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20.(8分)如图,$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,线段$BD$上的两点$E,F$满足$∠ AEB=∠ CFD$,连结$EC,AF$。
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形。
(2)若$EO=AO=5,AE=6$,求$AF$的长。
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形。
(2)若$EO=AO=5,AE=6$,求$AF$的长。
答案
20.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AO=CO$,$BO=DO$,$AB=CD$,$AB// CD$,所以$∠ABE=∠CDF$。因为$∠AEB=∠CFD$,所以$△ABE≌△CDF$,所以$BE=DF$,所以$EO=FO$,所以四边形AECF为平行四边形。(2)解:因为四边形AECF为平行四边形,所以$EF=2EO$,$AC=2AO$。因为$EO=AO=5$,所以$EF=AC=10$,所以平行四边形AECF为矩形,所以$∠EAF=90°$。因为$AE=6$,所以$AF=\sqrt{EF^2-AE^2}=8$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用平行四边形ABCD的性质，结合已知角相等证明三角形全等，进而推出四边形AECF的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形；第(2)问根据已知条件推出平行四边形AECF为矩形，再利用勾股定理计算AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，AO=CO，BO=DO，
∴ ∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD \\∠ABE=∠CDF \\AB=CD\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF，
∵ BO=DO，
∴ BO - BE = DO - DF，即 EO=FO，
又
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AO=CO，EO=FO，
已知 EO=AO=5，
∴ AC=2AO=10，EF=2EO=10，
∴ AC=EF，
∴ 平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴ ∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，AE=6，EF=10，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{EF^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AF的长为8。
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、矩形的相关知识，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形全等，再结合对角线关系判定特殊平行四边形，进而用勾股定理计算边长，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需利用平行四边形ABCD的性质，结合已知角相等证明三角形全等，进而推出四边形AECF的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形；第(2)问根据已知条件推出平行四边形AECF为矩形，再利用勾股定理计算AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，AO=CO，BO=DO，
∴ ∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD \\∠ABE=∠CDF \\AB=CD\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF，
∵ BO=DO，
∴ BO - BE = DO - DF，即 EO=FO，
又
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AO=CO，EO=FO，
已知 EO=AO=5，
∴ AC=2AO=10，EF=2EO=10，
∴ AC=EF，
∴ 平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴ ∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，AE=6，EF=10，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{EF^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AF的长为8。
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、矩形的相关知识，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形全等，再结合对角线关系判定特殊平行四边形，进而用勾股定理计算边长，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
21.(8分)某银行有A和B两个理财经营团队。某年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品,收益率(单位:%)如下:
A:4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B:3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平。下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数(单位:%)
请根据以上信息解答下列问题:
(1)表中$a=$
(2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示,获得了A团队数据的直观表示。请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图,并根据箱线图对A,B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
A:4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B:3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平。下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数(单位:%)
请根据以上信息解答下列问题:
(1)表中$a=$
3.635
,$b=$4.125
。(2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示,获得了A团队数据的直观表示。请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图,并根据箱线图对A,B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
答案
21.(1)3.635 4.125 (2)解:如图,由箱线图可知,团队A收益率的最大值明显高于B团队,最小值明显比B团队低,说明团队A的收益率波动较大,有些理财产品收益率高,但有些理财产品收益率低。团队B的收益率比较稳定,所有理财产品都有不错的收益率。两个团队在收益率方面虽有差异,但在总体经营效益上都作出了贡献。
解析
【分析】
本题考查统计中四分位数的计算与箱线图的应用，解题思路：第(1)问需先对团队B的收益率数据排序，再根据四分位数的计算规则（n=12时，下四分位数取第3、4个数据的平均值，上四分位数取第9、10个数据的平均值）计算a、b；第(2)问需明确箱线图的构成要素（最小值、下四分位数Q1、中位数、上四分位数Q3、最大值），据此补全B团队的箱线图，再结合两个团队箱线图的特征，从收益率的整体情况（总体经营效益）和数据波动情况（稳健度）评价经营水平。
【解析】
(1) 将团队B的12项理财产品收益率从小到大排序：3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
下四分位数$ a $为第3个和第4个数据的平均值：$ a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635 $；
上四分位数$ b $为第9个和第10个数据的平均值：$ b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125 $。
(2) 补全B团队箱线图：B团队的最小值为3.18，最大值为4.44，Q1=3.635，中位数为$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$，Q3=4.125，据此绘制的箱线图与题目中给出的B团队图一致。
评价：从箱线图可知，团队A收益率的最小值（2.02）远低于团队B（3.18），最大值（4.89）高于团队B（4.44），说明团队A收益率波动大，经营的理财产品收益差异显著；团队B收益率的最小值较高，最大值适中，数据集中，收益率稳定，所有理财产品都有不错的收益。总体来看，两个团队均对经营效益有贡献，团队B的经营更稳健。
【答案】
(1) $ 3.635 $，$ 4.125 $；(2) 补全的箱线图如，评价：团队A收益率波动大，团队B收益率稳定，总体均有贡献，团队B经营更稳健。
【知识点】
四分位数计算、箱线图分析、数据统计
【点评】
