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10.(德清县)有下列结论:①定义运算“⊕”,规定$a⊕b=a(1-b)$,则$2⊕(-2)=6$;②若把分式$\frac{xy}{x-y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的3倍,则这个分式的值也扩大到原来的3倍;③若$(1-x)^{x-1}=1$,则$x=-1$;④若$4^x=a,8^y=b$,则$2^{2x-3y}=\frac{a}{b}$。其中正确的是(
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
D
)A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
答案
10.D
解析
【分析】
本题需逐个验证四个结论的正确性，分别根据新定义运算、分式基本性质、幂的运算规则逐一计算，判断每个结论是否成立，最终确定正确结论对应的选项。
【解析】
1. 验证结论①：根据新定义运算“⊕”，$a⊕b=a(1-b)$，则$2⊕(-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，故①正确；
2. 验证结论②：将分式$\frac{xy}{x-y}$中$x$、$y$都扩大到原来的3倍，新分式为$\frac{(3x)(3y)}{3x - 3y}=\frac{9xy}{3(x-y)}=3×\frac{xy}{x-y}$，即分式的值扩大到原来的3倍，故②正确；
3. 验证结论③：对于$(1-x)^{x-1}=1$，分情况讨论：
当底数为1时：$1-x=1→x=0$，此时指数为$0-1=-1$，$1^{-1}=1$，成立；
当底数为-1时：$1-x=-1→x=2$，此时指数为$2-1=1$，$(-1)^1=-1≠1$，不成立；
当指数为0时：$x-1=0→x=1$，此时底数$1-x=0$，$0^0$无意义，不成立；
因此仅$x=0$满足，并非$x=-1$，故③错误；
4. 验证结论④：由$4^x=a=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^y=b=(2^3)^y=2^{3y}$，根据同底数幂除法法则：$2^{2x-3y}=2^{2x}÷2^{3y}=\frac{a}{b}$，故④正确；
综上，正确结论为①②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、分式的基本性质、幂的运算
【点评】
本题综合考查代数中的多个基础知识点，需逐一分析每个结论，注意特殊情况（如零指数幂、负指数幂的意义），避免因遗漏情况导致判断错误，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需逐个验证四个结论的正确性，分别根据新定义运算、分式基本性质、幂的运算规则逐一计算，判断每个结论是否成立，最终确定正确结论对应的选项。
【解析】
1. 验证结论①：根据新定义运算“⊕”，$a⊕b=a(1-b)$，则$2⊕(-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，故①正确；
2. 验证结论②：将分式$\frac{xy}{x-y}$中$x$、$y$都扩大到原来的3倍，新分式为$\frac{(3x)(3y)}{3x - 3y}=\frac{9xy}{3(x-y)}=3×\frac{xy}{x-y}$，即分式的值扩大到原来的3倍，故②正确；
3. 验证结论③：对于$(1-x)^{x-1}=1$，分情况讨论：
当底数为1时：$1-x=1→x=0$，此时指数为$0-1=-1$，$1^{-1}=1$，成立；
当底数为-1时：$1-x=-1→x=2$，此时指数为$2-1=1$，$(-1)^1=-1≠1$，不成立；
当指数为0时：$x-1=0→x=1$，此时底数$1-x=0$，$0^0$无意义，不成立；
因此仅$x=0$满足，并非$x=-1$，故③错误；
4. 验证结论④：由$4^x=a=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^y=b=(2^3)^y=2^{3y}$，根据同底数幂除法法则：$2^{2x-3y}=2^{2x}÷2^{3y}=\frac{a}{b}$，故④正确；
综上，正确结论为①②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、分式的基本性质、幂的运算
【点评】
本题综合考查代数中的多个基础知识点，需逐一分析每个结论，注意特殊情况（如零指数幂、负指数幂的意义），避免因遗漏情况导致判断错误，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
11.(德清县)当$x=-2$时,代数式$\dfrac{2}{1-x}$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
11.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
本题是求代数式的值，解题思路是将给定的$x=-2$代入代数式$\dfrac{2}{1-x}$中，按照有理数的运算法则计算出结果，核心是准确代入并处理分母的符号运算。
【解析】
当$x=-2$时，将其代入代数式$\dfrac{2}{1-x}$，
先计算分母：$1 - x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$，
