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1 [新考法][2026河北邯郸质检,中]在△ABC中,要判断∠B和∠C的大小关系(∠B和∠C均为锐角),同学们提供了许多方案,老师选取其中两位同学的方案,对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是 (
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ、Ⅱ都可行
D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
C
)A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ、Ⅱ都可行
D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
答案
方案Ⅰ:若点 C 在 $\odot A$ 外,则 AC＞AB,
∴ ∠B＞∠C;若点 C 在 $\odot A$ 上,则 AC=AB,
∴ ∠B=∠C;若点 C 在 $\odot A$ 内,则 AC＜AB,
∴ ∠B＜∠C,故方案Ⅰ可行. 若 EF 与边 AC 交于点 A,则 AC=AB,
∴ ∠B=∠C;若 EF 与边 AC 相交于不是 A 的点,则 AC＞AB,
∴ ∠B＞∠C;若 EF 与边 AC 的延长线有交点,则 AC＜AB,
∴ ∠B＜∠C,故方案Ⅱ可行. 综上,Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选 C.
∴ ∠B＞∠C;若点 C 在 $\odot A$ 上,则 AC=AB,
∴ ∠B=∠C;若点 C 在 $\odot A$ 内,则 AC＜AB,
∴ ∠B＜∠C,故方案Ⅰ可行. 若 EF 与边 AC 交于点 A,则 AC=AB,
∴ ∠B=∠C;若 EF 与边 AC 相交于不是 A 的点,则 AC＞AB,
∴ ∠B＞∠C;若 EF 与边 AC 的延长线有交点,则 AC＜AB,
∴ ∠B＜∠C,故方案Ⅱ可行. 综上,Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选 C.
解析
【分析】
要判断△ABC中∠B和∠C的大小，可借助三角形“大边对大角”的性质，将角的大小比较转化为对边AB和AC的长度比较。针对方案Ⅰ：可利用点与圆的位置关系直接得到AC和AB的长度关系，进而推导角的大小；针对方案Ⅱ：可利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，通过垂直平分线与AC的交点位置推导AB和AC的长度关系，进而判断角的大小。
【解析】
分析方案Ⅰ：
以A为圆心、AB为半径作⊙A：
1. 若点C在⊙A外，根据点在圆外时点到圆心的距离大于半径，可得$AC＞AB$，由三角形大边对大角，得$∠ B＞∠ C$；
2. 若点C在⊙A上，可得$AC=AB$，即$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$；
3. 若点C在⊙A内，可得$AC＜AB$，由三角形大边对大角，得$∠ B＜∠ C$。
因此方案Ⅰ可行。
分析方案Ⅱ：
作BC的垂直平分线EF，根据垂直平分线的性质，EF上任意点到B、C的距离相等：
1. 若EF与AC交于点A，说明点A在BC的垂直平分线上，因此$AB=AC$，得$∠ B=∠ C$；
2. 若EF与AC交于除A外的点，可得$AB＜AC$，由大边对大角得$∠ B＞∠ C$；
3. 若EF与AC的延长线有交点，可得$AB＞AC$，由大边对大角得$∠ B＜∠ C$。
因此方案Ⅱ也可行。
综上，Ⅰ、Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质；三角形边角关系
【点评】
本题将角的大小比较转化为线段长度比较，结合两种不同的几何模型解决问题，考查对基础几何定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC中∠B和∠C的大小，可借助三角形“大边对大角”的性质，将角的大小比较转化为对边AB和AC的长度比较。针对方案Ⅰ：可利用点与圆的位置关系直接得到AC和AB的长度关系，进而推导角的大小；针对方案Ⅱ：可利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，通过垂直平分线与AC的交点位置推导AB和AC的长度关系，进而判断角的大小。
【解析】
分析方案Ⅰ：
以A为圆心、AB为半径作⊙A：
1. 若点C在⊙A外，根据点在圆外时点到圆心的距离大于半径，可得$AC＞AB$，由三角形大边对大角，得$∠ B＞∠ C$；
2. 若点C在⊙A上，可得$AC=AB$，即$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$；
3. 若点C在⊙A内，可得$AC＜AB$，由三角形大边对大角，得$∠ B＜∠ C$。
因此方案Ⅰ可行。
分析方案Ⅱ：
作BC的垂直平分线EF，根据垂直平分线的性质，EF上任意点到B、C的距离相等：
1. 若EF与AC交于点A，说明点A在BC的垂直平分线上，因此$AB=AC$，得$∠ B=∠ C$；
2. 若EF与AC交于除A外的点，可得$AB＜AC$，由大边对大角得$∠ B＞∠ C$；
3. 若EF与AC的延长线有交点，可得$AB＞AC$，由大边对大角得$∠ B＜∠ C$。
因此方案Ⅱ也可行。
综上，Ⅰ、Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质；三角形边角关系
【点评】
本题将角的大小比较转化为线段长度比较，结合两种不同的几何模型解决问题，考查对基础几何定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2[2025江苏南京期末,中]在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=3$,$AC=4$,$D$为$AB$的中点.以$A$为圆心,$r$为半径作$\odot A$,若$B$,$C$,$D$三点中只有一点在$\odot A$内,则$r$的取值范围是 (
