为2.4cm，$2.5＞2.4$，
$\therefore$ 点D在$\odot C$外。
【答案】
点D在$\odot C$外
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题的关键是明确点与圆位置关系的判断依据，结合直角三角形的相关性质求出点到圆心的距离，再与半径作比较即可。
【难度系数】
0.8
5[2026江苏宿迁调研]如图,已知$\odot O$和直线$l$,过圆心$O$作$OP ⊥ l$,$P$为垂足,$A,B,C$为直线$l$上三个点,且$PA=2\ \mathrm{cm}$,$PB=3\ \mathrm{cm}$,$PC=4\ \mathrm{cm}$.若$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$,$OP=4\ \mathrm{cm}$,判断$A,B,C$三点与$\odot O$的位置关系.
答案
∵ $PA=2\ \mathrm{cm}$,
∴ $OA=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\ (\mathrm{cm})＜5\ \mathrm{cm}$,
∴ 点 A 在 $\odot O$ 内.
∵ $PB=3\ \mathrm{cm}$,
∴ $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$,
∴ 点 B 在 $\odot O$ 上.
∵ $PC=4\ \mathrm{cm}$,
∴ $OC=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\ (\mathrm{cm})＞5\ \mathrm{cm}$,
∴ 点 C 在 $\odot O$ 外.
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。本题中OP垂直于直线l，因此△OPA、△OPB、△OPC均为直角三角形，我们可以利用勾股定理分别计算OA、OB、OC的长度，再与⊙O的半径5cm比较，即可得到三点与圆的位置关系。
【解析】
已知OP⊥l，OP=4cm，⊙O半径r=5cm。
对于点A：
∵ PA=2cm，由勾股定理可得 $OA=\sqrt{PA^2+OP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$
∵ $\sqrt{20}＜5$，即$OA＜r$
∴ 点A在$\odot O$内。
对于点B：
∵ PB=3cm，由勾股定理可得 $OB=\sqrt{PB^2+OP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∵ $OB=r$
∴ 点B在$\odot O$上。
对于点C：
∵ PC=4cm，由勾股定理可得 $OC=\sqrt{PC^2+OP^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$
∵ $\sqrt{32}＞5$，即$OC＞r$
∴ 点C在$\odot O$外。
【答案】
点A在$\odot O$内，点B在$\odot O$上，点C在$\odot O$外。
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 勾股定理
3. 垂线的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是结合勾股定理准确计算各点到圆心的距离，再和半径比较大小即可，是对基础知识点运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。本题中OP垂直于直线l，因此△OPA、△OPB、△OPC均为直角三角形，我们可以利用勾股定理分别计算OA、OB、OC的长度，再与⊙O的半径5cm比较，即可得到三点与圆的位置关系。
【解析】
已知OP⊥l，OP=4cm，⊙O半径r=5cm。
对于点A：
∵ PA=2cm，由勾股定理可得 $OA=\sqrt{PA^2+OP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$
∵ $\sqrt{20}＜5$，即$OA＜r$
∴ 点A在$\odot O$内。
对于点B：
∵ PB=3cm，由勾股定理可得 $OB=\sqrt{PB^2+OP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∵ $OB=r$
∴ 点B在$\odot O$上。
对于点C：
∵ PC=4cm，由勾股定理可得 $OC=\sqrt{PC^2+OP^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$
∵ $\sqrt{32}＞5$，即$OC＞r$
∴ 点C在$\odot O$外。
【答案】
点A在$\odot O$内，点B在$\odot O$上，点C在$\odot O$外。
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 勾股定理
3. 垂线的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是结合勾股定理准确计算各点到圆心的距离，再和半径比较大小即可，是对基础知识点运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
6[2026江苏连云港质检]如图,已知点P,Q,且PQ=4 cm.
(1)画出下列图形:到点P的距离等于2 cm的点的集合;到点Q的距离等于3 cm的点的集合.
(2)在所画图中,到点P的距离等于2 cm,且到点Q的距离等于3 cm的点有几个?请在图中将它们表示出来.
(1)画出下列图形:到点P的距离等于2 cm的点的集合;到点Q的距离等于3 cm的点的集合.
(2)在所画图中,到点P的距离等于2 cm,且到点Q的距离等于3 cm的点有几个?请在图中将它们表示出来.
