登录
8[2026山东济宁期中,较难]“作圆”这种作辅助线的方法不经常用,但有时用起来会使问题变得很简单,例如小明遇到的这道题目:
如图(1),已知$AB=AC=AD$,$∠ CBD=2∠ BDC$,$∠ BAC=40°$,求$∠ CAD$的度数.
小明解决不了,去问学霸小刚,小刚说:“$AB=AC=AD$,说明$B,C,D$在以$A$为圆心,$AB$长为半径的圆上.以$A$为圆心,$AB$长为半径画圆,再利用圆的知识就可以很轻松地解决这个问题.”
(1)请你利用小刚的方法解答这道题目,写出完整的解题步骤.
(2)请你用学到的方法解答下面的题目.
如图(2),在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$为对角线$AC$的中点,连接$BE$,$ED$,$BD$.若$∠ BAD=60°$,$BE=2$,求$BD$的长.
如图(1),已知$AB=AC=AD$,$∠ CBD=2∠ BDC$,$∠ BAC=40°$,求$∠ CAD$的度数.
小明解决不了,去问学霸小刚,小刚说:“$AB=AC=AD$,说明$B,C,D$在以$A$为圆心,$AB$长为半径的圆上.以$A$为圆心,$AB$长为半径画圆,再利用圆的知识就可以很轻松地解决这个问题.”
(1)请你利用小刚的方法解答这道题目,写出完整的解题步骤.
(2)请你用学到的方法解答下面的题目.
如图(2),在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$为对角线$AC$的中点,连接$BE$,$ED$,$BD$.若$∠ BAD=60°$,$BE=2$,求$BD$的长.
答案
(1)【解】$\because AB = AC = AD$, $\therefore B$, $C$, $D$ 在以 $A$ 为圆心, $AB$ 长为半径的圆上. 如图(1), 以 $A$ 为圆心, $AB$ 长为半径画圆.
$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BC}$, $\therefore ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$. $\because ∠ CBD = 2∠ BDC$, $\therefore ∠ CBD = 2∠ BDC = 2 × 20° = 40°$. $\because \overset{\frown}{DC} = \overset{\frown}{DC}$, $\therefore ∠ CAD = 2∠ CBD = 2 × 40° = 80°$.(2) $\because$ 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$, $\therefore ∠ ABC + ∠ ADC = 90° + 90° = 180°$, $\therefore$ 点 $A$, $B$, $C$, $D$ 共圆, 且 $AC$ 是直径. $\because E$ 为对角线 $AC$ 的中点, $\therefore E$ 为圆心. 以点 $E$ 为圆心, $AE$ 长为半径画圆, 如图(2).
$\because \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$, $\therefore ∠ BED = 2∠ BAD = 2 × 60° = 120°$. 过点 $E$ 作 $EH ⊥ BD$ 于 $H$, 则 $∠ BHE = 90°$, $BH = \frac{1}{2}BD$, $∠ BEH = \frac{1}{2}∠ BED = \frac{1}{2} × 120° = 60°$, $\therefore ∠ EBH = 30°$. $\because BE = 2$, $\therefore EH = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2} × 2 = 1$, $\therefore BH = \sqrt{BE^2 - EH^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$, 则 $BD = 2BH = 2\sqrt{3}$.解析
【分析】
(1) 第一问已知AB=AC=AD，即共端点A的三条线段长度相等，因此B、C、D三点在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，构造辅助圆后，利用圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，先结合已知∠BAC求出∠BDC，再根据∠CBD与∠BDC的数量关系求出∠CBD，最后再次运用圆周角定理即可求出圆心角∠CAD的度数。
(2) 第二问中四边形ABCD的∠ABC、∠ADC均为90°，两个直角共斜边AC，可判定A、B、C、D四点共圆且AC为圆的直径，E是AC中点即该圆的圆心，构造辅助圆后，先用圆周角定理求出圆心角∠BED的度数，再结合等腰三角形三线合一的性质作高构造直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
(1) $\because AB = AC = AD$，
$\therefore B$，$C$，$D$ 在以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径的圆上。如图(1)，以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画圆。
$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
$\because ∠ CBD = 2∠ BDC$，
$\therefore ∠ CBD = 2 × 20° = 40°$。
$\because \overset{\frown}{DC} = \overset{\frown}{DC}$，
$\therefore ∠ CAD = 2∠ CBD = 2 × 40° = 80°$。
(2) $\because$ 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore$ 点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共圆，且 $AC$ 是圆的直径。
$\because E$ 为对角线 $AC$ 的中点，
