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19.(8分)(杭州市萧山区)先化简,再求值:$(x - y - \dfrac{x^2}{x + y})÷\dfrac{y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$,其中$x,y$的取值是二元一次方程$x + 2y = 7$的一对整数解。
答案
原式=$\dfrac{-y^2}{x+y}·\dfrac{(x+y)^2}{y^2}=-x-y$,取二元一次方程$x+2y=7$的一对整数解,如$\begin{cases}x=-1,\\y=4\end{cases}$(不能取$\begin{cases}x=7,\\y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=-7,\\y=7\end{cases}$),则原式=$-(-1)-4=-3$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值结合二元一次方程整数解的题目，解题思路为：先对括号内的异分母分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分得到最简式；接着根据二元一次方程$x + 2y =7$找整数解时，需保证原式中所有分式的分母不为0，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
括号内通分计算：$x - y - \dfrac{x^2}{x+y} = \dfrac{(x - y)(x + y) - x^2}{x + y} = \dfrac{x^2 - y^2 - x^2}{x + y} = \dfrac{-y^2}{x + y}$；
除法转乘法并因式分解：$\dfrac{-y^2}{x + y} ÷ \dfrac{y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \dfrac{-y^2}{x + y} × \dfrac{(x + y)^2}{y^2}$；
约分得到最简式：约去$y^2$和$(x + y)$，得$-x - y$。
2. 选取符合条件的整数解：
二元一次方程$x + 2y =7$的整数解需满足分式有意义（$x + y≠0$，$y≠0$），取$\begin{cases}x=-1 \\ y=4\end{cases}$（验证：$-1 + 2×4=7$，且$x+y=3≠0$，$y=4≠0$）。
3. 代入求值：
将$x=-1$，$y=4$代入$-x - y$，得$-(-1) -4 = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
分式的化简求值、二元一次方程的整数解
【点评】
本题综合考查分式运算与二元一次方程整数解，化简时需注意通分、因式分解和约分的准确性，找整数解时要规避分母为0的情况，属于中等难度的代数运算题。
【难度系数】
0.5
本题是分式化简求值结合二元一次方程整数解的题目，解题思路为：先对括号内的异分母分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分得到最简式；接着根据二元一次方程$x + 2y =7$找整数解时，需保证原式中所有分式的分母不为0，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
括号内通分计算：$x - y - \dfrac{x^2}{x+y} = \dfrac{(x - y)(x + y) - x^2}{x + y} = \dfrac{x^2 - y^2 - x^2}{x + y} = \dfrac{-y^2}{x + y}$；
除法转乘法并因式分解：$\dfrac{-y^2}{x + y} ÷ \dfrac{y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \dfrac{-y^2}{x + y} × \dfrac{(x + y)^2}{y^2}$；
约分得到最简式：约去$y^2$和$(x + y)$，得$-x - y$。
2. 选取符合条件的整数解：
二元一次方程$x + 2y =7$的整数解需满足分式有意义（$x + y≠0$，$y≠0$），取$\begin{cases}x=-1 \\ y=4\end{cases}$（验证：$-1 + 2×4=7$，且$x+y=3≠0$，$y=4≠0$）。
3. 代入求值：
将$x=-1$，$y=4$代入$-x - y$，得$-(-1) -4 = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
分式的化简求值、二元一次方程的整数解
【点评】
本题综合考查分式运算与二元一次方程整数解，化简时需注意通分、因式分解和约分的准确性，找整数解时要规避分母为0的情况，属于中等难度的代数运算题。
【难度系数】
0.5
20.(10分)(嘉兴市)设a,b是实数,定义关于“※”的一种运算如下:$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$。例如,2※$3=(2+3)^2-(2-3)^2=24$。
