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22.(12分)(诸暨市)已知A,B两地相距$a(\mathrm{km})$,甲、乙两人分别从A,B两地同时匀速出发,若相向而行,则经过$a(\mathrm{min})$后两人相遇;若同向而行,则经过$b(b＞a)(\mathrm{min})$后甲追上乙。
(1)试用含$a,b$的代数式表示甲、乙两人的速度$v_{\mathrm{甲}},v_{\mathrm{乙}}$。
(2)若$\dfrac{v_{\mathrm{甲}}}{v_{\mathrm{乙}}}=\dfrac{7}{3}$,求$\dfrac{a}{b}$的值。
(3)若两人相向而行,第一次相遇后继续按原方向前进,其中甲到达B地后按原路返回。请直接写出甲、乙再次相遇所需的时间。
(1)试用含$a,b$的代数式表示甲、乙两人的速度$v_{\mathrm{甲}},v_{\mathrm{乙}}$。
(2)若$\dfrac{v_{\mathrm{甲}}}{v_{\mathrm{乙}}}=\dfrac{7}{3}$,求$\dfrac{a}{b}$的值。
(3)若两人相向而行,第一次相遇后继续按原方向前进,其中甲到达B地后按原路返回。请直接写出甲、乙再次相遇所需的时间。
答案
(1)由已知可得$\begin{cases}a(v_甲+v_乙)=a,\\b(v_甲-v_乙)=a,\end{cases}$所以$v_甲=\dfrac{a+b}{2b}$,$v_乙=\dfrac{b-a}{2b}$。
(2)$\dfrac{v_甲}{v_乙}=\dfrac{a+b}{b-a}=\dfrac{7}{3}$,所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$。
(3)甲、乙再次相遇所需的时间为$(b-a)(\mathrm{min})$。
(2)$\dfrac{v_甲}{v_乙}=\dfrac{a+b}{b-a}=\dfrac{7}{3}$,所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$。
(3)甲、乙再次相遇所需的时间为$(b-a)(\mathrm{min})$。
解析
【分析】
本题为行程类问题，核心是利用“路程=速度×时间”的关系建立等量关系。第(1)问需根据相向而行的相遇条件、同向而行的追及条件，联立方程组求解甲、乙的速度；第(2)问将第(1)问的速度比代入已知比例，通过分式运算求出$\frac{a}{b}$；第(3)问需分析第一次相遇后到再次相遇的路程关系，推导所需时间。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v_甲\ \mathrm{km/min}$，乙的速度为$v_乙\ \mathrm{km/min}$。
根据题意：
相向而行时，$a\ \mathrm{min}$相遇，总路程为$a\ \mathrm{km}$，得$a(v_甲 + v_乙)=a$，化简为$v_甲 + v_乙=1$；
同向而行时，$b\ \mathrm{min}$甲追上乙，路程差为$a\ \mathrm{km}$，得$b(v_甲 - v_乙)=a$，化简为$v_甲 - v_乙=\frac{a}{b}$。
联立方程组$\begin{cases}v_甲 + v_乙=1 \\ v_甲 - v_乙=\frac{a}{b}\end{cases}$，两式相加得$2v_甲=\frac{a+b}{b}$，解得$v_甲=\frac{a+b}{2b}$；两式相减得$2v_乙=\frac{b-a}{b}$，解得$v_乙=\frac{b-a}{2b}$。
(2) 已知$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{7}{3}$，代入$v_甲、v_乙$的表达式：
$\frac{\frac{a+b}{2b}}{\frac{b-a}{2b}}=\frac{a+b}{b-a}=\frac{7}{3}$，交叉相乘得$3(a+b)=7(b-a)$，展开整理得$10a=4b$，故$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$。
(3) 第一次相遇后，甲到达B地返回，乙继续前进，两人再次相遇时总路程为$2a$，结合速度关系推导得所需时间为$(b-a)\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1)$v_甲=\frac{a+b}{2b}$，$v_乙=\frac{b-a}{2b}$；(2)$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$；(3)$(b-a)\ \mathrm{min}$
【知识点】
二元一次方程组应用、行程问题（相遇追及）、分式运算
【点评】
本题为行程问题的综合应用，各小问层层递进，需熟练掌握相遇、追及的路程关系，重点考查学生的逻辑分析与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为行程类问题，核心是利用“路程=速度×时间”的关系建立等量关系。第(1)问需根据相向而行的相遇条件、同向而行的追及条件，联立方程组求解甲、乙的速度；第(2)问将第(1)问的速度比代入已知比例，通过分式运算求出$\frac{a}{b}$；第(3)问需分析第一次相遇后到再次相遇的路程关系，推导所需时间。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v_甲\ \mathrm{km/min}$，乙的速度为$v_乙\ \mathrm{km/min}$。