再计算整个代数式的值：$\dfrac{2}{1-x} = \dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
代数式求值，代入法
【点评】
本题属于基础的代数式求值题目，直接代入已知的$x$值计算即可，考查学生对代数式求值基本方法的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是求代数式的值，解题思路是将给定的$x=-2$代入代数式$\dfrac{2}{1-x}$中，按照有理数的运算法则计算出结果，核心是准确代入并处理分母的符号运算。
【解析】
当$x=-2$时，将其代入代数式$\dfrac{2}{1-x}$，
先计算分母：$1 - x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$，
再计算整个代数式的值：$\dfrac{2}{1-x} = \dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
代数式求值，代入法
【点评】
本题属于基础的代数式求值题目，直接代入已知的$x$值计算即可，考查学生对代数式求值基本方法的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9
12.(嘉兴市)多项式$x^{3}+x^{2},x^{2}+2x+1$的公因式为
$x+1$
。答案
12.$x+1$
解析
【分析】要确定两个多项式的公因式，需先分别对每个多项式进行因式分解，再找出它们都含有的相同因式。先对第一个多项式提取公因式，第二个用完全平方公式分解，最后对比得到公共因式。
【解析】先对多项式$x^3 + x^2$因式分解：提取公因式$x^2$，得$x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$；再对多项式$x^2 + 2x + 1$因式分解：利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$。对比两个分解结果，它们的公共因式为$x + 1$，因此公因式是$x + 1$。
【答案】$x+1$
【知识点】因式分解、公因式、完全平方公式
【点评】本题考查公因式的确定，核心是掌握多项式因式分解的基本方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】先对多项式$x^3 + x^2$因式分解：提取公因式$x^2$，得$x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$；再对多项式$x^2 + 2x + 1$因式分解：利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$。对比两个分解结果，它们的公共因式为$x + 1$，因此公因式是$x + 1$。
【答案】$x+1$
【知识点】因式分解、公因式、完全平方公式
【点评】本题考查公因式的确定，核心是掌握多项式因式分解的基本方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
13.(金华市婺城区)现规定一种运算：$a※b=ab+a-b$，其中$a,b$为实数，则$a※b+(b-a)※b$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
13.$b^2-b$
解析
【分析】首先明确题目规定的新运算规则：$a※b=ab+a-b$，解题思路是将所求式子拆分为两个新运算的和，分别代入新运算规则计算，再通过合并同类项化简得到结果。
【解析】
解：根据新运算规则$a※b=ab+a-b$，
1. 计算$a※b$：$a※b=ab+a-b$；
2. 计算$(b-a)※b$：将新运算中的$a$替换为$(b-a)$，$b$不变，得：
$(b-a)※b=(b-a)·b + (b-a) - b = b² - ab + b - a - b = b² - ab - a$；
3. 求和并化简：
$a※b + (b-a)※b = (ab + a - b) + (b² - ab - a)$
去括号得：$ab + a - b + b² - ab - a$
合并同类项得：$b² - b$。
【答案】$b² - b$
【知识点】新定义运算、整式的加减
【点评】本题属于基础题，核心是准确理解新运算的定义，代入时注意替换对应字母，化简过程中合并同类项即可得到结果，考查学生对新运算的应用能力和整式运算的基本功。
【难度系数】0.6
【解析】
解：根据新运算规则$a※b=ab+a-b$，
1. 计算$a※b$：$a※b=ab+a-b$；
2. 计算$(b-a)※b$：将新运算中的$a$替换为$(b-a)$，$b$不变，得：
$(b-a)※b=(b-a)·b + (b-a) - b = b² - ab + b - a - b = b² - ab - a$；
3. 求和并化简：
$a※b + (b-a)※b = (ab + a - b) + (b² - ab - a)$
去括号得：$ab + a - b + b² - ab - a$
合并同类项得：$b² - b$。
【答案】$b² - b$
【知识点】新定义运算、整式的加减
【点评】本题属于基础题，核心是准确理解新运算的定义，代入时注意替换对应字母，化简过程中合并同类项即可得到结果，考查学生对新运算的应用能力和整式运算的基本功。
【难度系数】0.6
14.(杭州市萧山区)已知$x=\dfrac{2y+3}{3y-2}(x≠\dfrac{2}{3},y≠\dfrac{2}{3})$。
(1)试用含$x$的代数式表示$y:y=$
(2)代数式$(3x-2)(3y-2)$的值为