A.$2.5＜ r≤4$
B.$2.5＜ r＜4$
C.$2.5≤ r≤4$
D.$2.5≤ r＜4$
A
)A.$2.5＜ r≤4$
B.$2.5＜ r＜4$
C.$2.5≤ r≤4$
D.$2.5≤ r＜4$
答案
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,∠C = 90°, BC = 3, AC = 4,
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵ D 为 AB 的中点,
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=2.5$,
∴ 当 $\odot A$ 的半径 r=AD=2.5 时,点 B,C 在 $\odot A$ 外,点 D 在 $\odot A$ 上;当 $\odot A$ 的半径 r=AC=4 时,点 B 在 $\odot A$ 外,点 C 在 $\odot A$ 上,点 D 在 $\odot A$ 内;当 $\odot A$ 的半径 r=AB=5 时,点 B 在 $\odot A$ 上,点 C,D 在 $\odot A$ 内,
∴ 若 B,C,D 三点中只有一点在 $\odot A$ 内,则 r 的取值范围是 2.5＜r≤4. 故选 A.
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵ D 为 AB 的中点,
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=2.5$,
∴ 当 $\odot A$ 的半径 r=AD=2.5 时,点 B,C 在 $\odot A$ 外,点 D 在 $\odot A$ 上;当 $\odot A$ 的半径 r=AC=4 时,点 B 在 $\odot A$ 外,点 C 在 $\odot A$ 上,点 D 在 $\odot A$ 内;当 $\odot A$ 的半径 r=AB=5 时,点 B 在 $\odot A$ 上,点 C,D 在 $\odot A$ 内,
∴ 若 B,C,D 三点中只有一点在 $\odot A$ 内,则 r 的取值范围是 2.5＜r≤4. 故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时，点在圆上；大于半径时，点在圆外。解题时先计算B、C、D三点到圆心A的距离，再对三个距离排序，结合“三点中只有一点在⊙A内”的要求分析半径r的取值范围，注意单独判断端点处的临界情况是否符合题意。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵D为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2.5$，
可得三点到A的距离大小关系为：$AD=2.5＜AC=4＜AB=5$。
分情况分析临界值：
①当$r=2.5$时，点D在⊙A上，点C、B均在圆外，没有点在圆内，不符合要求；
②当$2.5＜r＜4$时，只有点D到A的距离小于r，在圆内，点C、B均在圆外，符合要求；
③当$r=4$时，点C在⊙A上，点D在圆内，点B在圆外，仍只有1个点在圆内，符合要求；
④当$r＞4$时，点D、C都在圆内，不符合要求。
综上，r的取值范围是$2.5＜ r≤4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点与圆的位置关系判定规则分析半径范围，尤其要注意对端点是否符合题意的判断，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时，点在圆上；大于半径时，点在圆外。解题时先计算B、C、D三点到圆心A的距离，再对三个距离排序，结合“三点中只有一点在⊙A内”的要求分析半径r的取值范围，注意单独判断端点处的临界情况是否符合题意。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵D为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2.5$，
可得三点到A的距离大小关系为：$AD=2.5＜AC=4＜AB=5$。
分情况分析临界值：
①当$r=2.5$时，点D在⊙A上，点C、B均在圆外，没有点在圆内，不符合要求；
②当$2.5＜r＜4$时，只有点D到A的距离小于r，在圆内，点C、B均在圆外，符合要求；
③当$r=4$时，点C在⊙A上，点D在圆内，点B在圆外，仍只有1个点在圆内，符合要求；
④当$r＞4$时，点D、C都在圆内，不符合要求。
综上，r的取值范围是$2.5＜ r≤4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合点与圆的位置关系判定规则分析半径范围，尤其要注意对端点是否符合题意的判断，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
3[中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=14$,点$D$在边$BC$上,$CD=6$,以点$D$为圆心作$\odot D$,其半径长为$r$,要使点$A$恰好在$\odot D$外,点$B$在$\odot D$内,则$r$的取值范围是
（第3题图）（第4题图）
8＜r＜10
.（第3题图）（第4题图）
答案
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,∠C = 90°, AC = 8, BC = 14, CD = 6, 则 BD = BC - CD = 14 - 6 = 8, $AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
∵ 点 A 恰好在 $\odot D$ 外,点 B 在 $\odot D$ 内,
∴ 8＜r＜10. 故答案为 8＜r＜10.