(1)求$(-1)※2$的值。
(2)①乐于思考的小慧发现$a※b=4ab$,你能说明理由吗？
②小慧猜想$(a+b)※c=a※c+b※c$,你认为她的猜想成立吗？请说明理由。
(1)求$(-1)※2$的值。
(2)①乐于思考的小慧发现$a※b=4ab$,你能说明理由吗？
②小慧猜想$(a+b)※c=a※c+b※c$,你认为她的猜想成立吗？请说明理由。
答案
(1)根据题中的新定义得原式=$(-1+2)^2-(-1-2)^2=1-9=-8$。
(2)①$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$。②成立,理由如下:由①可知$(a+b)※c=4c(a+b)=4ac+4bc$,$a※c+b※c=4ac+4bc$,则$(a+b)※c=a※c+b※c$。
(2)①$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$。②成立,理由如下:由①可知$(a+b)※c=4c(a+b)=4ac+4bc$,$a※c+b※c=4ac+4bc$,则$(a+b)※c=a※c+b※c$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，核心是先明确新运算“※”的规则：$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$。第(1)问直接代入数值计算即可；第(2)①问需利用完全平方公式展开新运算的式子，通过合并同类项化简验证小慧的发现；第(2)②问需分别计算等式左右两边的表达式，对比结果判断猜想是否成立，整体考察对新定义的理解和整式运算的基本能力。
【解析】
(1) 根据题中的新定义，将$a=-1$，$b=2$代入$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$：
原式$=(-1+2)^2-(-1-2)^2=1^2-(-3)^2=1-9=-8$；
(2) ① 对$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$展开化简：
利用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，则：
$a※b=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$；
② 验证猜想$(a+b)※c=a※c+b※c$是否成立：
由①知$a※b=4ab$，则左边$(a+b)※c=4c(a+b)=4ac+4bc$；
右边$a※c+b※c=4ac+4bc$；
因为左边=右边，所以猜想成立。
【答案】
(1)$-8$；(2)①理由见解析；②成立，理由见解析
【知识点】
新定义运算、完全平方公式、整式的混合运算
【点评】
本题是初中代数的基础题型，以新定义运算为载体，考察完全平方公式的运用和整式化简，通过验证运算律加深对新定义的理解，难度适中，能有效检验学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，核心是先明确新运算“※”的规则：$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$。第(1)问直接代入数值计算即可；第(2)①问需利用完全平方公式展开新运算的式子，通过合并同类项化简验证小慧的发现；第(2)②问需分别计算等式左右两边的表达式，对比结果判断猜想是否成立，整体考察对新定义的理解和整式运算的基本能力。
【解析】
(1) 根据题中的新定义，将$a=-1$，$b=2$代入$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$：
原式$=(-1+2)^2-(-1-2)^2=1^2-(-3)^2=1-9=-8$；
(2) ① 对$a※b=(a+b)^2-(a-b)^2$展开化简：
利用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，则：
$a※b=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$；
② 验证猜想$(a+b)※c=a※c+b※c$是否成立：
由①知$a※b=4ab$，则左边$(a+b)※c=4c(a+b)=4ac+4bc$；
右边$a※c+b※c=4ac+4bc$；
因为左边=右边，所以猜想成立。
【答案】
(1)$-8$；(2)①理由见解析；②成立，理由见解析
【知识点】
新定义运算、完全平方公式、整式的混合运算
【点评】
本题是初中代数的基础题型，以新定义运算为载体，考察完全平方公式的运用和整式化简，通过验证运算律加深对新定义的理解，难度适中，能有效检验学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
21.(10分)(杭州市上城区)
(1)已知$a^2+b^2=3,a-b=1$,求$(2-a)(2-b)$的值。
(2)设$b=ma(a≠0)$,是否存在实数$m$,使得$(2a-b)^2-(a-2b)(a+2b)+4a(a+b)$能化简为$12a^2$?若能,请求出满足条件的$m$的值;若不能,请说明理由。