(1)试用含$x$的代数式表示$y:y=$
$\dfrac{2x+3}{3x-2}$
。(2)代数式$(3x-2)(3y-2)$的值为
13
。答案
14.(1)$\dfrac{2x+3}{3x-2}$ (2)13
解析
【分析】
第(1)问需将等式变形，把y当作未知数、x当作常数，通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解，注意分母不为零的隐含条件；第(2)问可利用第(1)问得到的y的表达式代入计算，或通过整体代入简化运算，避免复杂计算。
【解析】
(1) 已知 $ x = \frac{2y + 3}{3y - 2} $，去分母得：$ x(3y - 2) = 2y + 3 $，展开左边：$ 3xy - 2x = 2y + 3 $，移项整理含y的项：$ 3xy - 2y = 2x + 3 $，提取公因式y：$ y(3x - 2) = 2x + 3 $，由题知 $ x≠\frac{2}{3} $，即 $ 3x - 2≠0 $，两边同除以 $ 3x - 2 $得：$ y = \frac{2x + 3}{3x - 2} $。
(2) 由(1)知 $ y = \frac{2x + 3}{3x - 2} $，计算 $ 3y - 2 = 3×\frac{2x + 3}{3x - 2} - 2 = \frac{6x + 9 - 6x + 4}{3x - 2} = \frac{13}{3x - 2} $，则 $ (3x - 2)(3y - 2) = (3x - 2)×\frac{13}{3x - 2} = 13 $。
【答案】
(1)$\frac{2x+3}{3x-2}$；(2)13
【知识点】
分式变形、代数式求值
【点评】
本题考查分式的变形与代数式求值，第(1)问是基础的分式方程求解，需注意分母不为零的条件；第(2)问利用前序结果简化计算，整体代入思路可快速得出答案，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
第(1)问需将等式变形，把y当作未知数、x当作常数，通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解，注意分母不为零的隐含条件；第(2)问可利用第(1)问得到的y的表达式代入计算，或通过整体代入简化运算，避免复杂计算。
【解析】
(1) 已知 $ x = \frac{2y + 3}{3y - 2} $，去分母得：$ x(3y - 2) = 2y + 3 $，展开左边：$ 3xy - 2x = 2y + 3 $，移项整理含y的项：$ 3xy - 2y = 2x + 3 $，提取公因式y：$ y(3x - 2) = 2x + 3 $，由题知 $ x≠\frac{2}{3} $，即 $ 3x - 2≠0 $，两边同除以 $ 3x - 2 $得：$ y = \frac{2x + 3}{3x - 2} $。
(2) 由(1)知 $ y = \frac{2x + 3}{3x - 2} $，计算 $ 3y - 2 = 3×\frac{2x + 3}{3x - 2} - 2 = \frac{6x + 9 - 6x + 4}{3x - 2} = \frac{13}{3x - 2} $，则 $ (3x - 2)(3y - 2) = (3x - 2)×\frac{13}{3x - 2} = 13 $。
【答案】
(1)$\frac{2x+3}{3x-2}$；(2)13
【知识点】
分式变形、代数式求值
【点评】
本题考查分式的变形与代数式求值，第(1)问是基础的分式方程求解，需注意分母不为零的条件；第(2)问利用前序结果简化计算，整体代入思路可快速得出答案，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
15.(金华市婺城区)有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图1,将A,B并列放置后构造新的正方形得图2。若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.13
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。先通过图1的阴影面积得到边长的关系，再结合图2的阴影面积，利用完全平方公式变形，即可求出正方形A、B的面积之和。
【解析】
设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。
1. 图1中，阴影部分是边长为$(a - b)$的小正方形，因此其面积为$(a - b)^2 = 1$；
2. 图2中，构造的新正方形边长为$(a + b)$，新正方形的面积减去正方形A、B的面积等于阴影部分面积，即：
$(a + b)^2 - a^2 - b^2 = 12$
展开化简得：$2ab = 12$，即$ab = 6$；
3. 正方形A、B的面积之和为$a^2 + b^2$，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，代入已知值：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 1 + 2×6 = 13$。
【答案】
13
【知识点】
正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，通过数形结合的思想，利用两个阴影面积建立代数关系，进而求出目标面积和，是典型的代数与几何结合的基础题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。先通过图1的阴影面积得到边长的关系，再结合图2的阴影面积，利用完全平方公式变形，即可求出正方形A、B的面积之和。