本题结合理财实际问题，考查统计知识的应用，需掌握四分位数的计算方法，能通过箱线图分析数据的集中趋势与离散程度，评价经营水平，是统计部分的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题考查统计中四分位数的计算与箱线图的应用，解题思路：第(1)问需先对团队B的收益率数据排序，再根据四分位数的计算规则（n=12时，下四分位数取第3、4个数据的平均值，上四分位数取第9、10个数据的平均值）计算a、b；第(2)问需明确箱线图的构成要素（最小值、下四分位数Q1、中位数、上四分位数Q3、最大值），据此补全B团队的箱线图，再结合两个团队箱线图的特征，从收益率的整体情况（总体经营效益）和数据波动情况（稳健度）评价经营水平。
【解析】
(1) 将团队B的12项理财产品收益率从小到大排序：3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
下四分位数$ a $为第3个和第4个数据的平均值：$ a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635 $；
上四分位数$ b $为第9个和第10个数据的平均值：$ b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125 $。
(2) 补全B团队箱线图：B团队的最小值为3.18，最大值为4.44，Q1=3.635，中位数为$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$，Q3=4.125，据此绘制的箱线图与题目中给出的B团队图一致。
评价：从箱线图可知，团队A收益率的最小值（2.02）远低于团队B（3.18），最大值（4.89）高于团队B（4.44），说明团队A收益率波动大，经营的理财产品收益差异显著；团队B收益率的最小值较高，最大值适中，数据集中，收益率稳定，所有理财产品都有不错的收益。总体来看，两个团队均对经营效益有贡献，团队B的经营更稳健。
【答案】
(1) $ 3.635 $，$ 4.125 $；(2) 补全的箱线图如
，评价：团队A收益率波动大，团队B收益率稳定，总体均有贡献，团队B经营更稳健。【知识点】
四分位数计算、箱线图分析、数据统计
【点评】
本题结合理财实际问题，考查统计知识的应用，需掌握四分位数的计算方法，能通过箱线图分析数据的集中趋势与离散程度，评价经营水平，是统计部分的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
22.(10分)随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展。某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4 000辆和4 840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同。
(1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率。
(2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务。若该公司现有20名负责交付的员工，按(1)中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工。
(1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率。
(2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务。若该公司现有20名负责交付的员工，按(1)中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工。
答案
22.解:(1)设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x,根据题意得$4000(1+x)^2=4840$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意舍去)。答:该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%。(2)因为每月新能源汽车销量的增长率相同,所以六月份的新能源汽车销量为$4840×(1+10\%)=5324$,因为每位员工每月处理250辆汽车的交付任务,现有20名负责交付的员工,所以$250×20=5000＜5324$,所以不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务,所以至少需要增加员工数应大于等于$(5324-5000)÷250=1.296$,即至少需要增加2名员工。
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，分为两小问：第一问利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)²”的关系列方程求解月平均增长率，需舍去不符合实际意义的负根；第二问先根据增长率算出六月份销量，再对比现有员工的总处理量判断能否完成任务，若不能则计算需增加的员工数，注意员工数需取整数且向上取整。
【解析】
(1) 设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为$ x $，根据三月到五月的销量增长关系列方程：
$ 4000(1+x)^2 = 4840 $
化简得：$ (1+x)^2 = 1.21 $
开方得：$ 1+x = ±1.1 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $（增长率不能为负，舍去）
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%。
(2) 计算六月份的销量：
$ 4840×(1+10\%) = 5324 $（辆）
现有20名员工每月可处理的交付量：
$ 250×20 = 5000 $（辆）
因为$ 5000 ＜ 5324 $，所以不能完成六月份的交付任务。
需要的员工数为：$ 5324÷250 = 21.296 $，员工数需为整数，故至少需要22名。
需增加的员工数：$ 22 - 20 = 2 $（名）
答：不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工。
【答案】
22.解:(1)设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x,根据题意得$4000(1+x)^2=4840$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意舍去)。答:该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%。(2)因为每月新能源汽车销量的增长率相同,所以六月份的新能源汽车销量为$4840×(1+10\%)=5324$,因为每位员工每月处理250辆汽车的交付任务,现有20名负责交付的员工,所以$250×20=5000＜5324$,所以不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务,所以至少需要增加员工数应大于等于$(5324-5000)÷250=1.296$,即至少需要增加2名员工。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题结合新能源汽车销量增长和交付任务分配的实际场景，考查一元二次方程在增长率问题中的应用，以及实际问题中解的合理性处理，需掌握增长率公式和整数的实际取整方法，是常见的数学应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程的实际应用问题，分为两小问：第一问利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)²”的关系列方程求解月平均增长率，需舍去不符合实际意义的负根；第二问先根据增长率算出六月份销量，再对比现有员工的总处理量判断能否完成任务，若不能则计算需增加的员工数，注意员工数需取整数且向上取整。
【解析】
(1) 设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为$ x $，根据三月到五月的销量增长关系列方程：
$ 4000(1+x)^2 = 4840 $
化简得：$ (1+x)^2 = 1.21 $
开方得：$ 1+x = ±1.1 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $（增长率不能为负，舍去）
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%。
(2) 计算六月份的销量：
$ 4840×(1+10\%) = 5324 $（辆）
现有20名员工每月可处理的交付量：
$ 250×20 = 5000 $（辆）
因为$ 5000 ＜ 5324 $，所以不能完成六月份的交付任务。
需要的员工数为：$ 5324÷250 = 21.296 $，员工数需为整数，故至少需要22名。
需增加的员工数：$ 22 - 20 = 2 $（名）
答：不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工。
【答案】
22.解:(1)设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x,根据题意得$4000(1+x)^2=4840$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意舍去)。答:该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%。(2)因为每月新能源汽车销量的增长率相同,所以六月份的新能源汽车销量为$4840×(1+10\%)=5324$,因为每位员工每月处理250辆汽车的交付任务,现有20名负责交付的员工,所以$250×20=5000＜5324$,所以不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务,所以至少需要增加员工数应大于等于$(5324-5000)÷250=1.296$,即至少需要增加2名员工。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题结合新能源汽车销量增长和交付任务分配的实际场景，考查一元二次方程在增长率问题中的应用，以及实际问题中解的合理性处理，需掌握增长率公式和整数的实际取整方法，是常见的数学应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