$\therefore E$ 为该圆的圆心，以点 $E$ 为圆心，$AE$ 长为半径画圆，如图(2)。
$\because \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BED = 2∠ BAD = 2 × 60° = 120°$。
过点 $E$ 作 $EH ⊥ BD$ 于 $H$，则 $∠ BHE = 90°$，$BH = \frac{1}{2}BD$，$∠ BEH = \frac{1}{2}∠ BED = 60°$，
$\therefore ∠ EBH = 30°$。
$\because BE = 2$，
$\therefore EH = \frac{1}{2}BE = 1$，
$\therefore BH = \sqrt{BE^2 - EH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
$\therefore BD = 2BH = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=80°}$
(2) $\boldsymbol{BD=2\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理；四点共圆判定；等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查辅助圆的构造与应用，遇到共端点等线段、直角共斜边等特征时，构造辅助圆可利用圆的性质快速完成角度、线段的关系转化，是简化几何难题的重要技巧之一。
【难度系数】
0.4
(1) 第一问已知AB=AC=AD，即共端点A的三条线段长度相等，因此B、C、D三点在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，构造辅助圆后，利用圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，先结合已知∠BAC求出∠BDC，再根据∠CBD与∠BDC的数量关系求出∠CBD，最后再次运用圆周角定理即可求出圆心角∠CAD的度数。
(2) 第二问中四边形ABCD的∠ABC、∠ADC均为90°，两个直角共斜边AC，可判定A、B、C、D四点共圆且AC为圆的直径，E是AC中点即该圆的圆心，构造辅助圆后，先用圆周角定理求出圆心角∠BED的度数，再结合等腰三角形三线合一的性质作高构造直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
(1) $\because AB = AC = AD$，
$\therefore B$，$C$，$D$ 在以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径的圆上。如图(1)，以 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画圆。
$\because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
$\because ∠ CBD = 2∠ BDC$，
$\therefore ∠ CBD = 2 × 20° = 40°$。
$\because \overset{\frown}{DC} = \overset{\frown}{DC}$，
$\therefore ∠ CAD = 2∠ CBD = 2 × 40° = 80°$。
(2) $\because$ 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore$ 点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共圆，且 $AC$ 是圆的直径。
$\because E$ 为对角线 $AC$ 的中点，
$\therefore E$ 为该圆的圆心，以点 $E$ 为圆心，$AE$ 长为半径画圆，如图(2)。
$\because \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BED = 2∠ BAD = 2 × 60° = 120°$。
过点 $E$ 作 $EH ⊥ BD$ 于 $H$，则 $∠ BHE = 90°$，$BH = \frac{1}{2}BD$，$∠ BEH = \frac{1}{2}∠ BED = 60°$，
$\therefore ∠ EBH = 30°$。
$\because BE = 2$，
$\therefore EH = \frac{1}{2}BE = 1$，
$\therefore BH = \sqrt{BE^2 - EH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
$\therefore BD = 2BH = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=80°}$
(2) $\boldsymbol{BD=2\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理；四点共圆判定；等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查辅助圆的构造与应用，遇到共端点等线段、直角共斜边等特征时，构造辅助圆可利用圆的性质快速完成角度、线段的关系转化，是简化几何难题的重要技巧之一。
【难度系数】
0.4
1 构造同弧的圆周角 [2025浙江杭州质检,中]如图,圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D,连接AD,DP⊥AC,垂足为P,DH⊥BC,交BC延长线于H.有下列结论:①$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$;②AP=BH;③$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.其中一定成立的结论有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
(第1题图) (第2题图)
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
(第1题图) (第2题图)
答案
B 【解析】连接 $BD$, 如图.