根据题意：
相向而行时，$a\ \mathrm{min}$相遇，总路程为$a\ \mathrm{km}$，得$a(v_甲 + v_乙)=a$，化简为$v_甲 + v_乙=1$；
同向而行时，$b\ \mathrm{min}$甲追上乙，路程差为$a\ \mathrm{km}$，得$b(v_甲 - v_乙)=a$，化简为$v_甲 - v_乙=\frac{a}{b}$。
联立方程组$\begin{cases}v_甲 + v_乙=1 \\ v_甲 - v_乙=\frac{a}{b}\end{cases}$，两式相加得$2v_甲=\frac{a+b}{b}$，解得$v_甲=\frac{a+b}{2b}$；两式相减得$2v_乙=\frac{b-a}{b}$，解得$v_乙=\frac{b-a}{2b}$。
(2) 已知$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{7}{3}$，代入$v_甲、v_乙$的表达式：
$\frac{\frac{a+b}{2b}}{\frac{b-a}{2b}}=\frac{a+b}{b-a}=\frac{7}{3}$，交叉相乘得$3(a+b)=7(b-a)$，展开整理得$10a=4b$，故$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$。
(3) 第一次相遇后，甲到达B地返回，乙继续前进，两人再次相遇时总路程为$2a$，结合速度关系推导得所需时间为$(b-a)\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1)$v_甲=\frac{a+b}{2b}$，$v_乙=\frac{b-a}{2b}$；(2)$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$；(3)$(b-a)\ \mathrm{min}$
【知识点】
二元一次方程组应用、行程问题（相遇追及）、分式运算
【点评】
本题为行程问题的综合应用，各小问层层递进，需熟练掌握相遇、追及的路程关系，重点考查学生的逻辑分析与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
23.(12分)(杭州市萧山区)配方和因式分解是多项式变形的两种重要方法。多项式通过配方,并利用完全平方式的非负性可以求得最大值或最小值;通过因式分解,多项式转化为因式的乘积形式,从而可以像有理数乘法那样来进行积的正负性判断。
根据以上内容,解决下列问题:
(1)已知$x$为任何实数。
①试说明多项式$x^2-4x+5$的值一定大于零。
②试求分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值。
(2)已知$x＞2$,$M=5x^2+3$,$N=4x(x+1)$,试比较$M$,$N$的大小。
根据以上内容,解决下列问题:
(1)已知$x$为任何实数。
①试说明多项式$x^2-4x+5$的值一定大于零。
②试求分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值。
(2)已知$x＞2$,$M=5x^2+3$,$N=4x(x+1)$,试比较$M$,$N$的大小。
答案
(1)①因为$x^2-4x+5=(x-2)^2+1≥1＞0$,所以多项式$x^2-4x+5$的值一定大于零。
②$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}=\dfrac{5(x^2-4x+5)+2}{x^2-4x+5}=5+\dfrac{2}{x^2-4x+5}$,由①知,当$x=2$时,$x^2-4x+5$取得最小值1,所以$5+\dfrac{2}{x^2-4x+5}≤5+\dfrac{2}{1}=7$。所以分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值是7。
(2)因为$x＞2$,$M=5x^2+3$,$N=4x(x+1)$,所以$M-N=(5x^2+3)-4x(x+1)=5x^2+3-4x^2-4x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$,所以当$2＜x＜3$时,$M-N=(x-1)(x-3)＜0$,则$M＜N$,当$x=3$时,$M-N=(x-1)(x-3)=0$,则$M=N$,当$x＞3$时,$M-N=(x-1)(x-3)＞0$,则$M＞N$。
②$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}=\dfrac{5(x^2-4x+5)+2}{x^2-4x+5}=5+\dfrac{2}{x^2-4x+5}$,由①知,当$x=2$时,$x^2-4x+5$取得最小值1,所以$5+\dfrac{2}{x^2-4x+5}≤5+\dfrac{2}{1}=7$。所以分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值是7。
(2)因为$x＞2$,$M=5x^2+3$,$N=4x(x+1)$,所以$M-N=(5x^2+3)-4x(x+1)=5x^2+3-4x^2-4x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$,所以当$2＜x＜3$时,$M-N=(x-1)(x-3)＜0$,则$M＜N$,当$x=3$时,$M-N=(x-1)(x-3)=0$,则$M=N$,当$x＞3$时,$M-N=(x-1)(x-3)＞0$,则$M＞N$。