答案
(1)如图,到点 P 的距离等于 2 cm 的点的集合即为 $\odot P$;到点 Q 的距离等于 3 cm 的点的集合即为 $\odot Q$.
(2)到点 P 的距离等于 2 cm,且到点 Q 的距离等于 3 cm 的点有 2 个,即图中的点 C,D.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的集合定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径。针对第(1)问，分别以P、Q为圆心，对应长度为半径画圆即可得到所求点的集合；针对第(2)问，同时满足两个距离条件的点是两个圆的公共点，先判断两圆的位置关系：已知PQ=4cm，两圆半径分别为2cm和3cm，半径差1cm＜4cm＜半径和5cm，因此两圆相交，交点个数即为所求点的个数。
【解析】
(1)根据圆的定义：
到点P的距离等于2cm的点的集合，是以点P为圆心，2cm为半径的圆，记为$\odot P$；
到点Q的距离等于3cm的点的集合，是以点Q为圆心，3cm为半径的圆，记为$\odot Q$，所画图形见答案。
(2)同时满足到点P距离等于2cm、到点Q距离等于3cm的点，是$\odot P$和$\odot Q$的公共点。
已知$PQ=4\mathrm{cm}$，$\odot P$半径$r=2\mathrm{cm}$，$\odot Q$半径$R=3\mathrm{cm}$，
可得$R-r=1\mathrm{cm}$，$R+r=5\mathrm{cm}$，满足$1\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，因此两圆相交，有2个公共点，即图中的点C、D。
【答案】
(1)如图,到点 P 的距离等于 2 cm 的点的集合即为 $\odot P$;到点 Q 的距离等于 3 cm 的点的集合即为 $\odot Q$.
(2)到点 P 的距离等于 2 cm,且到点 Q 的距离等于 3 cm 的点有 2 个,即图中的点 C,D.
【知识点】
圆的定义；两圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对圆的集合定义的理解，以及利用两圆半径和圆心距的大小关系判断两圆位置关系、确定交点个数的方法，有助于巩固圆的相关基础概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的集合定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径。针对第(1)问，分别以P、Q为圆心，对应长度为半径画圆即可得到所求点的集合；针对第(2)问，同时满足两个距离条件的点是两个圆的公共点，先判断两圆的位置关系：已知PQ=4cm，两圆半径分别为2cm和3cm，半径差1cm＜4cm＜半径和5cm，因此两圆相交，交点个数即为所求点的个数。
【解析】
(1)根据圆的定义：
到点P的距离等于2cm的点的集合，是以点P为圆心，2cm为半径的圆，记为$\odot P$；
到点Q的距离等于3cm的点的集合，是以点Q为圆心，3cm为半径的圆，记为$\odot Q$，所画图形见答案。
(2)同时满足到点P距离等于2cm、到点Q距离等于3cm的点，是$\odot P$和$\odot Q$的公共点。
已知$PQ=4\mathrm{cm}$，$\odot P$半径$r=2\mathrm{cm}$，$\odot Q$半径$R=3\mathrm{cm}$，
可得$R-r=1\mathrm{cm}$，$R+r=5\mathrm{cm}$，满足$1\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，因此两圆相交，有2个公共点，即图中的点C、D。
【答案】
(1)如图,到点 P 的距离等于 2 cm 的点的集合即为 $\odot P$;到点 Q 的距离等于 3 cm 的点的集合即为 $\odot Q$.
(2)到点 P 的距离等于 2 cm,且到点 Q 的距离等于 3 cm 的点有 2 个,即图中的点 C,D.
【知识点】
圆的定义；两圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对圆的集合定义的理解，以及利用两圆半径和圆心距的大小关系判断两圆位置关系、确定交点个数的方法，有助于巩固圆的相关基础概念。
【难度系数】
0.8
7 如图所示，D为等边$△ ABC$的边BC的中点，AB=2，动点M满足$AM ⊥ CM$。
(1)求证:点A,D,C,M在同一个圆上；
(2)连接BM,求线段BM的最大值与最小值。
(1)求证:点A,D,C,M在同一个圆上；
(2)连接BM,求线段BM的最大值与最小值。
答案
(1)【证明】如图,连接 AD,取 AC 的中点 O,连接 OD,OM.
