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1. (2025·杭州市上城区期末)下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是 (
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对边平行且相等
D.对角线相等
B
)A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对边平行且相等
D.对角线相等
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，先回忆平行四边形的共有性质，再分别梳理菱形和矩形的特有性质，最后逐一对比选项，找出“菱形具有而矩形不一定具有”的性质。
【解析】
菱形和矩形都属于平行四边形，平行四边形的共性为：对角线互相平分、对边平行且相等，因此选项A、C是两者都具备的性质，不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等但不一定互相垂直，因此选项B是菱形具有而矩形不一定具有的性质，符合题意；
矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，因此选项D是矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意；
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质对比，核心是区分菱形与矩形的对角线特性，属于基础题型，难度较低，适合期末基础考查。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，先回忆平行四边形的共有性质，再分别梳理菱形和矩形的特有性质，最后逐一对比选项，找出“菱形具有而矩形不一定具有”的性质。
【解析】
菱形和矩形都属于平行四边形，平行四边形的共性为：对角线互相平分、对边平行且相等，因此选项A、C是两者都具备的性质，不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等但不一定互相垂直，因此选项B是菱形具有而矩形不一定具有的性质，符合题意；
矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，因此选项D是矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意；
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质对比，核心是区分菱形与矩形的对角线特性，属于基础题型，难度较低，适合期末基础考查。
【难度系数】
0.6
2. 在矩形$ABCD$中,其中三个顶点的坐标分别是$(0,0),(5,0),(5,3)$,则第四个顶点的坐标是（
A.$(0,3)$
B.$(3,0)$
C.$(0,5)$
D.$(5,0)$
A
）A.$(0,3)$
B.$(3,0)$
C.$(0,5)$
D.$(5,0)$
答案
2.A
解析
【分析】首先明确矩形的核心性质：邻边互相垂直，对边平行且相等，四个角为直角。已知三个顶点坐标，先判断各点位置：(0,0)是坐标原点，(5,0)在x轴正方向，与(0,0)共水平线；(5,3)在(5,0)正上方，与(5,0)共竖直线。根据矩形邻边垂直的特点，第四个顶点需与(0,0)同竖直线（x值相同）、与(5,3)同水平线（y值相同），由此推导坐标。
【解析】已知矩形三个顶点为(0,0)、(5,0)、(5,3)，其中(0,0)与(5,0)确定水平边，(5,0)与(5,3)确定竖直边。矩形第四个顶点需满足：与(0,0)的x坐标一致（竖直线x=0），与(5,3)的y坐标一致（水平线y=3），因此第四个顶点坐标为(0,3)，对应选项A。
【答案】A
【知识点】矩形的性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题是矩形性质与平面直角坐标系的基础结合题，关键在于利用矩形邻边垂直的特征，结合已知点的坐标规律推导未知点，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】已知矩形三个顶点为(0,0)、(5,0)、(5,3)，其中(0,0)与(5,0)确定水平边，(5,0)与(5,3)确定竖直边。矩形第四个顶点需满足：与(0,0)的x坐标一致（竖直线x=0），与(5,3)的y坐标一致（水平线y=3），因此第四个顶点坐标为(0,3)，对应选项A。
【答案】A
【知识点】矩形的性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题是矩形性质与平面直角坐标系的基础结合题，关键在于利用矩形邻边垂直的特征，结合已知点的坐标规律推导未知点，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O,B的坐标分别是$(0,0),(4,0)$,则顶点C的坐标是 (
A.$(2,-2\sqrt{2})$
B.$(2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$
C.$(2,-2)$
D.$(2\sqrt{2},-2)$
C
)A.$(2,-2\sqrt{2})$
B.$(2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$
