3. 当$x \geq 2$时,不等式$x + 1 + \frac{1}{x} \gt a$恒成立,则实数$a$的取值范围是()
A. $(-\infty,3)$
B. $(-\infty,3]$
C. $(-\infty,\frac{7}{2}]$
D. $(-\infty,\frac{7}{2})$

3. D　已知当$x \geq 2$时，不等式$x + 1 + \frac{1}{x} ＞ a$恒成立。因为函数$y = x + \frac{1}{x} + 1$在$[2, +\infty)$上为单调递增函数，所以当$x = 2$时，$y_{min} = 2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{2}$，所以$a ＜ \frac{7}{2}$，即实数$a$的取值范围是$(-\infty, \frac{7}{2})$。

4. 若对任意正数$x$,不等式$x + \frac{16}{x} \geq a^{2} - 2a$恒成立,则实数$a$的取值范围为______.

4. $[-2, 4]$　对任意正数$x$，有$x + \frac{16}{x} \geq 8$，当且仅当$x = \frac{16}{x}$，即$x = 4$时，等号成立。由题意，得$a^2 - 2a \leq (x + \frac{16}{x})_{min} = 8$，即$a^2 - 2a - 8 \leq 0$，所以$(a - 4)(a + 2) \leq 0$，解得$-2 \leq a \leq 4$，即实数$a$的取值范围为$[-2, 4]$。

5. 已知幂函数$f(x) = x^{\alpha}$($\alpha$为常数)的图象经过点$M(2,4)$.
(1)求$f(x)$的解析式.
(2)设$g(x) = \frac{f(x) + 1}{x}$.
①判断$g(x)在区间[1,+\infty)$上的单调性,并用单调性定义证明你的结论；
②若$g(x) \geq t在[1,+\infty)$上恒成立,求实数$t$的取值范围.

5. 解：(1)因为幂函数$f(x) = x^a$（$a$为常数）的图象经过点$M(2, 4)$，所以$4 = 2^a$，解得$a = 2$，所以$f(x) = x^2$。
(2)$g(x) = \frac{f(x) + 1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$。
①$g(x)$在区间$[1, +\infty)$上单调递增。证明如下：
设$x_1 ＞ x_2 \geq 1$，所以$g(x_1) - g(x_2) = x_1 + \frac{1}{x_1} - x_2 - \frac{1}{x_2} = (x_1 - x_2)\frac{x_1x_2 - 1}{x_1x_2}$。因为$x_1 ＞ x_2 \geq 1$，所以$x_1 - x_2 ＞ 0$，$x_1x_2 ＞ 1$，所以$(x_1 - x_2)\frac{x_1x_2 - 1}{x_1x_2} ＞ 0$，所以$g(x_1) ＞ g(x_2)$，所以$g(x)$在区间$[1, +\infty)$上单调递增。
②因为$g(x) \geq t$在$[1, +\infty)$上恒成立，所以$t \leq g(x)_{min}$。又因为$g(x)$在区间$[1, +\infty)$上单调递增，所以$g(x)_{min} = g(1) = 2$，所以$t \leq 2$，即实数$t$的取值范围为$(-\infty, 2]$。

6. (一题多解)当$x \gt 1$时,不等式$x^{2} + ax + 9 \gt 0$恒成立,求实数$a$的取值范围.

6. (一题多解)解：方法1：$\because$当$x ＞ 1$时，不等式$x^2 + ax + 9 ＞ 0$恒成立，$\therefore$只需求出函数$y = x^2 + ax + 9(x ＞ 1)$的最小值，令最小值大于0即可。二次函数$y = x^2 + ax + 9$的图象的对称轴为$x = -\frac{a}{2}$。当$-\frac{a}{2} \leq 1$，即$a \geq -2$时，函数在$x = 1$处取得最小值$a + 10$，$\therefore a + 10 \geq 0$，解得$a \geq -10$，$\therefore a \geq -2$；当$-\frac{a}{2} ＞ 1$，即$a ＜ -2$时，函数在$x = -\frac{a}{2}$处取得最小值$(-\frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 9 = 9 - \frac{a^2}{4}$，$\therefore 9 - \frac{a^2}{4} ＞ 0$，解得$-6 ＜ a ＜ 6$，$\therefore -6 ＜ a ＜ -2$。
综上，实数$a$的取值范围为$(-6, +\infty)$。
方法2：$\because x ＞ 1$，$\therefore a ＞ -(x + \frac{9}{x})$。$\because x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$，当且仅当$x = \frac{9}{x}$，即$x = 3$时，等号成立，$\therefore -(x + \frac{9}{x})$的最大值为$-6$，$\therefore a ＞ -6$。故实数$a$的取值范围为$(-6, +\infty)$。

7. 若$\exists x_{0} \in (\frac{1}{2},3)$,使得不等式$x^{2} + ax + 2 \gt 0$成立,求实数$a$的取值范围.
(提示：不等式中只含一个参数$a$,故采取分离参数法,将不等式转化为$a \gt g(x)在x \in (\frac{1}{2},3)$上的存在性问题,故只需满足$a \gt g(x)_{\min}$即可)

7. 解：由不等式$x^2 + ax + 2 ＞ 0$以及$x_0 \in (\frac{1}{2}, 3)$，可得$a ＞ -(x + \frac{2}{x})$。设$g(x) = -(x + \frac{2}{x})$，$x \in (\frac{1}{2}, 3)$。由对勾函数的性质，可知$g(x)$在$(\frac{1}{2}, \sqrt{2}]$上单调递增，在$(\sqrt{2}, 3)$上单调递减。因为$g(\frac{1}{2}) = -\frac{9}{2}$，$g(3) = -\frac{11}{3}$，$g(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$，所以$g(x) \in (-\frac{9}{2}, -2\sqrt{2}]$，所以$a ＞ -\frac{9}{2}$。故实数$a$的取值范围是$(-\frac{9}{2}, +\infty)$。