∵ 点 A 恰好在 $\odot D$ 外,点 B 在 $\odot D$ 内,
∴ 8＜r＜10. 故答案为 8＜r＜10.
解析
【分析】
要确定r的取值范围，首先要明确点与圆的位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内。因此我们需要先分别求出点B、点A到圆心D的距离，再结合两点的位置关系列出关于r的不等式，即可得到r的取值范围。第一步先通过线段和差计算BD的长度，第二步在直角三角形ACD中用勾股定理计算AD的长度，第三步结合两点的位置要求联立不等式得到r的范围。
【解析】
首先计算BD的长度：
已知BC=14，CD=6，因此$BD=BC-CD=14-6=8$。
再计算AD的长度：
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，AC=8，CD=6，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
结合点与圆的位置关系分析r的范围：
∵点B在$\odot D$内，
∴半径r要大于点B到D的距离，即$r＞8$；
∵点A在$\odot D$外，
∴半径r要小于点A到D的距离，即$r＜10$。
联立可得r的取值范围。
【答案】
$8＜r＜10$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握点与圆的位置关系的判定方法，先准确计算出相关点到圆心的距离，再结合位置要求列出不等式即可求解。
【难度系数】
0.7
要确定r的取值范围，首先要明确点与圆的位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内。因此我们需要先分别求出点B、点A到圆心D的距离，再结合两点的位置关系列出关于r的不等式，即可得到r的取值范围。第一步先通过线段和差计算BD的长度，第二步在直角三角形ACD中用勾股定理计算AD的长度，第三步结合两点的位置要求联立不等式得到r的范围。
【解析】
首先计算BD的长度：
已知BC=14，CD=6，因此$BD=BC-CD=14-6=8$。
再计算AD的长度：
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，AC=8，CD=6，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
结合点与圆的位置关系分析r的范围：
∵点B在$\odot D$内，
∴半径r要大于点B到D的距离，即$r＞8$；
∵点A在$\odot D$外，
∴半径r要小于点A到D的距离，即$r＜10$。
联立可得r的取值范围。
【答案】
$8＜r＜10$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握点与圆的位置关系的判定方法，先准确计算出相关点到圆心的距离，再结合位置要求列出不等式即可求解。
【难度系数】
0.7
4[2025江苏宿迁调研,中]如图,在$△ ABC$中,AB=AC,BC=8,AD⊥BC于点D,P是半径为2的$\odot A$上一个动点,连接BP,E是BP的中点,连接DE,若在P运动过程中DE长的最大值为$\frac{7}{2}$,则AD的长为
3
.答案
连接 AP,如图. 当点 P 在 CA 延长线上时,CP=AP+AC,此时 CP 的值最大.
∵ AB = AC,AD ⊥ BC,
∴ BD = CD = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$, 即点 D 是 BC 中点.
∵ E 是 BP 的中点,
∴ DE 是 $△ BCP$ 的中位线,
∴ CP=2DE.
∵ DE 长的最大值为 $\frac{7}{2}$,
∴ CP 长的最大值为 $2DE=2×\frac{7}{2}=7$.
∵ AP = 2,
∴ AC = CP - AP = 7 - 2 = 5.