(1)已知$a^2+b^2=3,a-b=1$,求$(2-a)(2-b)$的值。
(2)设$b=ma(a≠0)$,是否存在实数$m$,使得$(2a-b)^2-(a-2b)(a+2b)+4a(a+b)$能化简为$12a^2$?若能,请求出满足条件的$m$的值;若不能,请说明理由。
答案
(1)把$a-b=1$两边平方得$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1$,把$a^2+b^2=3$代入得$3-2ab=1$,即$ab=1$。因为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=3+2=5$,所以$a+b=\pm\sqrt{5}$,则原式=$4-2(a+b)+ab=5\pm2\sqrt{5}$。
(2)原式=$4a^2-4ab+b^2-a^2+4b^2+4a^2+4ab=7a^2+5b^2$,当$b=\pm a$时,原式=$12a^2$,则$m=\pm1$。
(2)原式=$4a^2-4ab+b^2-a^2+4b^2+4a^2+4ab=7a^2+5b^2$,当$b=\pm a$时,原式=$12a^2$,则$m=\pm1$。
解析
【分析】
第(1)问，目标是求(2-a)(2-b)的值，先将该式展开，得到含a+b和ab的形式，因此需先求出ab和a+b的值。已知a-b=1，利用完全平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²，结合已知a²+b²=3可算出ab；再用完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²算出a+b，最后代入展开式即可。
第(2)问，先对原式进行整式混合运算化简，再将b=ma代入化简后的式子，令其等于12a²，结合a≠0的条件解方程，即可求出m的值。
【解析】
(1) 先展开所求式子：
(2-a)(2-b)=4-2a-2b+ab=4-2(a+b)+ab。
已知a-b=1，两边平方得：(a-b)²=a²-2ab+b²=1，
将a²+b²=3代入得：3-2ab=1，解得ab=1。
再计算(a+b)²=a²+2ab+b²=3+2×1=5，故a+b=±√5。
将ab=1、a+b=±√5代入展开式：
原式=4-2×(±√5)+1=5±2√5。
(2) 先化简原式：
(2a-b)²-(a-2b)(a+2b)+4a(a+b)
=4a²-4ab+b²-(a²-4b²)+4a²+4ab
=4a²-4ab+b²-a²+4b²+4a²+4ab
=7a²+5b²。
将b=ma代入上式：
原式=7a²+5(ma)²=7a²+5m²a²=(7+5m²)a²。
令(7+5m²)a²=12a²，因a≠0，两边除以a²得：7+5m²=12，
解得m²=1，即m=±1。
【答案】
(1) 5±2√5；(2) m的值为±1。
【知识点】
完全平方公式、整式混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查整式运算及公式的灵活应用，需熟练掌握完全平方公式的变形和代数式化简技巧，是初中代数的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问，目标是求(2-a)(2-b)的值，先将该式展开，得到含a+b和ab的形式，因此需先求出ab和a+b的值。已知a-b=1，利用完全平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²，结合已知a²+b²=3可算出ab；再用完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²算出a+b，最后代入展开式即可。
第(2)问，先对原式进行整式混合运算化简，再将b=ma代入化简后的式子，令其等于12a²，结合a≠0的条件解方程，即可求出m的值。
【解析】
(1) 先展开所求式子：
(2-a)(2-b)=4-2a-2b+ab=4-2(a+b)+ab。
已知a-b=1，两边平方得：(a-b)²=a²-2ab+b²=1，
将a²+b²=3代入得：3-2ab=1，解得ab=1。
再计算(a+b)²=a²+2ab+b²=3+2×1=5，故a+b=±√5。
将ab=1、a+b=±√5代入展开式：
原式=4-2×(±√5)+1=5±2√5。
(2) 先化简原式：
(2a-b)²-(a-2b)(a+2b)+4a(a+b)
=4a²-4ab+b²-(a²-4b²)+4a²+4ab
=4a²-4ab+b²-a²+4b²+4a²+4ab
=7a²+5b²。
将b=ma代入上式：
原式=7a²+5(ma)²=7a²+5m²a²=(7+5m²)a²。
令(7+5m²)a²=12a²，因a≠0，两边除以a²得：7+5m²=12，
解得m²=1，即m=±1。
【答案】
(1) 5±2√5；(2) m的值为±1。
【知识点】
完全平方公式、整式混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查整式运算及公式的灵活应用，需熟练掌握完全平方公式的变形和代数式化简技巧，是初中代数的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