$\because CD$ 平分 $∠ ACH$, $DP ⊥ AC$, $DH ⊥ BH$, $\therefore DP = DH$. $\because ∠ DAP$ 和 $∠ DBH$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆周角, $\therefore ∠ DAP = ∠ DBH$. 在 $△ ADP$ 和 $△ BDH$ 中, $\begin{cases} ∠ DAP = ∠ DBH, \\ ∠ APD = ∠ BHD = 90°, \\ DP = DH, \end{cases}$ $\therefore △ ADP ≌ △ BDH(\mathrm{AAS})$, $\therefore AD = DB$, $AP = BH$, $\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$, 故①②成立. 当且仅当 $AB = BC$ 时, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$, 故③不一定成立. 综上所述, 一定成立的结论有 2 个, 故选 B.解析
【分析】
我们逐个判断3个结论是否成立：
1. 先利用角平分线的性质，由CD平分∠ACH、DP⊥AC、DH⊥BC可得DP=DH；
2. 要判断弧AD和弧BD是否相等，可转化为判断对应弦AD=BD，结合同弧所对的圆周角相等，可得∠DAP=∠DBH，结合两个直角、DP=DH，可证△ADP和△BDH全等；
3. 由全等可得AD=BD、AP=BH，即可判断①②是否成立；
4. 对于结论③，弧AB=弧BC需要弦AB=BC，题干无相关条件，即可判断其是否成立。
【解析】
连接 $BD$，如图.
$\because CD$ 平分 $∠ ACH$, $DP ⊥ AC$, $DH ⊥ BH$,
$\therefore DP = DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
$\because ∠ DAP$ 和 $∠ DBH$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆周角,
$\therefore ∠ DAP = ∠ DBH$.
在 $△ ADP$ 和 $△ BDH$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAP = ∠ DBH, \\ ∠ APD = ∠ BHD = 90°, \\ DP = DH, \end{cases}$
$\therefore △ ADP ≌ △ BDH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD = DB$, $AP = BH$,
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）, 故①②成立.
当且仅当 $AB = BC$ 时, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$, 题干无相关条件，故③不一定成立.
综上所述, 一定成立的结论有 2 个, 故选 B.
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，圆周角定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将弧相等的问题转化为弦相等的问题，同时要注意没有明确给出的条件不能默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.6
我们逐个判断3个结论是否成立：
1. 先利用角平分线的性质，由CD平分∠ACH、DP⊥AC、DH⊥BC可得DP=DH；
2. 要判断弧AD和弧BD是否相等，可转化为判断对应弦AD=BD，结合同弧所对的圆周角相等，可得∠DAP=∠DBH，结合两个直角、DP=DH，可证△ADP和△BDH全等；
3. 由全等可得AD=BD、AP=BH，即可判断①②是否成立；
4. 对于结论③，弧AB=弧BC需要弦AB=BC，题干无相关条件，即可判断其是否成立。
【解析】
连接 $BD$，如图.
$\because CD$ 平分 $∠ ACH$, $DP ⊥ AC$, $DH ⊥ BH$,
$\therefore DP = DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
$\because ∠ DAP$ 和 $∠ DBH$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆周角,
$\therefore ∠ DAP = ∠ DBH$.
在 $△ ADP$ 和 $△ BDH$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAP = ∠ DBH, \\ ∠ APD = ∠ BHD = 90°, \\ DP = DH, \end{cases}$
$\therefore △ ADP ≌ △ BDH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD = DB$, $AP = BH$,
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）, 故①②成立.
当且仅当 $AB = BC$ 时, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$, 题干无相关条件，故③不一定成立.
综上所述, 一定成立的结论有 2 个, 故选 B.