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. 故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：等腰△ABC中AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得D是BC的中点；又已知E是BP的中点，出现两个中点可联想到三角形中位线定理，由此得到DE=$\frac{1}{2}$CP，即DE的最大值对应CP的最大值。接下来分析P在⊙A上运动时CP的最大值：圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加圆的半径，因此当P位于CA的延长线与⊙A的交点时，CP取得最大值AC+AP。结合已知DE的最大值，可依次算出CP的最大值、AC的长度，最后在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
连接AP，如图所示：
当点P在CA延长线上时，CP=AP+AC，此时CP的值最大。
∵ AB = AC，AD ⊥ BC，
∴ BD = CD = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，即点D是BC中点。
∵ E是BP的中点，
∴ DE是$△ BCP$的中位线，
∴ CP=2DE。
∵ DE长的最大值为$\frac{7}{2}$，
∴ CP长的最大值为 $2DE=2×\frac{7}{2}=7$。
∵ ⊙A的半径为2，即AP=2，
∴ AC = CP - AP = 7 - 2 = 5。
∵ AD ⊥ BC，
∴ ∠ADC = 90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、三角形中位线、圆的基本性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过中位线将DE的最值转化为线段CP的最值，再结合圆上点到定点的距离最值规律求解，能有效锻炼几何转化思维和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理已知条件：等腰△ABC中AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得D是BC的中点；又已知E是BP的中点，出现两个中点可联想到三角形中位线定理，由此得到DE=$\frac{1}{2}$CP，即DE的最大值对应CP的最大值。接下来分析P在⊙A上运动时CP的最大值：圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加圆的半径，因此当P位于CA的延长线与⊙A的交点时，CP取得最大值AC+AP。结合已知DE的最大值，可依次算出CP的最大值、AC的长度，最后在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
连接AP，如图所示：
当点P在CA延长线上时，CP=AP+AC，此时CP的值最大。
∵ AB = AC，AD ⊥ BC，
∴ BD = CD = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，即点D是BC中点。
∵ E是BP的中点，
∴ DE是$△ BCP$的中位线，
∴ CP=2DE。
∵ DE长的最大值为$\frac{7}{2}$，
∴ CP长的最大值为 $2DE=2×\frac{7}{2}=7$。
∵ ⊙A的半径为2，即AP=2，
∴ AC = CP - AP = 7 - 2 = 5。
∵ AD ⊥ BC，
∴ ∠ADC = 90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、三角形中位线、圆的基本性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过中位线将DE的最值转化为线段CP的最值，再结合圆上点到定点的距离最值规律求解，能有效锻炼几何转化思维和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5 核心素养模型观念 [2025 江苏南京质检,较难]
【模型建立】
如图(1)、图(2),点 P 分别在$\odot O$外和$\odot O$内,直线 PO 分别交$\odot O$于点 A,B,则 PA 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最短距离,PB 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最长距离.
【问题解决】
请证明 PB 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最长距离.
【初步应用】
(1)已知点 P 到$\odot O$上的点的最短距离为 3,最长距离为 7,则$\odot O$的半径为
(2)如图(3),在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,点 E 在边 BC 上,且$CE=2$,动点 P 在半径为 2 的$\odot E$上,则 AP 长的最小值是
【拓展延伸】
(3)如图(4),点 A 的坐标为$(2,0)$,动点 B 在以$P(4,4)$为圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆上,OB 的中点为 C,则线段 AC 长的最大值为
【模型建立】
如图(1)、图(2),点 P 分别在$\odot O$外和$\odot O$内,直线 PO 分别交$\odot O$于点 A,B,则 PA 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最短距离,PB 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最长距离.
【问题解决】
请证明 PB 的长是点 P 到$\odot O$上的点的最长距离.
【初步应用】
(1)已知点 P 到$\odot O$上的点的最短距离为 3,最长距离为 7,则$\odot O$的半径为
2或5
.(2)如图(3),在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,点 E 在边 BC 上,且$CE=2$,动点 P 在半径为 2 的$\odot E$上,则 AP 长的最小值是
$2\sqrt{17}-2$
.【拓展延伸】
(3)如图(4),点 A 的坐标为$(2,0)$,动点 B 在以$P(4,4)$为圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆上,OB 的中点为 C,则线段 AC 长的最大值为
$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
【问题解决】【证明】如图(1),点 C 为 $\odot O$ 上任意一点,连接 PC,OC.
当点 C 与点 B 不重合时,
∵ 在 $△ POC$ 中,PO+CO＞PC,CO=BO,
∴ PO+BO＞PC,即 PB＞PC;当点 C 与点 B 重合时,PB=PC. 综上可得 PB≥PC,即 PB 的长是点 P 到 $\odot O$ 上的点的最长距离. 同理可证,题图(2)中 PB 的长是点 P 到 $\odot O$ 上的点的最长距离.
