23. (10分)(2025·宁波市北仑区期末)如图1,在$□ ABCD$中,M是CD的中点,联结AM并延长交BC的延长线于点N,联结AC,DN。
(1)求证:四边形ACND是平行四边形。
(2)如图2,联结BM,若$CD=2BC=13,BM=12$。
①求证$BM⊥AN$。
②求AN的值。

23.(1)证明:因为在$□ ABCD$中,$AD// BC$,所以$AD// BN$,所以$∠DAM=∠CNM$。因为M是CD的中点,所以$MD=MC$。因为$∠AMD=∠NMC$,所以$△AMD≌△NMC(\mathrm{AAS})$,所以$AD=CN$。因为$AD// CN$,所以四边形ACND是平行四边形。
(2) ① 证明: 因为在$□ ABCD$中,$AD=BC$,$AB=CD$,在$□ ACND$中,$AD=CN$,所以$BC=CN$。因为$CD=2BC$,所以$AB=BN$。因为在$□ ACND$中,$AM=MN$,所以$BM⊥AN$。
② 解: 因为在$□ ABCD$中,$AB=CD=13$,所以在$\mathrm{Rt}△AMB$中,由勾股定理,得$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,所以$AN=2AM=10$。

【分析】
本题围绕平行四边形的性质与判定、全等三角形、等腰三角形性质及勾股定理展开。第(1)问需利用平行四边形对边平行的性质，结合中点条件证明三角形全等，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明；第(2)问①需结合平行四边形对边相等的关系，推导出等腰三角形，再用“等腰三角形三线合一”证明垂直；②利用勾股定理计算线段长度，结合中点关系求AN。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AD//BN，
∴∠DAM=∠CNM。
∵M是CD的中点，
∴MD=MC。
在△AMD和△NMC中，$\{\begin{array}{l}∠DAM=∠CNM \\ ∠AMD=∠NMC \\ MD=MC\end{array} $，
∴△AMD≌△NMC(AAS)，
∴AD=CN。
又
∵AD//CN，
∴四边形ACND是平行四边形。
(2) ① 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD。
由(1)知四边形ACND是平行四边形，
∴AD=CN，
∴BC=CN。
∵CD=2BC，AB=CD，
∴AB=2BC=BC+CN=BN，即AB=BN。
又
∵四边形ACND是平行四边形，M是AN与CD的交点，
∴AM=MN，即M是AN的中点。
∴BM是等腰△ABN底边AN上的中线，根据等腰三角形“三线合一”，可得BM⊥AN。
② 解：
∵AB=CD=13，BM⊥AN，
∴△AMB是直角三角形。
在Rt△AMB中，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$。
∵M是AN的中点，
∴AN=2AM=2×5=10。
【答案】
(1) 四边形ACND是平行四边形，证明见解析；(2) ① BM⊥AN，证明见解析；② AN的值为10。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查多个几何核心知识点，需熟练运用平行四边形、全等三角形、等腰三角形的性质推导关系，结合勾股定理计算，是中等难度的几何综合题，注重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.5