20.(8分)如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AC,AB的中点,F是CB延长线上的一点,且$CF=3BF$,联结DE,DB,EF。若$∠ ACB=90°$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,$DE=4\ \mathrm{cm}$。
(1)求证:$DE=BF$。
(2)求四边形$DEFB$的周长。

20.(1)证明:因为D,E分别是AC,AB的中点,所以DE是$△ABC$的中位线,所以$DE// BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$。因为$CF=3BF$,所以$BF=\frac{1}{2}BC$,所以$DE=BF$。
(2)解:因为D是AC的中点,$AC=12\ \mathrm{cm}$,所以$CD=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$。因为$DE=4\ \mathrm{cm}$,所以由(1)可知,$BC=2DE=8\ \mathrm{cm}$。因为$∠ACB=90°$,所以在$\mathrm{Rt}△BCD$中,由勾股定理,得$DB=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$。因为$DE// BC$,所以$DE// BF$。又因为$DE=BF$,所以四边形DEFB是平行四边形,所以$DB=EF$,所以四边形DEFB的周长为$2×(4+10)=28(\mathrm{cm})$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问要证明线段相等，需利用三角形中位线定理推导DE与BC的关系，结合已知CF=3BF推出BF与BC的关系，进而得到DE=BF；第(2)问求四边形周长，需先利用中点性质和中位线定理求出相关边长，再通过勾股定理计算对角线长度，结合平行四边形的判定得到四边形DEFB为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等计算周长。
【解析】
(1)证明：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，得：
DE//BC，且DE=$\frac{1}{2}BC$。
又
∵CF=3BF，且CF=CB+BF，
∴CB+BF=3BF，即CB=2BF，
∴BF=$\frac{1}{2}BC$，
∴DE=BF。
(2)解：
∵D是AC的中点，AC=12 cm，
∴CD=$\frac{1}{2}AC$=6 cm。
由(1)知DE=$\frac{1}{2}BC$，且DE=4 cm，
∴BC=2DE=8 cm。
∵∠ACB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：
DB=$\sqrt{CD^2+BC^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm)。
由(1)得DE=BF，又
∵DE//BC，即DE//BF，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴EF=DB=10 cm，BF=DE=4 cm，
∴四边形DEFB的周长=2×(DE+DB)=2×(4+10)=28(cm)。
【答案】
(1)证明成立；(2)四边形DEFB的周长为28 cm。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用相关定理逐步推导，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

21.(8分)(2024·杭州市钱塘区期末)如图,在$6×6$的网格中,每个小正方形的边长都是1,每个顶点称为格点。线段AB的端点都在格点上。按下列要求作图,使所画图形的端点均在格点上。
(1)在图1中画一个以AB为边的平行四边形。
(2)在图2中画一个以AB为边,且面积为12的平行四边形。
(3)在图3中画一个以AB为对角线,且面积为7的平行四边形。

21.(1)解:如图1,平行四边形ABCD即为所求作。(答案不唯一)
(2)解:如图2,平行四边形ABEF即为所求作。
(3)解:如图3,平行四边形AMBN即为所求作。

【分析】
本题是网格中的平行四边形作图题，需结合平行四边形的性质（对边平行且相等、对角线互相平分）和面积计算完成：
(1) 以AB为边作平行四边形，利用“平行四边形对边平行且相等”，在网格中找格点使AB的对边平行且相等，即可画出符合要求的图形；
(2) 以AB为边且面积为12的平行四边形，根据平行四边形面积公式（底×高），结合网格边长确定底和高，构造出面积为12的平行四边形；
(3) 以AB为对角线的平行四边形，利用“平行四边形对角线互相平分”，结合面积要求（平行四边形面积为7，即对角线分成的两个三角形面积各为3.5），找到对应格点画出图形。
【解析】
(1) 根据平行四边形对边平行且相等的性质，在图1中取格点C、D，使AD//BC且AD=BC，AB//CD且AB=CD，连接各点，得到平行四边形ABCD（答案不唯一）；
(2) 平行四边形面积=底×高，要使以AB为边的平行四边形面积为12，结合网格，取水平方向的边长度为4，高为3，构造平行四边形ABEF，其中BE=4，AF//BE，此时面积=4×3=12，符合要求；
(3) 平行四边形对角线互相平分，AB的中点为对角线交点，要使面积为7，则△ABM的面积为7÷2=3.5，在网格中找格点M、N，使AB的中点为MN的中点，且△ABM的面积为3.5，连接各点得到平行四边形AMBN，符合要求。
【答案】
(1) 如图1，平行四边形ABCD即为所求作。
(2) 如图2，平行四边形ABEF即为所求作。
(3) 如图3，平行四边形AMBN即为所求作。
【知识点】
平行四边形性质，网格作图，面积计算
【点评】
本题考查网格中平行四边形的作图，需灵活运用平行四边形的性质和面积公式，结合网格特点确定格点位置，是基础几何作图题，注重性质的实际应用。
【难度系数】
0.5

22. (10分)已知:如图,在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,$∠ A=∠ B=45°$,$AB=5CD=10$。
(1)求证:$AD=BC$。
(2)求$AB$与$CD$之间的距离。

22.(1)证明:如图,过点C作$CE// AD$交AB于点E。所以$∠CEB=∠A=45°$。因为$∠A=∠B=45°$,所以$∠CEB=∠B$,所以$BC=CE$。因为$AB// CD$,$CE// AD$,所以四边形ADCE是平行四边形,所以$CE=AD$,所以$AD=BC$。
(2)解:如图,过点C作$CF⊥AB$于点F。因为$AB=5CD=10$,所以$CD=2$。因为四边形ADCE是平行四边形,所以$AE=CD=2$,所以$BE=AB-AE=8$。因为$CE=BC$,$CF⊥BE$,所以$EF=BF=\frac{1}{2}BE=4$。在$\mathrm{Rt}△BFC$中,$∠B=45°$,所以$∠BCF=45°$,所以$CF=BF=4$,所以AB与CD之间的距离为4。

【分析】
第(1)问要证明梯形两腰相等，可通过平移一腰构造平行四边形和等腰三角形，利用平行四边形对边相等及等腰三角形等角对等边的性质推导；第(2)问求两底距离即梯形的高，需作高构造直角三角形，结合已知角度和线段长度，利用等腰三角形三线合一及等腰直角三角形的性质计算，先由AB=5CD=10求出CD，再结合平行四边形性质得BE，最后求高。
【解析】
(1) 证明：过点$C$作$CE // AD$，交$AB$于点$E$。
$\because AB // CD$，$CE // AD$，
$\therefore$ 四边形$ADCE$是平行四边形，
$\therefore CE = AD$。
又$\because ∠ A = 45°$，$\therefore ∠ CEB = ∠ A = 45°$，
且$∠ B = 45°$，$\therefore ∠ CEB = ∠ B$，
$\therefore BC = CE$，
$\therefore AD = BC$。
(2) 解：$\because AB = 5CD = 10$，$\therefore CD = 2$。
过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$。
由(1)中四边形$ADCE$是平行四边形，得$AE = CD = 2$，
$\therefore BE = AB - AE = 10 - 2 = 8$。
$\because CE = BC$，$CF ⊥ BE$，根据等腰三角形三线合一，得$BF = \frac{1}{2}BE = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ B = 45°$，$\therefore ∠ BCF = 45°$，
$\therefore CF = BF = 4$，即$AB$与$CD$之间的距离为$4$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 4，
【知识点】
梯形性质、平行四边形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题通过平移腰、作高将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，运用转化思想解题，是梯形相关的典型题型，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5