解析
【分析】
本题围绕代数变形的核心方法展开，解题思路如下：
1. 对于(1)①，需用配方法将多项式转化为完全平方式加正数，利用完全平方式的非负性证明其值大于零；
2. 对于(1)②，先将分子变形为含分母多项式的形式，拆分后得到常数加分式，再结合(1)①中分母的最小值，求出分式的最大值；
3. 对于(2)比较M、N大小，采用作差法计算M-N，因式分解后根据x＞2的条件分区间讨论差的正负，进而得出M、N的大小关系。
【解析】
(1)① 对多项式配方：
$x^2 - 4x +5 = (x^2 -4x +4) +1 = (x-2)^2 +1$，
因为任意实数的平方非负，即$(x-2)^2 ≥0$，所以$(x-2)^2 +1 ≥1＞0$，
故多项式$x^2 -4x +5$的值一定大于零。
② 变形分子：
$5x^2 -20x +27 =5(x^2 -4x) +27 =5[(x^2 -4x +5)-5] +27 =5(x^2 -4x +5)+2$，
则分式可化为：
$\dfrac{5x^2 -20x +27}{x^2 -4x +5} = \dfrac{5(x^2 -4x +5)+2}{x^2 -4x +5} =5 + \dfrac{2}{x^2 -4x +5}$，
由①知，$x^2 -4x +5=(x-2)^2 +1$，当$x=2$时，该式取最小值1，
因此$\dfrac{2}{x^2 -4x +5}$的最大值为$\dfrac{2}{1}=2$，
故分式的最大值为$5+2=7$。
(2) 作差计算：
$M-N=(5x^2 +3) -4x(x+1)=5x^2 +3 -4x^2 -4x =x^2 -4x +3=(x-1)(x-3)$，
已知$x＞2$，分情况讨论：
当$2＜x＜3$时，$x-1＞0$，$x-3＜0$，则$(x-1)(x-3)＜0$，即$M＜N$；
当$x=3$时，$(x-1)(x-3)=0$，即$M=N$；
当$x＞3$时，$x-1＞0$，$x-3＞0$，则$(x-1)(x-3)＞0$，即$M＞N$。
【答案】
(1)① 多项式$x^2-4x+5$的值一定大于零；
② 分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值是7；
(2) 当$2＜x＜3$时，$M＜N$；当$x=3$时，$M=N$；当$x＞3$时，$M＞N$。
【知识点】
配方应用，分式最值，作差法比较大小
【点评】
本题综合考查代数变形的核心方法，涉及配方法、因式分解，以及利用完全平方式非负性求最值、作差法比较代数式大小的知识点，是代数基础题型，需掌握配方法技巧和分情况讨论思路，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕代数变形的核心方法展开，解题思路如下：
1. 对于(1)①，需用配方法将多项式转化为完全平方式加正数，利用完全平方式的非负性证明其值大于零；
2. 对于(1)②，先将分子变形为含分母多项式的形式，拆分后得到常数加分式，再结合(1)①中分母的最小值，求出分式的最大值；
3. 对于(2)比较M、N大小，采用作差法计算M-N，因式分解后根据x＞2的条件分区间讨论差的正负，进而得出M、N的大小关系。
【解析】
(1)① 对多项式配方：
$x^2 - 4x +5 = (x^2 -4x +4) +1 = (x-2)^2 +1$，
因为任意实数的平方非负，即$(x-2)^2 ≥0$，所以$(x-2)^2 +1 ≥1＞0$，
故多项式$x^2 -4x +5$的值一定大于零。
② 变形分子：
$5x^2 -20x +27 =5(x^2 -4x) +27 =5[(x^2 -4x +5)-5] +27 =5(x^2 -4x +5)+2$，
则分式可化为：
$\dfrac{5x^2 -20x +27}{x^2 -4x +5} = \dfrac{5(x^2 -4x +5)+2}{x^2 -4x +5} =5 + \dfrac{2}{x^2 -4x +5}$，
由①知，$x^2 -4x +5=(x-2)^2 +1$，当$x=2$时，该式取最小值1，
因此$\dfrac{2}{x^2 -4x +5}$的最大值为$\dfrac{2}{1}=2$，
故分式的最大值为$5+2=7$。
(2) 作差计算：
$M-N=(5x^2 +3) -4x(x+1)=5x^2 +3 -4x^2 -4x =x^2 -4x +3=(x-1)(x-3)$，
已知$x＞2$，分情况讨论：
当$2＜x＜3$时，$x-1＞0$，$x-3＜0$，则$(x-1)(x-3)＜0$，即$M＜N$；
当$x=3$时，$(x-1)(x-3)=0$，即$M=N$；
当$x＞3$时，$x-1＞0$，$x-3＞0$，则$(x-1)(x-3)＞0$，即$M＞N$。
【答案】
(1)① 多项式$x^2-4x+5$的值一定大于零；
② 分式$\dfrac{5x^2-20x+27}{x^2-4x+5}$的最大值是7；
(2) 当$2＜x＜3$时，$M＜N$；当$x=3$时，$M=N$；当$x＞3$时，$M＞N$。
【知识点】
配方应用，分式最值，作差法比较大小
【点评】
本题综合考查代数变形的核心方法，涉及配方法、因式分解，以及利用完全平方式非负性求最值、作差法比较代数式大小的知识点，是代数基础题型，需掌握配方法技巧和分情况讨论思路，难度适中。
【难度系数】
0.6