C.$(2,-2)$
D.$(2\sqrt{2},-2)$
答案
3.C
解析
【分析】要确定正方形顶点C的坐标，需利用正方形对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且长度相等。先找到已知对角线OB的中点，再确定另一条对角线AC的位置，进而推导点C的坐标。
【解析】已知O(0,0)，B(4,0)，则OB的长度为4，OB是正方形OABC的一条对角线，因此另一条对角线AC与OB互相垂直平分，且AC=OB=4。
OB的中点坐标为：$(\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,0)$，由于OB在x轴上，所以AC垂直于x轴，即AC所在直线为x=2；又因为点C在OB的下方，所以从OB的中点(2,0)向y轴负方向移动$\frac{4}{2}=2$个单位，得到点C的坐标为(2, -2)。
【答案】C
【知识点】正方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题结合正方形性质与平面直角坐标系考查坐标求解，核心是利用对角线的特征确定点的位置，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】已知O(0,0)，B(4,0)，则OB的长度为4，OB是正方形OABC的一条对角线，因此另一条对角线AC与OB互相垂直平分，且AC=OB=4。
OB的中点坐标为：$(\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,0)$，由于OB在x轴上，所以AC垂直于x轴，即AC所在直线为x=2；又因为点C在OB的下方，所以从OB的中点(2,0)向y轴负方向移动$\frac{4}{2}=2$个单位，得到点C的坐标为(2, -2)。
【答案】C
【知识点】正方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题结合正方形性质与平面直角坐标系考查坐标求解，核心是利用对角线的特征确定点的位置，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
4. (2024·杭州市钱塘区期末)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则下列判断正确的是 (
A.若$AC=BD,AC ⊥ BD$,则四边形ABCD是正方形
B.若$OA=OB,OC=OD$,则四边形ABCD是平行四边形
C.若$OA=OC,OB=OD,AB ⊥ BC$,则四边形ABCD是菱形
D.若$OA=OC,OB=OD,AC=BD$,则四边形ABCD是矩形
D
)A.若$AC=BD,AC ⊥ BD$,则四边形ABCD是正方形
B.若$OA=OB,OC=OD$,则四边形ABCD是平行四边形
C.若$OA=OC,OB=OD,AB ⊥ BC$,则四边形ABCD是菱形
D.若$OA=OC,OB=OD,AC=BD$,则四边形ABCD是矩形
答案
4.D
解析
【分析】本题需结合正方形、平行四边形、菱形、矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件是否能推出对应特殊四边形，从而确定正确选项。
【解析】
选项A：仅对角线相等且垂直，未满足“对角线互相平分”的正方形判定条件，无法判定为正方形，故A错误；
选项B：OA=OB、OC=OD不能推出对角线互相平分，不满足平行四边形的判定条件，无法判定为平行四边形，故B错误；
选项C：OA=OC、OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AB⊥BC，该平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
选项D：OA=OC、OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确。
【答案】D
【知识点】矩形的判定、平行四边形的判定、正方形的判定
【点评】本题考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，逐一分析选项，避免概念混淆，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】
选项A：仅对角线相等且垂直，未满足“对角线互相平分”的正方形判定条件，无法判定为正方形，故A错误；
选项B：OA=OB、OC=OD不能推出对角线互相平分，不满足平行四边形的判定条件，无法判定为平行四边形，故B错误；
选项C：OA=OC、OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AB⊥BC，该平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
选项D：OA=OC、OB=OD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确。
【答案】D
【知识点】矩形的判定、平行四边形的判定、正方形的判定
【点评】本题考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，逐一分析选项，避免概念混淆，属于基础题型。
【难度系数】0.6
5. (2024·金华市东阳市期末)菱形的周长为32 cm，一个内角的度数为$120°$，则该菱形的面积为 (
