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二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
10 [2026 山东泰安期末]如图是由小正方形组成的网格,若将空白网格中的一个小正方形涂上阴影,使得到的整个阴影图形为轴对称图形,则共有
10 [2026 山东泰安期末]如图是由小正方形组成的网格,若将空白网格中的一个小正方形涂上阴影,使得到的整个阴影图形为轴对称图形,则共有
5
种画法.答案
10. 5 【解析】如图所示:
共有 5 种画法,故答案为 5.
11 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则“？”处的条件可以是
∠A=60°(答案不唯一)
.(填一个即可) 答案
11. ∠A=60°(答案不唯一) 【解析】添加∠A=60°. 理由如下:
∵ △ABC 为等腰三角形,∠A=60°,
∴ △ABC 为等边三角形,故答案为∠A=60°(答案不唯一).
∵ △ABC 为等腰三角形,∠A=60°,
∴ △ABC 为等边三角形,故答案为∠A=60°(答案不唯一).
12 若$(a-3)^2 + \sqrt{b-5}=0$,则以$a,b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
.答案
12. 11 或 13 【解析】$\because (a-3)^2 + \sqrt{b-5} = 0$,$\therefore a = 3,b = 5$. 当 $a = 3$ 为腰长时,$3+3＞5$,符合三角形三边关系,则三角形周长为 $2a + b = 6 + 5 = 11$; 当 $b = 5$ 为腰长时,$5+3＞5$,符合三角形三边关系,则三角形的周长为 $a + 2b = 3 + 10 = 13$,故答案为 11 或 13.
关键点拨
根据平方及算术平方根的非负性求出 a,b 的值是求解本题的关键.
关键点拨
根据平方及算术平方根的非负性求出 a,b 的值是求解本题的关键.
13 新考法 [2026湖北武汉期中]如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足AD=CE,当CD+BE的值最小时,∠CDB的度数为
67.5°
.答案
13. 67.5° 【解析】如图,过点 A 作 $AF ⊥ AB$,且 $AF = BC$,连接 DF,连接 CF 交 AB 于点 $D'$.
$\because AF ⊥ AB,∠ ACB = 90°$,$\therefore ∠ FAD = ∠ BCE = 90°$. 在 $△ ADF$ 和 $△ CEB$ 中,$\begin{cases} AF = CB,\\ ∠ FAD = ∠ BCE,\\ AD = CE, \end{cases}$$\therefore △ ADF ≌ △ CEB(SAS)$,$\therefore FD = BE$,$\therefore CD + BE = CD + FD ≥ CF$,$\therefore$ 当点 D 位于点 $D'$ 处时,$CD+BE$ 的值最小. $\because AC = BC,∠ ACB = 90°$,$\therefore ∠ CAB = 45°$,$\therefore ∠ CAF = 90° + 45° = 135°$. 又 $\because AF = BC$,$\therefore AC = AF$,$\therefore ∠ ACD' = ∠ AFD' = \frac{1}{2}(180° - 135°) = 22.5°$,$\therefore ∠ CD'B = ∠ ACD' + ∠ CAD' = 22.5° + 45° = 67.5°$.
关键点拨
构造全等三角形,利用两点之间线段最短找到使 CD + BE 的值最小时点 D 的位置是解题关键.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
14[2025山西吕梁期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线,交AB于点E,交AC于点D,连接BD.(不必写作图步骤,保留作图痕迹)
(2)求证:$BD=BC$.
14[2025山西吕梁期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线,交AB于点E,交AC于点D,连接BD.(不必写作图步骤,保留作图痕迹)
(2)求证:$BD=BC$.
答案
14. (1)【解】如图.
(2)【证明】$\because AB=AC,∠ A=36°$,$\therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 72°. \because DE$ 是 AB 的垂直平分线,$\therefore AD = BD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ A = 36°$,$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 36° + 36° = 72° = ∠ C$,$\therefore BD = BC$.
15[2026辽宁抚顺期末]如图,灯塔C在海岛A的北偏东$75°$方向,某天上午8点,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东方向航行,10点到达B处,此时测得灯塔C在B处的北偏东$60°$方向.
(1)求B处到灯塔C的距离;
(2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请你说明理由.