【解析】
设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。
1. 图1中，阴影部分是边长为$(a - b)$的小正方形，因此其面积为$(a - b)^2 = 1$；
2. 图2中，构造的新正方形边长为$(a + b)$，新正方形的面积减去正方形A、B的面积等于阴影部分面积，即：
$(a + b)^2 - a^2 - b^2 = 12$
展开化简得：$2ab = 12$，即$ab = 6$；
3. 正方形A、B的面积之和为$a^2 + b^2$，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，代入已知值：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 1 + 2×6 = 13$。
【答案】
13
【知识点】
正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，通过数形结合的思想，利用两个阴影面积建立代数关系，进而求出目标面积和，是典型的代数与几何结合的基础题。
【难度系数】
0.5
16.(丽水市)已知一列数：$a_1=2,a_2=a_1+4,a_3=a_2+6,···,a_n=a_{n-1}+2n(n$为正整数，$n≥2)$。
(1)$a_4$的值是
(2)当$n=2018$时，则$a_n-37n+324$的值是
(1)$a_4$的值是
20
。(2)当$n=2018$时，则$a_n-37n+324$的值是
4000000
。答案
16.(1)20 (2)4000000
解析
【分析】
要解决这道数列题，首先根据递推关系逐步计算前几项得到$a_4$；对于第二问，需通过累加法推导数列的通项公式，再代入$n=2018$，结合完全平方公式简化计算。具体思路：1. 计算$a_4$时，按递推式依次代入前一项的值即可；2. 推导通项时，利用递推式的差分项累加，结合等差数列求和公式得到$a_n$的表达式；3. 代入$n=2018$后，将式子整理为完全平方形式快速求值。
【解析】
(1) 已知$a_1=2$，根据递推式依次计算：
$a_2 = a_1 + 4 = 2 + 4 = 6$；
$a_3 = a_2 + 6 = 6 + 6 = 12$；
$a_4 = a_3 + 8 = 12 + 8 = 20$；
(2) 推导数列$\{a_n\}$的通项公式：
由递推式$a_n - a_{n-1} = 2n\ (n≥2)$，利用累加法：
$a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1})$
代入得：
$a_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$
这是首项为$2$、末项为$2n$、项数为$n$的等差数列，和为：
$a_n = \frac{n(2 + 2n)}{2} = n(n+1) = n^2 + n$；
当$n=2018$时，代入式子$a_n - 37n + 324$：
原式$= 2018^2 + 2018 - 37×2018 + 324$
$= 2018^2 - 36×2018 + 324$
观察式子符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，其中$a=2018$，$b=18$（$2ab=2×2018×18=36×2018$，$b^2=18^2=324$），因此：
原式$=(2018 - 18)^2 = 2000^2 = 4000000$；
【答案】
(1) 20；(2) 4000000
【知识点】
数列递推关系、累加法求通项、完全平方公式
【点评】
本题考查数列递推式的应用，核心是通过累加法推导通项公式，再结合代数变形简化计算，属于中等难度的数列基础题，需掌握递推数列的基本解法和代数运算技巧。
【难度系数】
0.5
要解决这道数列题，首先根据递推关系逐步计算前几项得到$a_4$；对于第二问，需通过累加法推导数列的通项公式，再代入$n=2018$，结合完全平方公式简化计算。具体思路：1. 计算$a_4$时，按递推式依次代入前一项的值即可；2. 推导通项时，利用递推式的差分项累加，结合等差数列求和公式得到$a_n$的表达式；3. 代入$n=2018$后，将式子整理为完全平方形式快速求值。
【解析】
(1) 已知$a_1=2$，根据递推式依次计算：
$a_2 = a_1 + 4 = 2 + 4 = 6$；
$a_3 = a_2 + 6 = 6 + 6 = 12$；
$a_4 = a_3 + 8 = 12 + 8 = 20$；
(2) 推导数列$\{a_n\}$的通项公式：
由递推式$a_n - a_{n-1} = 2n\ (n≥2)$，利用累加法：
$a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1})$
代入得：
$a_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$
这是首项为$2$、末项为$2n$、项数为$n$的等差数列，和为：
$a_n = \frac{n(2 + 2n)}{2} = n(n+1) = n^2 + n$；
当$n=2018$时，代入式子$a_n - 37n + 324$：
原式$= 2018^2 + 2018 - 37×2018 + 324$
$= 2018^2 - 36×2018 + 324$