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，圆周角定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将弧相等的问题转化为弦相等的问题，同时要注意没有明确给出的条件不能默认成立，避免错判结论③。
【难度系数】
0.6
2 连半径，构造圆心角 [2025 江苏淮安期中，中]
如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径，E为$\odot O$上一点. 若$∠ ADC=110°$，则$∠ BEC$的度数为
如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径，E为$\odot O$上一点. 若$∠ ADC=110°$，则$∠ BEC$的度数为
20°
.答案
20° 【解析】如图, 连接 $OC$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $∠ ADC = 110°$, $\therefore ∠ CBO = 180° - ∠ ADC = 180° - 110° = 70°$. $\because OB = OC$, $\therefore ∠ BCO = ∠ CBO = 70°$, $\therefore ∠ BOC = 180° - ∠ BCO - ∠ CBO = 40°$, $\therefore ∠ BEC = \frac{1}{2}∠ BOC = 20°$, 故答案为 $20°$.
解析
【分析】
解题首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠ADC的度数求出其对角∠ABC的度数；要求圆周角∠BEC，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此连接半径OC构造弧BC对应的圆心角∠BOC；再结合半径相等得到△OBC是等腰三角形，利用等腰三角形内角和求出∠BOC的度数，最后通过圆周角定理计算得到∠BEC的度数。
【解析】
如图，连接$OC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$∠ ADC = 110°$，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ADC = 180° - 110° = 70°$。
$\because OB = OC$，
$\therefore ∠ BCO = ∠ ABC = 70°$，
$\therefore ∠ BOC = 180° - ∠ BCO - ∠ ABC = 40°$，
$\therefore ∠ BEC = \frac{1}{2}∠ BOC = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，连接半径构造圆心角是解题的关键，考查学生对圆相关基础性质的掌握程度和角度转化的运算能力，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠ADC的度数求出其对角∠ABC的度数；要求圆周角∠BEC，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此连接半径OC构造弧BC对应的圆心角∠BOC；再结合半径相等得到△OBC是等腰三角形，利用等腰三角形内角和求出∠BOC的度数，最后通过圆周角定理计算得到∠BEC的度数。
【解析】
如图，连接$OC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$∠ ADC = 110°$，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ADC = 180° - 110° = 70°$。
$\because OB = OC$，
$\therefore ∠ BCO = ∠ ABC = 70°$，
$\therefore ∠ BOC = 180° - ∠ BCO - ∠ ABC = 40°$，
$\therefore ∠ BEC = \frac{1}{2}∠ BOC = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，连接半径构造圆心角是解题的关键，考查学生对圆相关基础性质的掌握程度和角度转化的运算能力，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
3 构造圆内接四边形 [2025黑龙江大庆期末,中]
如图,点A,B,C在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,若对角线AC=2√3,则OA的长为
(第3题图)
(第4题图)
如图,点A,B,C在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,若对角线AC=2√3,则OA的长为
2
.(第3题图)
(第4题图)
答案
2 【解析】如图, 在优弧 $AC$ 上找一点 $M$, 连接 $AM$, $CM$, $OB$, $OB$ 交 $AC$ 于点 $N$, 则 $∠ AOC = 2∠ AMC$. $\because$ 四边形 $OABC$ 是平行四边形, $\therefore ∠ ABC = ∠ AOC = 2∠ AMC$. $\because$ 四边形 $MABC$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ AMC + ∠ ABC = 180°$, $\therefore ∠ AMC + 2∠ AMC = 180°$, $\therefore ∠ AMC = 60°$, $\therefore ∠ AOC = 120°$. $\because$ 四边形 $OABC$ 是平行四边形, $AC = 2\sqrt{3}$, $\therefore AN = CN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$. $\because OA = OC$, $\therefore$ 四边形 $OABC$ 为菱形, $∠ OAC = ∠ OCA = 30°$, $\therefore OB ⊥ AC$, $\therefore ∠ ONA = 90°$, $\therefore OA = 2ON$, $\therefore (2ON)^2 = ON^2 + (\sqrt{3})^2$, $\therefore ON = 1$, $\therefore OA = 2ON = 2$, 故答案为 2.
关键点拨
构造圆内接四边形, 求出 $∠ AOC = 120°$ 是解题的关键.
