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7.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（
A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=AB$
C.(3)处可填$AD=CB$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
C
）A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=AB$
C.(3)处可填$AD=CB$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
答案
7.C
解析
【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定关系，需结合各类四边形的判定定理，逐一分析每个转换对应的条件是否正确，找出错误选项。
【解析】
选项A：(1)处是平行四边形转换为矩形，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，添加∠A=90°符合要求，该条件正确；
选项B：(2)处是矩形转换为正方形，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，添加AD=AB（矩形的邻边相等）符合要求，该条件正确；
选项C：(3)处是平行四边形转换为菱形，平行四边形本身就满足对边相等（AD=CB是平行四边形的固有性质），该条件无法判定平行四边形为菱形，条件添加错误；
选项D：(4)处是菱形转换为正方形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，添加∠A=90°符合要求，该条件正确。
【答案】C
【知识点】特殊四边形的判定、平行四边形与特殊四边形的关系
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握各类特殊四边形的判定定理，明确不同四边形间的转换条件，需注意区分四边形的固有性质和判定条件，避免混淆。
【难度系数】0.3
【解析】
选项A：(1)处是平行四边形转换为矩形，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，添加∠A=90°符合要求，该条件正确；
选项B：(2)处是矩形转换为正方形，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，添加AD=AB（矩形的邻边相等）符合要求，该条件正确；
选项C：(3)处是平行四边形转换为菱形，平行四边形本身就满足对边相等（AD=CB是平行四边形的固有性质），该条件无法判定平行四边形为菱形，条件添加错误；
选项D：(4)处是菱形转换为正方形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，添加∠A=90°符合要求，该条件正确。
【答案】C
【知识点】特殊四边形的判定、平行四边形与特殊四边形的关系
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握各类特殊四边形的判定定理，明确不同四边形间的转换条件，需注意区分四边形的固有性质和判定条件，避免混淆。
【难度系数】0.3
8. 已知 $ xy＜0 $，则化简 $ x\sqrt{-\dfrac{y}{x^2}} $ 的结果是 （
A.$ \sqrt{y} $
B.$ \sqrt{-y} $
C.$ -\sqrt{y} $
D.$ -\sqrt{-y} $
B
）A.$ \sqrt{y} $
B.$ \sqrt{-y} $
C.$ -\sqrt{y} $
D.$ -\sqrt{-y} $
答案
8.B
解析
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定被开方数的符号，进而得到y的取值范围；再结合已知xy＜0判断x的符号；最后利用二次根式的性质化简式子，得出结果。
【解析】要化简 $ x\sqrt{-\dfrac{y}{x^2}} $，步骤如下：
1. 确定被开方数的符号：二次根式中被开方数需非负，故 $ -\dfrac{y}{x^2} ≥ 0 $。因为 $ x^2 ＞ 0 $（$ x ≠ 0 $），两边同乘 $ x^2 $ 得 $ -y ≥ 0 $，即 $ y ≤ 0 $。
2. 判断x的符号：已知 $ xy ＜ 0 $，且 $ y ≤ 0 $，所以x与y异号，即 $ x ＞ 0 $。
3. 化简式子：$ \sqrt{-\dfrac{y}{x^2}} = \dfrac{\sqrt{-y}}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{\sqrt{-y}}{|x|} $，由于 $ x ＞ 0 $，则 $ |x| = x $，因此原式 $ = x · \dfrac{\sqrt{-y}}{x} = \sqrt{-y} $。
【答案】B
【知识点】二次根式化简、二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式的化简，核心是根据被开方数非负和已知条件确定字母符号，再利用 $ \sqrt{a^2}=|a| $ 处理绝对值，易错点是符号判断失误，需注意细节。
【难度系数】0.5
【解析】要化简 $ x\sqrt{-\dfrac{y}{x^2}} $，步骤如下：
1. 确定被开方数的符号：二次根式中被开方数需非负，故 $ -\dfrac{y}{x^2} ≥ 0 $。因为 $ x^2 ＞ 0 $（$ x ≠ 0 $），两边同乘 $ x^2 $ 得 $ -y ≥ 0 $，即 $ y ≤ 0 $。
2. 判断x的符号：已知 $ xy ＜ 0 $，且 $ y ≤ 0 $，所以x与y异号，即 $ x ＞ 0 $。
3. 化简式子：$ \sqrt{-\dfrac{y}{x^2}} = \dfrac{\sqrt{-y}}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{\sqrt{-y}}{|x|} $，由于 $ x ＞ 0 $，则 $ |x| = x $，因此原式 $ = x · \dfrac{\sqrt{-y}}{x} = \sqrt{-y} $。