A.$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$32\ \mathrm{cm}^2$
D.$16\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$32\ \mathrm{cm}^2$
D.$16\ \mathrm{cm}^2$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，需先利用菱形四边相等的性质求出边长，再根据已知内角的度数求出菱形的高，最后用“底×高”计算面积，对比选项得出答案。具体步骤：1. 由菱形周长计算边长；2. 利用内角关系求出相邻内角，通过作高构造直角三角形，用三角函数求高；3. 代入面积公式计算，选出正确选项。
【解析】
解：
∵菱形的四条边相等，周长为32 cm，
∴菱形的边长 = 32 ÷ 4 = 8 cm。
∵菱形的一个内角为120°，
∴相邻的内角为180° - 120° = 60°。
过菱形的一个顶点向对边作高，形成直角三角形，其中斜边为菱形的边长8 cm，一个锐角为60°，
∴高 = 边长 × sin60° = 8 × (√3/2) = 4√3 cm。
根据菱形面积公式：面积 = 底 × 高，
∴该菱形的面积 = 8 × 4√3 = 32√3 cm²。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、菱形的面积计算
【点评】
本题考查菱形的基本性质与面积计算，核心是利用菱形内角的度数求出高，进而计算面积，属于基础题型，需熟练掌握菱形的相关性质及面积公式。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先利用菱形四边相等的性质求出边长，再根据已知内角的度数求出菱形的高，最后用“底×高”计算面积，对比选项得出答案。具体步骤：1. 由菱形周长计算边长；2. 利用内角关系求出相邻内角，通过作高构造直角三角形，用三角函数求高；3. 代入面积公式计算，选出正确选项。
【解析】
解：
∵菱形的四条边相等，周长为32 cm，
∴菱形的边长 = 32 ÷ 4 = 8 cm。
∵菱形的一个内角为120°，
∴相邻的内角为180° - 120° = 60°。
过菱形的一个顶点向对边作高，形成直角三角形，其中斜边为菱形的边长8 cm，一个锐角为60°，
∴高 = 边长 × sin60° = 8 × (√3/2) = 4√3 cm。
根据菱形面积公式：面积 = 底 × 高，
∴该菱形的面积 = 8 × 4√3 = 32√3 cm²。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、菱形的面积计算
【点评】
本题考查菱形的基本性质与面积计算，核心是利用菱形内角的度数求出高，进而计算面积，属于基础题型，需熟练掌握菱形的相关性质及面积公式。
【难度系数】
0.6
6. (2025·杭州市八县区期末)顺次联结一个四边形各边中点得到的四边形叫作这个四边形的中点四边形。如果一个四边形的中点四边形是矩形,那么原四边形的对角线需满足的条件是 (
A.互相平分且相等
B.互相平分且垂直
C.相等
D.互相垂直
D
)A.互相平分且相等
B.互相平分且垂直
C.相等
D.互相垂直
答案
6.D
解析
【分析】要解决本题，需先利用三角形中位线定理推导中点四边形与原四边形对角线的关系，再结合矩形的判定条件得出结论：首先，顺次连接四边形各边中点得到的中点四边形，其边与原四边形的对角线存在平行关系，因此中点四边形是平行四边形；其次，平行四边形成为矩形的条件是邻边垂直，由此可推导出原四边形对角线需满足的条件。
【解析】设原四边形为ABCD，各边中点依次为E、F、G、H。根据三角形中位线定理：EF是△ABC的中位线，故EF//AC；FG是△BCD的中位线，故FG//BD。因此四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行）。若中点四边形EFGH为矩形，则其相邻边EF⊥FG，结合EF//AC、FG//BD，可得AC⊥BD，即原四边形的对角线互相垂直。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、矩形的判定、中点四边形性质
【点评】本题核心是利用三角形中位线定理建立中点四边形与原四边形对角线的联系，需明确中点四边形的边与原对角线的平行关系，结合矩形的判定条件即可快速得出结论，属于基础几何性质的应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】设原四边形为ABCD，各边中点依次为E、F、G、H。根据三角形中位线定理：EF是△ABC的中位线，故EF//AC；FG是△BCD的中位线，故FG//BD。因此四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行）。若中点四边形EFGH为矩形，则其相邻边EF⊥FG，结合EF//AC、FG//BD，可得AC⊥BD，即原四边形的对角线互相垂直。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、矩形的判定、中点四边形性质
【点评】本题核心是利用三角形中位线定理建立中点四边形与原四边形对角线的联系，需明确中点四边形的边与原对角线的平行关系，结合矩形的判定条件即可快速得出结论，属于基础几何性质的应用题型。
【难度系数】0.5
7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有以下结论:
