一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,共36分)
1 [2026江苏无锡质检]将一张长方形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B”,再把它铺平,你可以见到
()

1. C 【解析】观察选项可得只有 C 选项符合. 故选 C.

2[2026吉林长春期末]在平面直角坐标系中，若点$P(a+1,2-2a)$关于$x$轴的对称点在第四象限，则$a$的取值范围在数轴上表示为（）

2. C 【解析】
∵ 点 $P(a+1,2-2a)$ 关于 $x$ 轴的对称点在第四象限,即点 $(a+1,2a-2)$ 在第四象限,$\therefore a+1＞0$ 且 $2a-2＜0$,解得 $-1＜a＜1$,将解集在数轴上表示为,故选 C.

3[2025黑龙江哈尔滨质检]
如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 75°$，$∠ ACB = 35°$，$AC = 8$，$∠ ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D$，则$AD+BD$的长为（）

A.$10$
B.$8$
C.$6$
D.$4$

3. B 【解析】在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 75°$, $∠ ACB = 35°$, $\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 70°. \because BD$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 35°,\therefore ∠ DBC = ∠ ACB,\therefore BD = CD,\therefore AD+BD = AD+CD = AC = 8$,故选 B.

4 [2026重庆南岸区期末]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G。图中一定是等腰三角形的有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

4. C 【解析】
∵ AB//CD,
∴ 根据平行线的性质得 $∠ F = ∠ BAF. \because AD//BC$,根据平行线的性质得 $∠ DAF = ∠ AGB,∠ EBC = ∠ AEB. \because BE$ 平分 $∠ ABC$,
∴ 根据角平分线的定义得 $∠ EBC = ∠ ABE,\therefore ∠ EBC = ∠ ABE = ∠ AEB$,$\therefore AB = AE,\therefore △ ABE$ 是等腰三角形. 又 $\because AF ⊥ BE,\therefore ∠ BAF = ∠ DAF,\therefore ∠ BAF = ∠ DAF = ∠ AGB = ∠ F = ∠ CGF,\therefore AB = BG,AD = DF,CG = CF,\therefore △ ABG$ 是等腰三角形,$△ AFD$ 是等腰三角形,$△ CGF$ 是等腰三角形. 故共有 4 个等腰三角形. 故选 C.

5[2025山东临沂期中]根据作图痕迹判断下列图中，BD不能把$△ ABC$分成两个等腰三角形的是（）

5. D 【解析】A 选项,$\because ∠ C = 72°,∠ A = 36°$,$\therefore ∠ ABC = 180° - 72° - 36° = 72°. \because BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ DBC = ∠ DBA = ∠ A = 36°$,$\therefore ∠ BDC = ∠ C = 72°,AD = BD,\therefore BC = BD$,$\therefore △ ABD$ 和 $△ BCD$ 都为等腰三角形,$\therefore BD$ 能把$△ ABC$ 分成两个等腰三角形,故 A 不符合题意. B 选项,$\because BD$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线,$∠ C = ∠ A = 45°$,$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB = 90°$,$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = ∠ C = ∠ A = 45°$,$\therefore AD = BD,DC = BD$,$\therefore △ ABD$ 和 $△ BCD$ 都为等腰三角形,$\therefore BD$ 能把$△ ABC$ 分成两个等腰三角形,故 B 不符合题意. C 选项,$\because ∠ A = 30°,∠ ABC = 90°$,$\therefore BC = \frac{1}{2}AC,∠ C = 60°. \because CD = BC = \frac{1}{2}AC$,$\therefore BC = CD = AD,△ BCD$ 是等边三角形,$\therefore AD = BD = CD$,$\therefore △ ABD$ 和 $△ BCD$ 都为等腰三角形,$\therefore BD$ 能把$△ ABC$ 分成两个等腰三角形,故 C 不符合题意. D 选项,$\because ∠ A = ∠ C = 30°,AB = AD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = 75°,∠ ABC = 120°$,$\therefore ∠ BDC = 105°,∠ DBC = 45°$,$\therefore △ BDC$ 不是等腰三角形,$\therefore BD$ 不能把 $△ ABC$ 分成两个等腰三角形,故 D 符合题意. 故选 D.

6[2026河南信阳期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6.D为边BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF长的最大值是（）

A.12
B.10
C.8
D.6

（第6题图）
（第7题图）

6. C 【解析】如图,连接 DF,过点 F 作 $FH ⊥ BC$,垂足为 H,$\therefore ∠ FHB = 90°. \because ∠ B = 30°,∠ ACB = 90°,AC = 6$,$\therefore AB = 2AC = 12$. 设 $AF = x$,则 $BF = AB - AF = 12 - x$,$\therefore FH = \frac{1}{2}BF = 6 - \frac{1}{2}x. \because EF$ 垂直平分线段 $AD$,$\therefore AF = DF = x. \because DF ≥ FH$,$\therefore x ≥ 6 - \frac{1}{2}x$,解得 $x ≥ 4$,$\therefore AF$ 长的最小值为 4,则 $BF$ 长的最大值为 $12 - 4 = 8$. 故选 C.

关键点拨
将求 BF 长的最大值转化成求 AF 长的最小值是解此题的关键. 过点 F 作 $FH ⊥ BC$ 于 H,连接 DF,设 $AF = x$,结合含 $30°$ 角的直角三角形的性质及垂线段最短可得关于 x 的不等式,求解可得 AF 长的最小值,进而可求得 BF 长的最大值.

