23.(10分)
探究将任意凸四边形“分割—重拼(不重叠、无缝隙)”得到正方形
素材1
取四边形ABCD各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形。
方法一:如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形。
方法二:如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形。


素材2
将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形。
素材3
如图4，在矩形EFGH的EH边上取点M，连结FM，过点G作$GN⊥ FM$于点N，沿FM，NG分割矩形EFGH，将$△ EFM$沿射线EH平移，$△ FNG$沿射线FN平移，重拼得到正方形NGPQ。
续表
问题解决
任务1
请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形。
任务2
根据素材3的操作过程，若$EF=3,FG=4$，求线段EM的长。

23.任务1:选方法一,证明:如图1,依次连结点E,F,G,H,连结AC,因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$,同理$HG\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$,所以$EF\underline{\underline{//}}HG$,所以四边形EFGH为平行四边形,所以$HO=FO$,$EO=GO$,由拼接,得$O_1O=O_2O_3=2HO$,$O_1O_2=OO_3=2GO$,所以重拼得到的四边形$O_1OO_3O_2$是平行四边形。选方法二,证明:如图2,连结AC,因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF=\frac{1}{2}AC$,同理$HG=\frac{1}{2}AC$,所以$EF=HG$,同理可证$EH=FG$,由拼接,得$E_1F_1=HG$,$E_1H=F_1G$,所以重拼得到的四边形$E_1HGF_1$是平行四边形。(写出一种即可) 任务2:解:由题意,得剪拼前后面积保持不变,所以$S_{正方形GPQN}=S_{矩形EFGH}=3×4=12$,所以$NQ=NG=2\sqrt{3}$,由题意,得$FN=MQ$,所以$FN+NM=MQ+NM$,即$FM=NQ=2\sqrt{3}$,在$Rt△EFM$中,由勾股定理得$EM=\sqrt{FM^2-EF^2}=\sqrt{3}$。

【分析】
任务1：选择方法一，解题思路是连接四边形ABCD的对角线AC，利用三角形中位线定理证明对边平行且相等，得到中点四边形EFGH为平行四边形，再结合拼接后线段的等量关系，证明重拼后的四边形对边平行且相等，从而判定其为平行四边形。
任务2：解题思路是利用剪拼前后图形面积不变，先计算矩形EFGH的面积得到正方形面积，进而求出正方形边长；再根据平移性质得到FM等于正方形边长，最后在直角三角形EFM中运用勾股定理计算EM的长度。
【解析】
任务1：选方法一，证明：如图1，连接AC，因为E、F分别为AB、CB的中点，根据三角形中位线定理，$EF\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$；同理，H、G分别为AD、CD的中点，$HG\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$，所以$EF\underline{\underline{//}}HG$，故四边形EFGH为平行四边形，得$HO=FO$，$EO=GO$。由拼接可知，$O_1O=O_2O_3=2HO$，$O_1O_2=OO_3=2GO$，因此重拼得到的四边形$O_1OO_3O_2$两组对边分别相等，是平行四边形。
任务2：解：由剪拼前后面积不变，得$S_{正方形NGPQ}=S_{矩形EFGH}=EF×FG=3×4=12$，所以正方形边长$NQ=NG=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。根据平移性质，$FN=MQ$，故$FN+NM=MQ+NM$，即$FM=NQ=2\sqrt{3}$。在$Rt△EFM$中，由勾股定理得：$EM=\sqrt{FM^2-EF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\sqrt{12-9}=\sqrt{3}$。
【答案】
任务1：选方法一，证明如上；任务2：$EM=\sqrt{3}$。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，勾股定理
【点评】
本题为探究性几何题，结合中点四边形、图形剪拼性质，考查学生对几何定理的掌握及逻辑推理、计算能力，需理解剪拼过程中的面积与线段关系。
【难度系数】
0.5