解析
【分析】
要求OA的长度，已知AC的长，可结合圆的性质与平行四边形的性质推导图形特征求解：首先OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC，可推出平行四边形OABC是菱形，菱形对角线互相垂直平分，可得AC被OB平分的结论；接下来需要得到△OAC的内角度数，结合圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，再构造圆内接四边形利用对角互补的性质，即可求出∠AOC的度数，最后在直角三角形中利用勾股定理或30°直角三角形的性质计算OA的长度即可。
【解析】
解：如图，在优弧$AC$上找一点$M$，连接$AM$、$CM$，连接$OB$交$AC$于点$N$。
1. 根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC = 2∠ AMC$。
2. $\because$四边形$OABC$是平行四边形，$\therefore$对角相等，即$∠ ABC = ∠ AOC = 2∠ AMC$。
3. $\because$四边形$MABC$是$\odot O$的内接四边形，$\therefore$对角互补，即$∠ AMC + ∠ ABC = 180°$。
将$∠ ABC=2∠ AMC$代入得：$∠ AMC + 2∠ AMC = 180°$，解得$∠ AMC = 60°$，$\therefore ∠ AOC = 2×60°=120°$。
4. $\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$\therefore$邻边相等的平行四边形$OABC$是菱形。
菱形对角线互相垂直平分，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$OB⊥ AC$，即$∠ ONA=90°$。
5. 在$△ OAC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=120°$，$\therefore ∠ OAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONA$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，故$OA=2ON$。
由勾股定理得：$OA^2=ON^2+AN^2$，代入$OA=2ON$、$AN=\sqrt{3}$得：
$(2ON)^2=ON^2+(\sqrt{3})^2$，即$4ON^2=ON^2+3$，解得$ON=1$（长度为正），$\therefore OA=2ON=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将圆的性质与平行四边形、菱形的性质结合考查，解题的突破口是构造圆内接四边形求出圆心角$∠ AOC$的度数，再结合菱形对角线的性质即可求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求OA的长度，已知AC的长，可结合圆的性质与平行四边形的性质推导图形特征求解：首先OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC，可推出平行四边形OABC是菱形，菱形对角线互相垂直平分，可得AC被OB平分的结论；接下来需要得到△OAC的内角度数，结合圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，再构造圆内接四边形利用对角互补的性质，即可求出∠AOC的度数，最后在直角三角形中利用勾股定理或30°直角三角形的性质计算OA的长度即可。
【解析】
解：如图，在优弧$AC$上找一点$M$，连接$AM$、$CM$，连接$OB$交$AC$于点$N$。
1. 根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC = 2∠ AMC$。
2. $\because$四边形$OABC$是平行四边形，$\therefore$对角相等，即$∠ ABC = ∠ AOC = 2∠ AMC$。
3. $\because$四边形$MABC$是$\odot O$的内接四边形，$\therefore$对角互补，即$∠ AMC + ∠ ABC = 180°$。
将$∠ ABC=2∠ AMC$代入得：$∠ AMC + 2∠ AMC = 180°$，解得$∠ AMC = 60°$，$\therefore ∠ AOC = 2×60°=120°$。
4. $\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，$\therefore$邻边相等的平行四边形$OABC$是菱形。
菱形对角线互相垂直平分，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$OB⊥ AC$，即$∠ ONA=90°$。
5. 在$△ OAC$中，$OA=OC$，$∠ AOC=120°$，$\therefore ∠ OAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONA$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，故$OA=2ON$。
由勾股定理得：$OA^2=ON^2+AN^2$，代入$OA=2ON$、$AN=\sqrt{3}$得：
$(2ON)^2=ON^2+(\sqrt{3})^2$，即$4ON^2=ON^2+3$，解得$ON=1$（长度为正），$\therefore OA=2ON=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将圆的性质与平行四边形、菱形的性质结合考查，解题的突破口是构造圆内接四边形求出圆心角$∠ AOC$的度数，再结合菱形对角线的性质即可求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4 构造直角三角形 [2025 江苏南京质检,中]如图,$\odot O$的半径为4,$△ ABC$的顶点$A,B$在$\odot O$上,$∠ B=90°$,$∠ A=60°$,$AC,BC$分别与$\odot O$交于$D,E$两点,且$BE=DE$,则$△ ABC$的面积为
24√3
.答案
24√3 【解析】连接 $AE$, 如图.
