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三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算：$|\sqrt{2}-3|+2\sqrt{2}-\sqrt{6}÷\sqrt{3}$。
17.(8分)计算：$|\sqrt{2}-3|+2\sqrt{2}-\sqrt{6}÷\sqrt{3}$。
答案
17.解:原式$=3-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$。
解析
【分析】
解题思路分为三步：1. 化简绝对值：判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；2. 计算二次根式除法：利用二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}(a≥0,b＞0)$，计算$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$；3. 合并同类二次根式：将化简后的式子中的同类二次根式进行合并，得到最终结果。
【解析】
解：原式$=3-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{6÷3}$
$=3-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$=3+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2})$
$=3+0$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
绝对值化简、二次根式混合运算
【点评】
本题考查绝对值的性质和二次根式的运算，属于基础计算题，重点考查学生对二次根式除法法则及同类二次根式合并的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：1. 化简绝对值：判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-3＜0$，根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；2. 计算二次根式除法：利用二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}(a≥0,b＞0)$，计算$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$；3. 合并同类二次根式：将化简后的式子中的同类二次根式进行合并，得到最终结果。
【解析】
解：原式$=3-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{6÷3}$
$=3-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$=3+(-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2})$
$=3+0$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
绝对值化简、二次根式混合运算
【点评】
本题考查绝对值的性质和二次根式的运算，属于基础计算题，重点考查学生对二次根式除法法则及同类二次根式合并的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.7
18.(8分)解方程$4(x-5)=(x-5)^2$。
以下是嘉嘉对该题的解答过程：
解:方程两边同时除以$(x-5)$,得
$4=x-5$ 第一步
$4+5=x$ 图1 第二步
$x=9$ 第三步
(1)嘉嘉的解答过程从第
(2)请给出这道题的正确解答过程。
以下是嘉嘉对该题的解答过程：
解:方程两边同时除以$(x-5)$,得
$4=x-5$ 第一步
$4+5=x$ 图1 第二步
$x=9$ 第三步
(1)嘉嘉的解答过程从第
一
步开始出现错误的。(2)请给出这道题的正确解答过程。
答案
18.(1)一 (2)解:由原方程,得$[4-(x-5)](x-5)=0$,即$(9-x)(x-5)=0$,解得$x=5$或9。所以原方程的解为$x_1=5$,$x_2=9$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，若方程两边含有相同因式，不能直接除以该因式，因为该因式可能为0，此时除以0无意义，会导致遗漏解。嘉嘉的解答第一步直接除以$(x-5)$，未考虑$x-5=0$的情况，因此出错。正确思路是先移项，再提取公因式因式分解，确保所有解都被找到。
【解析】
(1) 嘉嘉的解答从第一步开始错误，因为方程两边除以$(x-5)$时，未考虑$x-5$可能为0，违反了“除数不能为0”的要求，遗漏了$x=5$这个解。
(2) 正确解答：
移项得：$(x-5)^2 - 4(x-5) = 0$，
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)(x -5 -4) = 0$，
即$(x-5)(x -9) = 0$，
则$x-5=0$或$x-9=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=9$。
【答案】
(1) 一；(2) $x_1=5$，$x_2=9$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、等式性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，核心是避免直接除以可能为0的代数式，嘉嘉的错误是忽略了因式为0的情况，正确运用因式分解法可完整求出所有解，是基础易错题型，需注意解题细节。