观察式子符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，其中$a=2018$，$b=18$（$2ab=2×2018×18=36×2018$，$b^2=18^2=324$），因此：
原式$=(2018 - 18)^2 = 2000^2 = 4000000$；
【答案】
(1) 20；(2) 4000000
【知识点】
数列递推关系、累加法求通项、完全平方公式
【点评】
本题考查数列递推式的应用，核心是通过累加法推导通项公式，再结合代数变形简化计算，属于中等难度的数列基础题，需掌握递推数列的基本解法和代数运算技巧。
【难度系数】
0.5
17.(6分)(杭州市上城区)先化简,再求值:$(x+3)(3-2x)-3x(x-1)$,其中$x=-2$。
答案
原式=$3x-2x^2+9-6x-3x^2+3x=-5x^2+9$。当$x=-2$时,原式=$-5×(-2)^2+9=-20+9=-11$。
解析
【分析】本题是整式的化简求值问题，解题思路分为三步：1. 利用多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开原式；2. 找出展开后的同类项，合并同类项得到最简整式；3. 将给定的x值代入最简整式计算结果。计算时需注意各项符号，避免出错。
【解析】
先展开原式：
$\begin{aligned}&(x+3)(3-2x)-3x(x-1)\\=&3x - 2x^2 + 9 - 6x - 3x^2 + 3x\\\end{aligned}$
合并同类项：
$(-2x^2 - 3x^2) + (3x - 6x + 3x) + 9 = -5x^2 + 9$
当$x=-2$时，代入最简式：
$-5×(-2)^2 + 9 = -5×4 + 9 = -20 + 9 = -11$
【答案】-11
【知识点】整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】本题属于整式运算的基础题型，考查整式乘法法则、合并同类项及代数式求值，关键是正确展开式子并准确合并同类项，注意符号处理，难度较低，是初中数学常考题型。
【难度系数】0.8
【解析】
先展开原式：
$\begin{aligned}&(x+3)(3-2x)-3x(x-1)\\=&3x - 2x^2 + 9 - 6x - 3x^2 + 3x\\\end{aligned}$
合并同类项：
$(-2x^2 - 3x^2) + (3x - 6x + 3x) + 9 = -5x^2 + 9$
当$x=-2$时，代入最简式：
$-5×(-2)^2 + 9 = -5×4 + 9 = -20 + 9 = -11$
【答案】-11
【知识点】整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】本题属于整式运算的基础题型，考查整式乘法法则、合并同类项及代数式求值，关键是正确展开式子并准确合并同类项，注意符号处理，难度较低，是初中数学常考题型。
【难度系数】0.8
18.(8分)
(1)(嘉兴市)先化简,再求值:$\dfrac{4}{a-2}÷\dfrac{4a}{a^2-4a+4}$,其中$a=3$。
(2)(宁波市镇海区)先化简,再求值:$(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{2}{x+2})÷\dfrac{x^2-4x}{x-2}$,其中$x^2+2x-6=0$。
(1)(嘉兴市)先化简,再求值:$\dfrac{4}{a-2}÷\dfrac{4a}{a^2-4a+4}$,其中$a=3$。
(2)(宁波市镇海区)先化简,再求值:$(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{2}{x+2})÷\dfrac{x^2-4x}{x-2}$,其中$x^2+2x-6=0$。
答案
(1)$\dfrac{4}{a-2}÷\dfrac{4a}{a^2-4a+4}=\dfrac{4}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{4a}=\dfrac{a-2}{a}$。当$a=3$时,原式=$\dfrac{3-2}{3}=\dfrac{1}{3}$。
(2)原式=$\dfrac{4-2(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x(x-4)}=\dfrac{-2(x-4)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x(x-4)}=-\dfrac{2}{x^2+2x}$,由$x^2+2x-6=0$,得$x^2+2x=6$,则原式=$-\dfrac{1}{3}$。
(2)原式=$\dfrac{4-2(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x(x-4)}=\dfrac{-2(x-4)}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x(x-4)}=-\dfrac{2}{x^2+2x}$,由$x^2+2x-6=0$,得$x^2+2x=6$,则原式=$-\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
第(1)题：先将分式除法转化为乘法，对二次三项式$a^2 - 4a + 4$用完全平方公式因式分解，再通过约分简化式子，最后代入$a$的值计算结果。
第(2)题：先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分，最后利用已知条件$x^2 + 2x = 6$整体代入求值，无需计算$x$的具体值以简化运算。