$\because ∠ CBA = 90°$, 点 $A$, $B$, $E$ 都在 $\odot O$ 上, $\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore AE = 8$. $\because BE = DE$, $\therefore \overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{DE}$, $\therefore ∠ BAE = ∠ DAE$. $\because ∠ BAC = 60°$, $\therefore ∠ BAE = ∠ DAE = 30°$, $\therefore BE = DE = \frac{1}{2}AE = 4$, $\therefore AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$. $\because AE$ 为直径, $\therefore ∠ EDA = ∠ EDC = 90°$. $\because ∠ C = 180° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180° - 90° - 60° = 30°$, $\therefore EC = 2ED = 8$, $\therefore BC = BE + CE = 12$, $\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$. 故答案为 $24\sqrt{3}$.刷有所得
作与圆心角或圆周角相关的辅助线时,核心是建立圆周角、圆心角之间的联系,从而解决问题.
解析
【分析】
解题时首先观察到∠B是90°，且A、B、E都在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可作辅助线连接AE，确定AE是⊙O的直径，得到AE的长度。再结合已知BE=DE，利用同圆中等弦对等弧、等弧所对的圆周角相等，推出AE平分∠BAC，得到∠BAE=30°，先在Rt△ABE中求出AB、BE的长度。接着利用直径所对圆周角为直角得到∠EDC=90°，结合△ABC内角和算出∠C=30°，在Rt△CDE中求出CE的长度，进而得到BC的总长度，最后用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
连接AE，如图。
∵ ∠CBA = 90°，点A，B，E都在⊙O上，
∴ AE为⊙O的直径，
∵ ⊙O半径为4，
∴ AE = 2×4 = 8。
∵ BE = DE，
∴ $\overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{DE}$，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠DAE = 30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AE = 4，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$。
∵ AE为直径，
∴ ∠EDA = 90°，即∠EDC = 90°，
在△ABC中，∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°，
在Rt△CDE中，∠C=30°，
∴ EC = 2ED = 2BE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$。
【答案】
$24\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；特殊直角三角形性质；弦弧圆周角关系
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题核心是构造直径作为辅助线，将圆的性质和直角三角形的边角关系结合推导边长，需要熟练掌握圆周角相关性质和特殊直角三角形的边长规律，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到∠B是90°，且A、B、E都在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可作辅助线连接AE，确定AE是⊙O的直径，得到AE的长度。再结合已知BE=DE，利用同圆中等弦对等弧、等弧所对的圆周角相等，推出AE平分∠BAC，得到∠BAE=30°，先在Rt△ABE中求出AB、BE的长度。接着利用直径所对圆周角为直角得到∠EDC=90°，结合△ABC内角和算出∠C=30°，在Rt△CDE中求出CE的长度，进而得到BC的总长度，最后用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
连接AE，如图
。∵ ∠CBA = 90°，点A，B，E都在⊙O上，
∴ AE为⊙O的直径，
∵ ⊙O半径为4，
∴ AE = 2×4 = 8。
∵ BE = DE，
∴ $\overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{DE}$，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAE = ∠DAE = 30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AE = 4，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$。
∵ AE为直径，
∴ ∠EDA = 90°，即∠EDC = 90°，
在△ABC中，∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°，
在Rt△CDE中，∠C=30°，
∴ EC = 2ED = 2BE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 12 = 24\sqrt{3}$。
【答案】
$24\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；特殊直角三角形性质；弦弧圆周角关系
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题核心是构造直径作为辅助线，将圆的性质和直角三角形的边角关系结合推导边长，需要熟练掌握圆周角相关性质和特殊直角三角形的边长规律，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