①$S_{△ ABO}=S_{△ BCO}$;②若$∠ACB=30°$,则$△ ABO$是等边三角形;③$AC=BD$;④$AC⊥BD$;⑤BD平分$∠ABC$。正确结论的个数是 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
①$S_{△ ABO}=S_{△ BCO}$;②若$∠ACB=30°$,则$△ ABO$是等边三角形;③$AC=BD$;④$AC⊥BD$;⑤BD平分$∠ABC$。正确结论的个数是 (
B
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
7.B
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角为直角。再逐一分析每个结论：
1. 结论①：利用对角线平分得AO=OC，结合同高三角形面积相等判断；
2. 结论②：结合直角三角形30°角的性质和矩形对角线的特点，判断△ABO的三边关系；
3. 结论③：直接利用矩形对角线相等的性质；
4. 结论④：区分矩形与特殊平行四边形（菱形、正方形）的对角线性质，矩形对角线不垂直；
5. 结论⑤：矩形只有为正方形时对角线才平分内角，一般矩形不具备此性质。
最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据矩形的性质，逐一分析如下：
1. 结论①：
∵矩形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴AO=OC。
△ABO与△BCO的高均为点B到AC的距离，底AO=OC，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABO}=S_{△BCO}$，故①正确。
2. 结论②：
∵矩形ABCD中∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AB=\frac{1}{2}AC$（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半）。
又
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴$AO=BO=\frac{1}{2}AC$，因此AB=AO=BO，△ABO为等边三角形，故②正确。
3. 结论③：
矩形的对角线相等，
∴AC=BD，故③正确。
4. 结论④：
矩形对角线互相平分但不一定垂直，只有菱形、正方形的对角线互相垂直，故④错误。
5. 结论⑤：
矩形的对角线平分内角仅当矩形为正方形时成立，一般矩形的对角线不平分∠ABC，故⑤错误。
综上，正确结论为①②③，共3个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形判定、三角形面积
【点评】
本题考查矩形的性质及相关判定，需熟练掌握矩形对角线的特征，区分矩形与特殊平行四边形的性质差异，易错点为混淆对角线的性质，属于基础中档题。
【难度系数】
0.5
要判断各结论是否正确，需先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角为直角。再逐一分析每个结论：
1. 结论①：利用对角线平分得AO=OC，结合同高三角形面积相等判断；
2. 结论②：结合直角三角形30°角的性质和矩形对角线的特点，判断△ABO的三边关系；
3. 结论③：直接利用矩形对角线相等的性质；
4. 结论④：区分矩形与特殊平行四边形（菱形、正方形）的对角线性质，矩形对角线不垂直；
5. 结论⑤：矩形只有为正方形时对角线才平分内角，一般矩形不具备此性质。
最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据矩形的性质，逐一分析如下：
1. 结论①：
∵矩形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴AO=OC。
△ABO与△BCO的高均为点B到AC的距离，底AO=OC，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABO}=S_{△BCO}$，故①正确。
2. 结论②：
∵矩形ABCD中∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AB=\frac{1}{2}AC$（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半）。
又
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴$AO=BO=\frac{1}{2}AC$，因此AB=AO=BO，△ABO为等边三角形，故②正确。
3. 结论③：
矩形的对角线相等，
∴AC=BD，故③正确。
4. 结论④：
矩形对角线互相平分但不一定垂直，只有菱形、正方形的对角线互相垂直，故④错误。
5. 结论⑤：
矩形的对角线平分内角仅当矩形为正方形时成立，一般矩形的对角线不平分∠ABC，故⑤错误。
综上，正确结论为①②③，共3个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等边三角形判定、三角形面积
【点评】
本题考查矩形的性质及相关判定，需熟练掌握矩形对角线的特征，区分矩形与特殊平行四边形的性质差异，易错点为混淆对角线的性质，属于基础中档题。
【难度系数】
0.5