【解析】
(1) 化简并求值：
$\begin{aligned}&\dfrac{4}{a-2}÷\dfrac{4a}{a^2 - 4a + 4}\\=&\dfrac{4}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{4a}\quad \mathrm{（分式除法转化为乘法，对$a^2 - 4a + 4$因式分解为$(a-2)^2$）}\\=&\dfrac{a-2}{a}\quad \mathrm{（约分：约去分子分母的4和一个$(a-2)$）}\\\end{aligned}$
当$a=3$时，代入得：$\dfrac{3-2}{3}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 化简并求值：
$\begin{aligned}&(\dfrac{4}{x^2 - 4}-\dfrac{2}{x+2})÷\dfrac{x^2 - 4x}{x-2}\\=&[\dfrac{4}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}]×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（对$x^2 - 4$因式分解，括号内通分，除法转乘法，$x^2 - 4x$因式分解为$x(x-4)$）}\\=&\dfrac{4 - 2x + 4}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（合并括号内分子）}\\=&\dfrac{-2(x-4)}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（分子提取公因式$-2$）}\\=&-\dfrac{2}{x^2 + 2x}\quad \mathrm{（约分后整理分母）}\\\end{aligned}$
由$x^2 + 2x - 6 = 0$得$x^2 + 2x = 6$，代入得：$-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3}$；(2)$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、因式分解、整体代入法
【点评】
本题为分式化简求值的典型基础题，第(1)题按分式运算规则逐步化简代入即可；第(2)题运用整体代入法简化计算，体现了因式分解、约分在分式运算中的关键作用，适合初中八年级学生掌握。
【难度系数】
0.7
第(1)题：先将分式除法转化为乘法，对二次三项式$a^2 - 4a + 4$用完全平方公式因式分解，再通过约分简化式子，最后代入$a$的值计算结果。
第(2)题：先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分，最后利用已知条件$x^2 + 2x = 6$整体代入求值，无需计算$x$的具体值以简化运算。
【解析】
(1) 化简并求值：
$\begin{aligned}&\dfrac{4}{a-2}÷\dfrac{4a}{a^2 - 4a + 4}\\=&\dfrac{4}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{4a}\quad \mathrm{（分式除法转化为乘法，对$a^2 - 4a + 4$因式分解为$(a-2)^2$）}\\=&\dfrac{a-2}{a}\quad \mathrm{（约分：约去分子分母的4和一个$(a-2)$）}\\\end{aligned}$
当$a=3$时，代入得：$\dfrac{3-2}{3}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 化简并求值：
$\begin{aligned}&(\dfrac{4}{x^2 - 4}-\dfrac{2}{x+2})÷\dfrac{x^2 - 4x}{x-2}\\=&[\dfrac{4}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}]×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（对$x^2 - 4$因式分解，括号内通分，除法转乘法，$x^2 - 4x$因式分解为$x(x-4)$）}\\=&\dfrac{4 - 2x + 4}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（合并括号内分子）}\\=&\dfrac{-2(x-4)}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x-2}{x(x-4)}\quad \mathrm{（分子提取公因式$-2$）}\\=&-\dfrac{2}{x^2 + 2x}\quad \mathrm{（约分后整理分母）}\\\end{aligned}$
由$x^2 + 2x - 6 = 0$得$x^2 + 2x = 6$，代入得：$-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3}$；(2)$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、因式分解、整体代入法
【点评】
本题为分式化简求值的典型基础题，第(1)题按分式运算规则逐步化简代入即可；第(2)题运用整体代入法简化计算，体现了因式分解、约分在分式运算中的关键作用，适合初中八年级学生掌握。
【难度系数】
0.7
