16. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ B=30°$,$BC=4$,$P$是$BC$上一点,联结$PA$,分别以$PA$,$PC$为边作$□ APCE$,联结$PE$,则$PE$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。

16.$\sqrt{3}$ 【解析】因为在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠BAC=90°$,$∠B=30°$,$BC=4$,所以$AC=\frac{1}{2}BC=2$,所以$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。因为四边形APCE是平行四边形,所以$AE// BC$。因为P是BC上一点,所以PE取最小值时,$PE⊥BC$。因为平行线间的距离处处相等,所以$PE⊥BC$时,PE的长度等于点A到BC的距离,记点A到BC的距离为h,则$\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·h$,即$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4h$,所以$h=\sqrt{3}$,即PE的最小值为$\sqrt{3}$。

【分析】
要找到PE的最小值，首先利用直角三角形的性质求出△ABC的边长，再结合平行四边形的性质，确定PE最短的情况：因为平行四边形APCE中AE//BC，根据“垂线段最短”，当PE⊥BC时PE最短，此时PE的长度等于点A到BC的距离，最后用三角形面积公式计算该距离即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=30°$，$BC=4$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$AC=\frac{1}{2}BC=2$；再由勾股定理，$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
因为四边形$APCE$是平行四边形，所以$AE// BC$，根据“平行线间的距离处处相等”，当$PE⊥ BC$时，$PE$的长度最小，此时$PE$的长度等于点$A$到$BC$的距离$h$。
利用三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$\frac{1}{2}BC·h$，因此：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4h$，解得$h=\sqrt{3}$，即$PE$的最小值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、平行四边形性质、垂线段最短
【点评】
本题结合直角三角形、平行四边形的性质，利用垂线段最短和面积法求最值，需要学生灵活转化线段关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)如图,在$□ ABCD$中,E,F是对角线AC上的两点,且$BE// DF$。
求证:$AE=CF$。

17. 证明: 因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB=CD$,$AB// CD$,所以$∠EAB=∠FCD$。因为$BE// DF$,所以$∠BEF=∠DFE$,所以$∠AEB=∠CFD$。在$△AEB$和$△CFD$中,因为$\begin{cases}∠AEB=∠CFD,\\∠EAB=∠FCD,\\AB=CD,\end{cases}$所以$△AEB≌△CFD(\mathrm{AAS})$,所以$AE=CF$。

【分析】要证明AE=CF，可通过证明△AEB与△CFD全等实现。首先利用平行四边形的性质得到对应边相等和内错角相等，再结合BE//DF得到另一组对应角相等，进而用AAS判定三角形全等，最终推导出AE=CF。
【解析】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠EAB=∠FCD。
∵BE//DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠CFD（等角的补角相等）。
在△AEB和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD,\\∠EAB=∠FCD,\\AB=CD,\end{array} $
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE=CF。
【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形性质，全等三角形判定（AAS）
【点评】本题是平行四边形与全等三角形的基础综合证明题，考查平行四边形的性质及全等三角形的AAS判定定理，解题关键是利用平行四边形的性质找到全等三角形的对应条件。
【难度系数】0.6

18.(8分)(2025·宁波市余姚市期末)如图,在$□ ABCD$中,点E,F分别在AB,CD上,且$AE=CF$。
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形。
(2)求证:$∠AED=∠BFC$。

18.(1)证明: 因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD$,$AB=CD$。因为$AE=CF$,所以$BE=DF$,所以四边形DEBF是平行四边形。
(2)证明: 因为四边形DEBF是平行四边形,所以$∠BED=∠BFD$。因为$∠BED+∠AED=∠BFD+∠BFC=180°$,所以$∠AED=∠BFC$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问要证明四边形DEBF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质，结合已知AE=CF，推导出BE与DF平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问需借助第(1)问得到的平行四边形DEBF的对角相等性质，结合邻补角互补的特点，推导∠AED与∠BFC相等。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD（平行四边形对边平行且相等）。
又
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即 BE = DF。
又
∵ BE//DF（由AB//CD可得），
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
∵ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ ∠BED = ∠BFD（平行四边形对角相等）。
∵ ∠BED + ∠AED = 180°，∠BFD + ∠BFC = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AED = ∠BFC（等角的补角相等）。
【答案】
(1) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB// CD，AB=CD。因为AE=CF，所以BE=DF，所以四边形DEBF是平行四边形。
(2) 证明：因为四边形DEBF是平行四边形，所以∠BED=∠BFD。因为∠BED+∠AED=∠BFD+∠BFC=180°，所以∠AED=∠BFC。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、邻补角的性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题关键是熟练运用平行四边形的相关定理，通过边、角的关系逐步推导完成证明，属于基础几何证明题，难度适中。
【难度系数】
0.6

19.(8分)如图,小东在操场的中心位置,从点A出发,每走6 m向左转60°。
(1)小东能否走回点A处? 若能,请求出小东一共走了多少米;若不能,请说明理由。
(2)小东走过的路径是一个什么几何图形? 求这个几何图形的内角和。

19.(1)解:小东能走回点A处。因为从点A出发,每走6 m向左转60°,$360°÷60°=6$,所以小东一共走了$6×6=36(\mathrm{m})$。
(2)解:因为由(1)得,多边形有六条边,且每一条边都相等。由每个外角都为60°,得六边形的每个内角都相等,所以走过的路径是一个边长为6 m的正六边形,所以正六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$。

【分析】
要解决这个问题，需结合多边形外角和的性质分析：小东每次左转的60°是多边形的外角，任意多边形的外角和固定为360°，通过外角和除以每个外角的度数可得到多边形的边数，据此判断能否回到起点并计算总路程；再根据边的特征判断图形形状，最后用多边形内角和公式计算内角和。
【解析】
(1) 小东每次左转的60°是多边形的外角，因为多边形外角和为360°，所以边数为：$360° ÷ 60° = 6$，说明小东走了6段相等的路程，能回到点A处。总路程为：$6 × 6 = 36(\mathrm{m})$。
(2) 由(1)可知，小东走过的路径有6条边，且每条边长度均为6m，每个外角都是60°，因此该图形是边长为6m的正六边形。根据多边形内角和公式$(n-2) × 180°$（$n$为边数），正六边形的内角和为：$(6-2) × 180° = 720°$。
【答案】
(1) 能，一共走了36米；(2) 正六边形，内角和为720°。
【知识点】
多边形外角和、正多边形、多边形内角和
【点评】
本题考查多边形外角和、正多边形判定及内角和公式的应用，属于基础应用题，需掌握多边形外角和为360°的核心性质，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8