24.(12分)(2025·杭州市余杭区期末模拟)创新探究 方方与圆圆在学习中心对称后,准备对平行四边形进行更深入的研究,如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD上的点,当$AE=CF$时,DE与BF是中心对称的,可推理得到$∠DEB=∠DFB$。
(1)在图1中,G为CD上不同于F的一点,满足$BG=DE$,此时DE与BG不是中心对称的,那么$∠DEB$与$∠BGD$是否仍存在某种数量关系?并说明理由。
(2)如图2,在平行四边形ABCD($AB＞BC$)中,AC,BD交于点O,E为AB上一点,延长OE交CB的延长线于点H,若$CH=AE=a$,$BE=b$,求BC的长(用含$a,b$的式子表示)。
(3)如图3,在$△ ABC$($AB＞BC$)中,O为AC的中点,E为AB上一点,延长OE交CB的延长线于点H,若$CH=AE=4$,$BC=3$,直接写出AB的长。

24.(1)解:$∠DEB+∠BGD=180°$。理由如下: 因为$BG=DE$,$DE=BF$,所以$BG=BF$,所以$∠BGD=∠BFC$。因为$∠DEB=∠DFB$,$∠DFB+∠BFG=180°$,所以$∠DEB+∠BGD=180°$。
(2)解:如图,延长HO交CD于点F。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AO=CO$,$AB// CD$,所以$∠FCO=∠EAO$,$∠CFO=∠AEO=∠BEH$,所以$△CFO≌△AEO(\mathrm{AAS})$,所以$CF=AE=a$。因为$CH=AE$,所以$CF=CH$,所以$∠CFE=∠H$,所以$∠BEH=∠H$,所以$BE=BH=b$,所以$BC=CH-BH=a-b$。
(3)解:$AB=5$。【解析】因为$CH=4$,$BC=3$,所以$BH=1$。由(2)可知,$∠BEH=∠H$,所以$BE=BH=1$,所以$AB=AE+BE=4+1=5$。

【分析】
(1) 先利用平行四边形ABCD的性质，结合AE=CF推出四边形DEBF是平行四边形，得到DE=BF；再由BG=DE得BG=BF，利用等腰三角形性质得∠BGD=∠BFC；最后结合邻补角关系和平行四边形中DE与BF的平行关系，推导∠DEB与∠BGD的数量关系。
(2) 利用平行四边形对角线互相平分及AB//CD，证明△CFO≌△AEO，得到CF=AE；结合CH=AE得CF=CH，推出∠CFE=∠H，再由平行线性质得∠BEH=∠H，故BE=BH，从而计算BC的长度。
(3) 类比(2)的思路，先求出BH的长度，再利用BE=BH，结合AE的长度计算AB的长。
【解析】
(1) 解：∠DEB + ∠BGD = 180°，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
又
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE=DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE=BF，∠DEB=∠DFB，
∵ BG=DE，
∴ BG=BF，
∴ ∠BGD=∠BFC，
∵ F在CD上，
∴ ∠DFB + ∠BFC = 180°，
∴ ∠DEB + ∠BGD = 180°。
(2) 解：如图，延长HO交CD于点F。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，AB//CD，
∴ ∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO，
在△CFO和△AEO中，
$\{\begin{array}{l}∠FCO=∠EAO \\∠CFO=∠AEO \\CO=AO\end{array} $
∴ △CFO≌△AEO（AAS），
∴ CF=AE=a，
∵ CH=AE=a，
∴ CF=CH，
∴ ∠CFE=∠H，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠CFE=∠BEH，
∴ ∠BEH=∠H，
∴ BE=BH=b，
∴ BC=CH - BH = a - b。

(3) 解：由(2)的结论可知BE=BH，
∵ CH=4，BC=3，
∴ BH=CH - BC=4 - 3=1，
∴ BE=BH=1，
又
∵ AE=4，
∴ AB=AE + BE=4 + 1=5。
【答案】
(1) ∠DEB + ∠BGD = 180°；
(2) BC = a - b；
(3) AB=5。

【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题围绕平行四边形展开探究，通过线段等量关系推导角与边的关系，考查平行四边形、全等三角形、等腰三角形的性质应用，注重逻辑推理与知识迁移，是典型的几何探究题。
【难度系数】
0.3