【答案】B
【知识点】二次根式化简、二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式的化简，核心是根据被开方数非负和已知条件确定字母符号，再利用 $ \sqrt{a^2}=|a| $ 处理绝对值，易错点是符号判断失误，需注意细节。
【难度系数】0.5
9. 在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮。用一条直线$ l $将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线$ l $有（
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数条
D
）A.2条
B.3条
C.4条
D.无数条
答案
9.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以将L形直角铁皮视为组合图形，利用图形面积平分的性质思考：对于补全后为大矩形、挖去小矩形的组合图形，所有经过特定点的直线都能平分其面积。具体来说，先补全L形为完整大矩形，找到大矩形和被裁去小矩形的中心，经过这两个中心连线的直线，都能将L形分成面积相等的两部分，这样的直线有无数条。
【解析】
1. 将题目中的L形直角铁皮补成一个完整的大矩形，设大矩形的中心为$O_1$，被裁去的小矩形的中心为$O_2$。
2. 任意一条经过$O_1$和$O_2$连线的直线，都会将大矩形分成面积相等的两部分，同时也会将被裁去的小矩形分成面积相等的两部分，因此这条直线会使L形剩余部分的面积等于“大矩形面积的一半减去小矩形面积的一半”，即L形面积的一半，满足面积相等的要求。
3. 由于经过$O_1$、$O_2$两点的直线有无数条，所以符合条件的直线$l$有无数条。
【答案】
D
【知识点】
图形面积平分、组合图形性质
【点评】
本题考查几何图形面积平分的拓展应用，核心是理解组合图形面积平分直线的特点，需要学生灵活运用中心对称图形面积平分的规律，属于几何基础的灵活应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以将L形直角铁皮视为组合图形，利用图形面积平分的性质思考：对于补全后为大矩形、挖去小矩形的组合图形，所有经过特定点的直线都能平分其面积。具体来说，先补全L形为完整大矩形，找到大矩形和被裁去小矩形的中心，经过这两个中心连线的直线，都能将L形分成面积相等的两部分，这样的直线有无数条。
【解析】
1. 将题目中的L形直角铁皮补成一个完整的大矩形，设大矩形的中心为$O_1$，被裁去的小矩形的中心为$O_2$。
2. 任意一条经过$O_1$和$O_2$连线的直线，都会将大矩形分成面积相等的两部分，同时也会将被裁去的小矩形分成面积相等的两部分，因此这条直线会使L形剩余部分的面积等于“大矩形面积的一半减去小矩形面积的一半”，即L形面积的一半，满足面积相等的要求。
3. 由于经过$O_1$、$O_2$两点的直线有无数条，所以符合条件的直线$l$有无数条。
【答案】
D
【知识点】
图形面积平分、组合图形性质
【点评】
本题考查几何图形面积平分的拓展应用，核心是理解组合图形面积平分直线的特点，需要学生灵活运用中心对称图形面积平分的规律，属于几何基础的灵活应用。
【难度系数】
0.5
10.如图,在$□ ABCD$中,$∠ D=5∠ CAB$,在$AC$上取点$P$,使$PC=BC$,连结$BP$,过点$P$作$EF ⊥ CD$分别交$AB$,$CD$于点$E$,$F$。已知$BE=2$,$AE=x$,$BP=y$,当$x,y$发生变化时,下列代数式值不变的是 （
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
B
）A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
答案
10.B 解析:在射线EA上取点Q,使EQ=EB,并连结PQ,并设∠CAB=α,则∠D=5∠CAB=5α,因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB//CD,AD//BC,所以∠ACD=∠CAB=α,所以∠ACB=∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-5α-α=180°-6α。在△CPB中,因为PC=BC,所以∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α,所以∠ABP=∠ABC-∠CBP=∠D-∠CBP=5α-3α=2α,因为PE⊥CD,AB//CD,所以PE⊥AB。又因为EQ=EB,所以PQ=PB,∠PQB=∠ABP=2α。又因为∠CAB=α,所以∠PQB＞∠CAB,故点Q在线段AE上,且∠APQ=∠PQB-∠CAB=2α-α=α,所以∠APQ=∠PAB,AQ=PQ=y,所以QE=AE-AQ=x-y。因为EB=2,EQ=EB,所以x-y=2。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、等腰三角形的角度关系，通过构造辅助线推导线段间的不变关系：首先设∠CAB=α，利用平行四边形对边平行、对角相等的性质推导各角的度数；再结合PC=BC的等腰条件计算∠ABP的度数；接着构造辅助线，利用垂直平分线性质和角度相等得到线段等量关系，最终通过线段和差得出x-y为定值，确定不变的代数式。
【解析】
设∠CAB=α，则∠D=5α。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠ABC=∠D=5α，∠ACD=∠CAB=α，
∴∠ACB=180°-∠D-∠ACD=180°-5α-α=180°-6α。
∵PC=BC，
∴△PCB为等腰三角形，
∴∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α，
∴∠ABP=∠ABC - ∠CBP=5α-3α=2α。
∵EF⊥CD，AB//CD，
∴EF⊥AB，即PE⊥AB。
在射线EA上取点Q，使EQ=EB，连接PQ，
∵PE垂直平分QB，
∴PQ=PB=y，