(1)求B处到灯塔C的距离;
(2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请你说明理由.
答案
15.【解】(1)根据题意得 $∠ BAC = 90° - 75° = 15°$,$∠ CBE = 90° - 60° = 30°$,$AB = 15×2 = 30$(海里),$\therefore ∠ C = 30° - 15° = 15°$,$\therefore ∠ BAC = ∠ C$,$\therefore BC = AB = 30$ 海里.
答:B 处到灯塔 C 的距离为 30 海里.
(2)有触礁的危险. 理由:如图,过 C 作 $CD ⊥ AB$ 交 AB 的延长线于点 D. $\because ∠ CBD = 30°$,$BC = 30$ 海里,$\therefore CD = \frac{1}{2}BC = 15$ 海里. $\because 15 ＜ 16$,$\therefore$ 若该船继续由西向东航行,会有触礁的危险.
16 如图,点 O 是等边$△ ABC$内一点,D 是$△ ABC$外的一点,$∠ AOB=110°,∠ BOC=α,△ BOC ≌ △ ADC,∠ OCD=60°$,连接 OD.
(1)求证:$△ OCD$是等边三角形.
(2)当$α=150°$时,试判断$△ AOD$的形状,并说明理由.
(3)探究:当$α$为多少度时,$△ AOD$是等腰三角形?
(1)求证:$△ OCD$是等边三角形.
(2)当$α=150°$时,试判断$△ AOD$的形状,并说明理由.
(3)探究:当$α$为多少度时,$△ AOD$是等腰三角形?
答案
16. (1)【证明】$\because △ BOC ≌ △ ADC$,$\therefore OC = DC$.
$\because ∠ OCD = 60°$,$\therefore △ OCD$ 是等边三角形.
(2)【解】$△ AOD$ 是直角三角形. 理由如下:
$\because △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ODC = 60°$.
$\because △ BOC ≌ △ ADC,α = 150°$,$\therefore ∠ ADC = ∠ BOC = α = 150°$,$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$,$\therefore △ AOD$ 是直角三角形.
(3) $\because △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ COD = ∠ ODC = 60°. \because ∠ AOB = 110°,∠ ADC = ∠ BOC = α$,$\therefore ∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ BOC - ∠ COD = 360° - 110° - α - 60° = 190° - α$,$∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = α - 60°$,$\therefore ∠ OAD = 180° - ∠ AOD - ∠ ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°$. 分三种情况: ①当 $∠ AOD = ∠ ADO$ 时,$190° - α = α - 60°$,$\therefore α = 125°$. ②当 $∠ AOD = ∠ OAD$ 时,$190° - α = 50°$,$\therefore α = 140°$. ③当 $∠ ADO = ∠ OAD$ 时,$α - 60° = 50°$,$\therefore α = 110°$. 综上所述,当 $α = 110°$ 或 $125°$ 或 $140°$ 时,$△ AOD$ 是等腰三角形.
$\because ∠ OCD = 60°$,$\therefore △ OCD$ 是等边三角形.
(2)【解】$△ AOD$ 是直角三角形. 理由如下:
$\because △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ODC = 60°$.
$\because △ BOC ≌ △ ADC,α = 150°$,$\therefore ∠ ADC = ∠ BOC = α = 150°$,$\therefore ∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$,$\therefore △ AOD$ 是直角三角形.
(3) $\because △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ COD = ∠ ODC = 60°. \because ∠ AOB = 110°,∠ ADC = ∠ BOC = α$,$\therefore ∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ BOC - ∠ COD = 360° - 110° - α - 60° = 190° - α$,$∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = α - 60°$,$\therefore ∠ OAD = 180° - ∠ AOD - ∠ ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°$. 分三种情况: ①当 $∠ AOD = ∠ ADO$ 时,$190° - α = α - 60°$,$\therefore α = 125°$. ②当 $∠ AOD = ∠ OAD$ 时,$190° - α = 50°$,$\therefore α = 140°$. ③当 $∠ ADO = ∠ OAD$ 时,$α - 60° = 50°$,$\therefore α = 110°$. 综上所述,当 $α = 110°$ 或 $125°$ 或 $140°$ 时,$△ AOD$ 是等腰三角形.