【难度系数】
0.5
解一元二次方程时，若方程两边含有相同因式，不能直接除以该因式，因为该因式可能为0，此时除以0无意义，会导致遗漏解。嘉嘉的解答第一步直接除以$(x-5)$，未考虑$x-5=0$的情况，因此出错。正确思路是先移项，再提取公因式因式分解，确保所有解都被找到。
【解析】
(1) 嘉嘉的解答从第一步开始错误，因为方程两边除以$(x-5)$时，未考虑$x-5$可能为0，违反了“除数不能为0”的要求，遗漏了$x=5$这个解。
(2) 正确解答：
移项得：$(x-5)^2 - 4(x-5) = 0$，
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)(x -5 -4) = 0$，
即$(x-5)(x -9) = 0$，
则$x-5=0$或$x-9=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=9$。
【答案】
(1) 一；(2) $x_1=5$，$x_2=9$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、等式性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，核心是避免直接除以可能为0的代数式，嘉嘉的错误是忽略了因式为0的情况，正确运用因式分解法可完整求出所有解，是基础易错题型，需注意解题细节。
【难度系数】
0.5
19.(8分)在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是AB 的中点。尺规作图:在BC上确定点E,连结DE,使得$DE=\frac{1}{2}AB$。现有甲、乙、丙三位同学的作法如下:
(1)作法正确的同学有________。
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法。
(1)作法正确的同学有________。
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法。
答案
19.(1)甲,丙 (2)略
解析
【分析】
要确定使$DE=\frac{1}{2}AB$的点E，已知D是AB中点，故$AD=DB=\frac{1}{2}AB$，只需$DE=AD=DB$即可。分析三位同学的作法：甲同学以D为圆心、AD长为半径画弧交BC于E，满足$DE=\frac{1}{2}AB$；丙同学作BC的垂直平分线，结合$AB=AC$得E是BC中点，DE是△ABC中位线，由中位线定理得$DE=\frac{1}{2}AB$；乙同学的作法无法保证$DE=\frac{1}{2}AB$，故错误。
【解析】
(1) 甲同学的作法：以D为圆心，AD的长为半径作弧，交BC于点E，此时$DE=AD$，因D是AB中点，$AD=\frac{1}{2}AB$，故$DE=\frac{1}{2}AB$，作法正确。
丙同学的作法：作BC的垂直平分线，交BC于E，因$AB=AC$，等腰三角形三线合一，E是BC中点；又D是AB中点，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$，作法正确。
乙同学的作法：所得DE长度不满足$DE=\frac{1}{2}AB$，作法错误。因此正确的是甲、丙。
(2) 另一种画法示例：取AC中点，过D作AC的平行线交BC于E，此时DE为中位线，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$（合理即可）。
【答案】
(1) 甲、丙；(2) 略
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，尺规作图
【点评】
本题结合等腰三角形性质、中位线定理考查尺规作图，需将$DE=\frac{1}{2}AB$转化为与中点、中位线相关的条件，侧重几何性质的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要确定使$DE=\frac{1}{2}AB$的点E，已知D是AB中点，故$AD=DB=\frac{1}{2}AB$，只需$DE=AD=DB$即可。分析三位同学的作法：甲同学以D为圆心、AD长为半径画弧交BC于E，满足$DE=\frac{1}{2}AB$；丙同学作BC的垂直平分线，结合$AB=AC$得E是BC中点，DE是△ABC中位线，由中位线定理得$DE=\frac{1}{2}AB$；乙同学的作法无法保证$DE=\frac{1}{2}AB$，故错误。
【解析】
(1) 甲同学的作法：以D为圆心，AD的长为半径作弧，交BC于点E，此时$DE=AD$，因D是AB中点，$AD=\frac{1}{2}AB$，故$DE=\frac{1}{2}AB$，作法正确。
丙同学的作法：作BC的垂直平分线，交BC于E，因$AB=AC$，等腰三角形三线合一，E是BC中点；又D是AB中点，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$，作法正确。
乙同学的作法：所得DE长度不满足$DE=\frac{1}{2}AB$，作法错误。因此正确的是甲、丙。
(2) 另一种画法示例：取AC中点，过D作AC的平行线交BC于E，此时DE为中位线，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$（合理即可）。
【答案】
(1) 甲、丙；(2) 略
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，尺规作图
【点评】
本题结合等腰三角形性质、中位线定理考查尺规作图，需将$DE=\frac{1}{2}AB$转化为与中点、中位线相关的条件，侧重几何性质的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