∵ $△ ABC$ 是等边三角形, BD = DC,
∴ AD ⊥ BC.
∵ AM ⊥ CM,
∴ ∠ADC = ∠AMC = 90°.
∵ OA = OC,
∴ OD=OA=OC=OM,
∴ 点 A,D,C,M 在同一个圆上.
(2)【解】如图,连接 OB.
∵ AB = AC = BC = 2,AO = OC,
∴ BO ⊥ AC,
∴ $BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∵ OB-OM ≤ BM ≤ OB+OM, 且 OM = OA = OC = 1,
∴ $\sqrt{3}-1 ≤ BM ≤ \sqrt{3}+1$,
∴ BM 的最大值为 $\sqrt{3}+1$,最小值为 $\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
(1)要证明四点共圆，可验证四个点到同一个定点的距离相等。观察到∠ADC和∠AMC均为直角，且公共斜边为AC，因此取AC中点O，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可证得A、D、C、M到O的距离相等，从而得到四点共圆。
(2)由(1)可知动点M的轨迹是以O为圆心、OA长为半径的圆，求BM的最值可利用圆外一点到圆上点的距离规律：最大距离为点到圆心的距离加半径，最小距离为点到圆心的距离减半径。先计算点B到圆心O的距离，再结合半径长度即可求出BM的最值。
【解析】
(1)证明：如图，连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM。
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴AD⊥BC（等边三角形三线合一），即∠ADC=90°。
∵AM⊥CM，
∴∠AMC=90°。
∵O是AC中点，在Rt△ADC和Rt△AMC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OD=OA=OC=OM=$\frac{1}{2}$AC，
∴点A、D、C、M在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
(2)解：如图，连接OB。
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=2，O为AC中点，
∴BO⊥AC（等边三角形三线合一），AO=$\frac{1}{2}$AC=1。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵点M在以O为圆心、半径OM=1的圆上，根据点与圆的位置关系可得$OB-OM ≤ BM ≤ OB+OM$，
代入数值计算得：$\sqrt{3}-1 ≤ BM ≤ \sqrt{3}+1$。
【答案】
(1)点A,D,C,M在同一个圆上，证明成立；
(2)BM的最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【知识点】
四点共圆的判定；等边三角形的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的几何综合题，结合了等边三角形、直角三角形和圆的相关性质考查，解题核心是先确定动点的运动轨迹为圆，再利用圆的性质求解线段最值，是几何最值类问题的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1)要证明四点共圆，可验证四个点到同一个定点的距离相等。观察到∠ADC和∠AMC均为直角，且公共斜边为AC，因此取AC中点O，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可证得A、D、C、M到O的距离相等，从而得到四点共圆。
(2)由(1)可知动点M的轨迹是以O为圆心、OA长为半径的圆，求BM的最值可利用圆外一点到圆上点的距离规律：最大距离为点到圆心的距离加半径，最小距离为点到圆心的距离减半径。先计算点B到圆心O的距离，再结合半径长度即可求出BM的最值。
【解析】
(1)证明：如图，连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM。
∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴AD⊥BC（等边三角形三线合一），即∠ADC=90°。
∵AM⊥CM，
∴∠AMC=90°。
∵O是AC中点，在Rt△ADC和Rt△AMC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OD=OA=OC=OM=$\frac{1}{2}$AC，
∴点A、D、C、M在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
(2)解：如图，连接OB。
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=2，O为AC中点，
∴BO⊥AC（等边三角形三线合一），AO=$\frac{1}{2}$AC=1。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵点M在以O为圆心、半径OM=1的圆上，根据点与圆的位置关系可得$OB-OM ≤ BM ≤ OB+OM$，
代入数值计算得：$\sqrt{3}-1 ≤ BM ≤ \sqrt{3}+1$。
【答案】
(1)点A,D,C,M在同一个圆上，证明成立；
(2)BM的最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【知识点】
四点共圆的判定；等边三角形的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的几何综合题，结合了等边三角形、直角三角形和圆的相关性质考查，解题核心是先确定动点的运动轨迹为圆，再利用圆的性质求解线段最值，是几何最值类问题的常考题型。
【难度系数】
0.6
