【学以致用】如图,某城市公园里有一边长为30m的等边三角形草坪ABC,现准备在草坪上修建一个矩形娱乐场地MPQN,设该娱乐场地的边NQ的长为x m,求该娱乐场地的面积$S(m^{2})$与边长x的关系式,并求出当x取何值时,该娱乐场地的面积S取得最大值.

解:根据题意,得$NQ=xm$,则$0\lt x＜30\cdot sin60^{\circ }$,即$0\lt x＜15\sqrt {3}.$
$\because ∠B=∠C=60^{\circ },∠BPM=∠CQN=90^{\circ },\therefore BP=CQ=\frac {\sqrt {3}}{3}xm$.又$\because BC=30m,$
$\therefore PQ=(30-\frac {2\sqrt {3}}{3}x)m,\therefore S=x(30-\frac {2\sqrt {3}}{3}x)=-\frac {2\sqrt {3}}{3}x^{2}+30x(0\lt x＜15\sqrt {3}).$
$\because S=-\frac {2\sqrt {3}}{3}x^{2}+30x=-\frac {2\sqrt {3}}{3}(x-\frac {15\sqrt {3}}{2})^{2}+\frac {225\sqrt {3}}{2},$
∴当$x=\frac {15\sqrt {3}}{2}$时,S取得最大值.

【典例1】某企业准备从生产单一产品转为生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,生产A产品的利润与投入成正比,其关系如图1所示;生产B产品的利润与投入的算术平方根成正比,其关系如图2所示(注:图中的横坐标表示投入,单位为万元;纵坐标表示利润,单位为万元).


(1)分别把生产A,B两种产品的利润表示为投入的函数.
(2)该企业已筹集到12万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产.问:怎样分配这12万元资金,才能使该企业获得最大利润? 最大利润是多少?

解题指导 (1)由题意,设$f(x)= k_{1}x,g(t)= k_{2}\sqrt {t}$,根据图象求解.
(2)列出利润y关于A产品的投入x的函数解析式,根据函数解析式的特点,利用换元法求最值.
答案 解:(1)设A产品的投入为x万元,利润为$f(x)$万元,B产品的投入为t万元,利润为$g(t)$万元.
由题意,设$f(x)= k_{1}x,g(t)= k_{2}\sqrt {t}$.
由题图,知$f(2)= 1$,故$k_{1}= \frac {1}{2}$.
又$g(4)= 4$,所以$k_{2}= 2$.
故$f(x)= \frac {1}{2}x(x≥0),g(t)= 2\sqrt {t}(t≥0)$.
(2)设企业获得的利润为y万元,A产品投入x万元,则B产品投入$(12-x)$万元.
由题意,得$y= f(x)+g(12-x)= \frac {1}{2}x+2\sqrt {12-x}(0≤x≤12)$.
令$t= \sqrt {12-x}$,则$0≤t≤2\sqrt {3}$,
所以$y= -\frac {1}{2}(t-2)^{2}+8$.
当$t= 2$时,$y_{max}= 8$,此时$x= 8$.
故A产品投入8万元,B产品投入4万元,才能使该企业获得最大利润,最大利润是8万元.