【解】【初步应用】
(1)若点 P 在 $\odot O$ 外,由题图(1)知 PA=3,PB=7,
∴ AB=PB-PA=7-3=4,
∴ $\odot O$ 的半径为 2;若点 P 在 $\odot O$ 内,由题图(2)知 PA=3,PB=7,
∴ AB=PB+PA=7+3=10,
∴ $\odot O$ 的半径为 5. 综上所述, $\odot O$ 的半径为 2 或 5. 故答案为 2 或 5.
(2)连接 AE,交 $\odot O$ 于点 D,如图(2). 由题意得 AD 的长是点 A 到 $\odot E$ 上的点的最短距离,
∴ AP 长的最小值为 AD 的长. 在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,AC=8,CE=2,
∴ $AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$,
∴ AD=AE-DE=$2\sqrt{17}-2$,
∴ AP 长的最小值是 $2\sqrt{17}-2$. 故答案为 $2\sqrt{17}-2$.
【拓展延伸】
(3)取点 D(4,0),连接 BD,如图(3).
∵ A(2,0),D(4,0),
∴ 点 A 是线段 OD 的中点.
∵ 点 C 是线段 OB 的中点,
∴ AC 为 $△ OBD$ 的中位线,
∴ $AC=\frac{1}{2}BD$,
∴ 当线段 BD 的长取得最大值时,线段 AC 的长也取得最大值. 连接 DP 并延长交 $\odot P$ 于点 B',连接 OB'. 当点 B 位于点 B' 时,线段 DB 的长有最大值.
∵ P(4,4),D(4,0),
∴ PD=4.
∵ $\odot P$ 的半径为 $\sqrt{2}$,即 $PB'=\sqrt{2}$,
∴ DB' = PB' + PD = 4 + $\sqrt{2}$,
∴ 线段 DB 长的最大值为 $4+\sqrt{2}$,
∴ 线段 AC 长的最大值为 $\frac{1}{2}BD=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故答案为 $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
1. 证明最长距离时，任取圆上异于B的点C，连接PC、OC，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，结合半径相等推导PB＞PC，三点共线时取等，即可得证PB是最长距离。
2. 初步应用(1)：需分点P在圆外、圆内两种情况，分别用最长距离与最短距离的差或和求直径，再计算半径，注意不要漏解。
3. 初步应用(2)：求AP最小值，就是求点A到⊙E上点的最短距离，根据模型，最短距离为点A到圆心E的距离减去半径，先通过勾股定理计算AE，再减半径即可。
4. 拓展延伸(3)：利用中位线定理将AC转化为BD的一半，把求AC最大值转化为求点D到⊙P上点的最长距离，最长距离为点D到圆心P的距离加半径，再除以2即可得到AC最大值。
【解析】
【问题解决】证明：如图(1)，点C为$\odot O$上任意一点，连接PC，OC。
当点C与点B不重合时，
∵ 在$△POC$中，$PO+CO＞PC$，$CO=BO$，
∴ $PO+BO＞PC$，即$PB＞PC$；当点C与点B重合时，$PB=PC$。
综上可得$PB≥PC$，即PB的长是点P到$\odot O$上的点的最长距离。同理可证，题图(2)中PB的长是点P到$\odot O$上的点的最长距离。
【初步应用】
(1) 分两种情况讨论：
① 若点P在$\odot O$外，由题图(1)知$PA=3$，$PB=7$，
∴ $AB=PB-PA=7-3=4$，
∴ $\odot O$的半径为$4÷2=2$；
② 若点P在$\odot O$内，由题图(2)知$PA=3$，$PB=7$，
∴ $AB=PB+PA=7+3=10$，
∴ $\odot O$的半径为$10÷2=5$。
综上所述，$\odot O$的半径为2或5。
(2) 连接AE，交$\odot E$于点D，如图(2)。由点到圆上点的最短距离规律可知，AD的长是点A到$\odot E$上的点的最短距离，即AP长的最小值为AD的长。
在$Rt△ACE$中，$AC=8$，$CE=2$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$，
∵ $\odot E$半径为2，即$DE=2$，
∴ $AD=AE-DE=2\sqrt{17}-2$，即AP长的最小值是$2\sqrt{17}-2$。
【拓展延伸】
(3) 取点$D(4,0)$，连接BD，如图(3)。
∵ $A(2,0)$，$D(4,0)$，
∴ 点A是线段OD的中点。
又
∵ 点C是线段OB的中点，
∴ AC为$△OBD$的中位线，
