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【变式】已知$x \in [1,3]$,求$y = \frac{x^{2} - x + 4}{x}$的最大值.
答案
变式 解：设$f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x}(1 \leq x \leq 3)$，则$f(x) = x + \frac{4}{x} - 1(1 \leq x \leq 3)$。
因为$f(x)$在区间$[1, 2]$上单调递减，在区间$[2, 3]$上单调递增，且$f(1) = 4$，$f(3) = \frac{10}{3}$，所以函数的最大值为4。
因为$f(x)$在区间$[1, 2]$上单调递减，在区间$[2, 3]$上单调递增，且$f(1) = 4$，$f(3) = \frac{10}{3}$，所以函数的最大值为4。
1. 代数式$x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$取得最小值时,对应的$x$的值为()
A. $2$
B. $\sqrt{2}$
C. $\pm 2$
D. $\pm \sqrt{2}$
A. $2$
B. $\sqrt{2}$
C. $\pm 2$
D. $\pm \sqrt{2}$
答案
1. D $x^2 ＞ 0$，$x^2 + \frac{4}{x^2} \geq 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{4}{x^2}} = 4$，当且仅当$x^2 = \frac{4}{x^2}$，即$x^2 = 2$，$x = \pm\sqrt{2}$时，等号成立。
2. 函数$f(x) = |x| + \frac{1}{x}$的图象大致是()
答案
2. B 当$x ＞ 0$时，$f(x) = x + \frac{1}{x}$，此时$f(x)$在$(0, 1)$上单调递减，在$(1, +\infty)$上单调递增，故CD选项错误；当$x ＜ 0$时，$f(x) = -x + \frac{1}{x}$，此时$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减，故A选项错误；又因为$f(-1) = 0$，故B选项正确。