7 如图,过边长为4的等边三角形的边AB上一点P,作$PE ⊥ AC$于点E,Q为BC延长线上一点,当$PA=CQ$时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为()

A.2
B.3
C.4
D.$\frac{5}{3}$

7. A 【解析】过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 F,如图,$\therefore ∠ Q = ∠ FPD. \because △ ABC$ 是等边三角形,$PF// BC$,$\therefore ∠ A = 60°,∠ APF = ∠ B = 60°,∠ AFP = ∠ ACB = 60°$,$\therefore ∠ A = ∠ APF = ∠ AFP$,$\therefore △ APF$ 是等边三角形,$\therefore AP = PF. \because AP = CQ$,$\therefore PF = CQ$. 在 $△ PFD$ 和 $△ QCD$ 中,$\begin{cases} ∠ FPD = ∠ Q,\\ ∠ PDF = ∠ QDC,\\ PF = CQ, \end{cases}$$\therefore △ PFD ≌ △ QCD (AAS)$,$\therefore FD = CD. \because PE ⊥ AC$ 于 E,$△ APF$ 是等边三角形,$\therefore AE = EF$,$\therefore AE+DC = EF+FD$,$\therefore DE = \frac{1}{2}AC. \because AC = 4$,$\therefore DE = 2$. 故选 A.

8 如图,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点M,顶点A,B,C的坐标分别为(1,3),(1,1),(3,1),规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向右平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2020次变换后,点M的坐标变为 ()

A.(2022,2)
B.(2022,-2)
C.(2020,2)
D.(2020,-2)

(第8题图)
(第9题图)

8. A 【解析】
∵ 正方形 ABCD 顶点 A(1,3),C(3,1),
∴ 对角线交点 M 的坐标为 (2,2). 根据题意得第 1 次变换后点 M 的对应点的坐标为 (2+1,-2),即 (3,-2);第 2 次变换后点 M 的对应点的坐标为 (2+2,2),即 (4,2);第 3 次变换后点 M 的对应点的坐标为 (2+3,-2),即 (5,-2);…,
∴ 第 n 次变换后的点 M 的对应点的坐标:当 n 为奇数时坐标为 (2+n,-2),当 n 为偶数时坐标为 (2+n,2),
∴ 连续经过 2 020 次变换后,正方形 ABCD 对角线的交点 M 的坐标变为 (2 022,2). 故选 A.
关键点拨
得到规律:第 n 次变换后的对角线交点 M 的对应点的坐标:①n 为奇数时坐标为 (2+n,-2);②n 为偶数时坐标为 (2+n,2) 是解题关键.

9 [2025江苏无锡质检]如图,已知等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$于点$D$,点$P$是$BA$延长线上一点,点$O$是线段$AD$上一点,$OP=OC$,下面的结论:①$∠ APO+∠ DCO=30°$;②$△ OPC$是等边三角形;③$AC=AO+AP$;④$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{四边形}AOCP}$.其中正确的有 ()

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

9. D 【解析】如图(1),连接 OB. $\because ∠ BAC = 120°,AB = AC,AD ⊥ BC$,$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 30°,BD = CD,∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×120° = 60°$,$\therefore AD$ 垂直平分 $BC$,$\therefore OB = OC. \because OP = OC$,$\therefore OB = OC = OP$,$\therefore ∠ APO = ∠ ABO,∠ DCO = ∠ DBO$,$\therefore ∠ APO + ∠ DCO = ∠ ABO + ∠ DBO = ∠ ABD = 30°$,故 ① 正确.$\because ∠ APC + ∠ DCP + ∠ PBC = 180°$,$\therefore ∠ APC + ∠ DCP = 150°. \because ∠ APO + ∠ DCO = 30°$,$\therefore ∠ OPC + ∠ OCP = 120°$,$\therefore ∠ POC = 180° - (∠ OPC + ∠ OCP) = 60°. \because OP = OC$,$\therefore △ OPC$ 是等边三角形,故②正确. $\because △ OPC$ 是等边三角形,$\therefore OP = OC = PC,∠ OPC = 60°$.

如图(2),在 AC 上截取 $AE = PA. \because ∠ PAE = 180° - ∠ BAC = 60°$,$\therefore △ APE$ 是等边三角形,$\therefore ∠ PEA = ∠ APE = 60°,PE = PA$,$\therefore ∠ APO + ∠ OPE = 60°. \because ∠ OPE + ∠ CPE = ∠ CPO = 60°$,$\therefore ∠ APO = ∠ CPE$. 在 $△ OPA$ 和 $△ CPE$ 中,$\begin{cases} PA = PE,\\ ∠ APO = ∠ EPC,\\ OP = CP, \end{cases}$$\therefore △ OPA ≌ △ CPE (SAS)$,$\therefore AO = CE$,$\therefore AC = CE + AE = AO + AP$,故 ③ 正确.

如图(3),过点 C 作 $CH ⊥ AP$ 于 H. $\because ∠ PAC = ∠ DAC = 60°,AD ⊥ BC$,$\therefore CH = CD. \because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CH,S_{四边形AOCP} = S_{△ ACP} + S_{△ AOC} = \frac{1}{2}AP · CH + \frac{1}{2}OA · CD = \frac{1}{2}AP · CH + \frac{1}{2}OA · CH = \frac{1}{2}CH · (AP + OA) = \frac{1}{2}CH · AC = \frac{1}{2}CH · AB$,$\therefore S_{△ ABC} = S_{四边形AOCP}$,故④正确. 故选 D.