∴ $AC=\frac{1}{2}BD$，因此当BD取得最大值时，AC也取得最大值。
连接DP并延长交$\odot P$于点$B'$，此时DB的长最大，最大值为$PD+PB'$。
∵ $P(4,4)$，$D(4,0)$，
∴ $PD=4$，
∵ $\odot P$的半径为$\sqrt{2}$，即$PB'=\sqrt{2}$，
∴ $DB' = PD + PB' = 4+\sqrt{2}$，
∴ AC的最大值为$\frac{1}{2}DB'=\frac{1}{2}(4+\sqrt{2})=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 2或5
(2) $2\sqrt{17}-2$
(3) $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系，三角形三边关系，三角形中位线定理
【点评】
本题以点到圆上点的最值模型为核心，综合考查了分类讨论思想、转化思想的应用，既需要牢记点到圆上点的最长、最短距离的规律，也需要灵活结合勾股定理、中位线等知识进行转化求解，能有效提升模型应用和综合分析能力。
【难度系数】
0.4
1. 证明最长距离时，任取圆上异于B的点C，连接PC、OC，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，结合半径相等推导PB＞PC，三点共线时取等，即可得证PB是最长距离。
2. 初步应用(1)：需分点P在圆外、圆内两种情况，分别用最长距离与最短距离的差或和求直径，再计算半径，注意不要漏解。
3. 初步应用(2)：求AP最小值，就是求点A到⊙E上点的最短距离，根据模型，最短距离为点A到圆心E的距离减去半径，先通过勾股定理计算AE，再减半径即可。
4. 拓展延伸(3)：利用中位线定理将AC转化为BD的一半，把求AC最大值转化为求点D到⊙P上点的最长距离，最长距离为点D到圆心P的距离加半径，再除以2即可得到AC最大值。
【解析】
【问题解决】证明：如图(1)，点C为$\odot O$上任意一点，连接PC，OC。
当点C与点B不重合时，
∵ 在$△POC$中，$PO+CO＞PC$，$CO=BO$，
∴ $PO+BO＞PC$，即$PB＞PC$；当点C与点B重合时，$PB=PC$。
综上可得$PB≥PC$，即PB的长是点P到$\odot O$上的点的最长距离。同理可证，题图(2)中PB的长是点P到$\odot O$上的点的最长距离。
【初步应用】
(1) 分两种情况讨论：
① 若点P在$\odot O$外，由题图(1)知$PA=3$，$PB=7$，
∴ $AB=PB-PA=7-3=4$，
∴ $\odot O$的半径为$4÷2=2$；
② 若点P在$\odot O$内，由题图(2)知$PA=3$，$PB=7$，
∴ $AB=PB+PA=7+3=10$，
∴ $\odot O$的半径为$10÷2=5$。
综上所述，$\odot O$的半径为2或5。
(2) 连接AE，交$\odot E$于点D，如图(2)。由点到圆上点的最短距离规律可知，AD的长是点A到$\odot E$上的点的最短距离，即AP长的最小值为AD的长。
在$Rt△ACE$中，$AC=8$，$CE=2$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$，
∵ $\odot E$半径为2，即$DE=2$，
∴ $AD=AE-DE=2\sqrt{17}-2$，即AP长的最小值是$2\sqrt{17}-2$。
【拓展延伸】
(3) 取点$D(4,0)$，连接BD，如图(3)。
∵ $A(2,0)$，$D(4,0)$，
∴ 点A是线段OD的中点。
又
∵ 点C是线段OB的中点，
∴ AC为$△OBD$的中位线，
∴ $AC=\frac{1}{2}BD$，因此当BD取得最大值时，AC也取得最大值。
连接DP并延长交$\odot P$于点$B'$，此时DB的长最大，最大值为$PD+PB'$。
∵ $P(4,4)$，$D(4,0)$，
∴ $PD=4$，
∵ $\odot P$的半径为$\sqrt{2}$，即$PB'=\sqrt{2}$，
∴ $DB' = PD + PB' = 4+\sqrt{2}$，
∴ AC的最大值为$\frac{1}{2}DB'=\frac{1}{2}(4+\sqrt{2})=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 2或5
(2) $2\sqrt{17}-2$
(3) $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系，三角形三边关系，三角形中位线定理
【点评】
本题以点到圆上点的最值模型为核心，综合考查了分类讨论思想、转化思想的应用，既需要牢记点到圆上点的最长、最短距离的规律，也需要灵活结合勾股定理、中位线等知识进行转化求解，能有效提升模型应用和综合分析能力。
【难度系数】
0.4