∴∠PQB=∠ABP=2α。
在△APQ中，∠APQ=∠PQB - ∠CAB=2α-α=α，
∴∠APQ=∠PAQ=α，
∴AQ=PQ=y。
∵Q在AE上，
∴AE=AQ + QE，即x=y + EB，
又
∵EB=2，
∴x - y=2，该值为定值，不变。
【答案】
10.B
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、线段垂直平分线性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与等腰三角形的性质，关键在于构造辅助线转化线段关系，通过角度推导得到线段间的定值关系，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、等腰三角形的角度关系，通过构造辅助线推导线段间的不变关系：首先设∠CAB=α，利用平行四边形对边平行、对角相等的性质推导各角的度数；再结合PC=BC的等腰条件计算∠ABP的度数；接着构造辅助线，利用垂直平分线性质和角度相等得到线段等量关系，最终通过线段和差得出x-y为定值，确定不变的代数式。
【解析】
设∠CAB=α，则∠D=5α。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠ABC=∠D=5α，∠ACD=∠CAB=α，
∴∠ACB=180°-∠D-∠ACD=180°-5α-α=180°-6α。
∵PC=BC，
∴△PCB为等腰三角形，
∴∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α，
∴∠ABP=∠ABC - ∠CBP=5α-3α=2α。
∵EF⊥CD，AB//CD，
∴EF⊥AB，即PE⊥AB。
在射线EA上取点Q，使EQ=EB，连接PQ，
∵PE垂直平分QB，
∴PQ=PB=y，
∴∠PQB=∠ABP=2α。
在△APQ中，∠APQ=∠PQB - ∠CAB=2α-α=α，
∴∠APQ=∠PAQ=α，
∴AQ=PQ=y。
∵Q在AE上，
∴AE=AQ + QE，即x=y + EB，
又
∵EB=2，
∴x - y=2，该值为定值，不变。
【答案】
10.B
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、线段垂直平分线性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与等腰三角形的性质，关键在于构造辅助线转化线段关系，通过角度推导得到线段间的定值关系，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
答案
解：
1. 由二次根式被开方数非负，得$x-3\ge0$，解得$x\ge3$。
答案：$\boldsymbol{x\ge3}$
2. 设多边形边数为$n$，多边形外角和为$360°$，由多边形内角和公式得：
$(n-2)×180°=3×360°$
解得$n=8$。
答案：$\boldsymbol{8}$
3. 将$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
答案：$\boldsymbol{-8}$
4. 数据的平均数$\bar{x}=\frac{-2-1+0+3+5}{5}=1$，
方差$s^2=\frac{1}{5}[(-2-1)^2+(-1-1)^2+(0-1)^2+(3-1)^2+(5-1)^2]=\frac{34}{5}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$
5. ∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$OA=OC=2$，
∵ $AC⊥ AB$，
∴ $△ ABO$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴ $BD=2OB=2\sqrt{13}$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
6. 设$P(3,t)$，过点$Q$作$QM⊥$直线$l$于$M$，
由旋转性质得$OP=PQ$，$∠ OPQ=90°$，
可证$△ OPB≌△ PQM(\mathrm{AAS})$，得$QM=PB=t$，$PM=OB=3$，
∴ $Q$点坐标为$(3+t,t-3)$，消去$t$得$Q$点在直线$y=x-6$上运动，
点$A(0,4)$到直线$y=x-6$的垂线段长即为$AQ$的最小值，计算得$AQ_{\mathrm{min}}=5\sqrt{2}$。
答案：$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$
1. 由二次根式被开方数非负，得$x-3\ge0$，解得$x\ge3$。
答案：$\boldsymbol{x\ge3}$
2. 设多边形边数为$n$，多边形外角和为$360°$，由多边形内角和公式得：
$(n-2)×180°=3×360°$
解得$n=8$。
答案：$\boldsymbol{8}$
3. 将$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
答案：$\boldsymbol{-8}$
4. 数据的平均数$\bar{x}=\frac{-2-1+0+3+5}{5}=1$，
方差$s^2=\frac{1}{5}[(-2-1)^2+(-1-1)^2+(0-1)^2+(3-1)^2+(5-1)^2]=\frac{34}{5}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$
5. ∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$OA=OC=2$，
∵ $AC⊥ AB$，
∴ $△ ABO$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴ $BD=2OB=2\sqrt{13}$。
答案：$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
6. 设$P(3,t)$，过点$Q$作$QM⊥$直线$l$于$M$，
由旋转性质得$OP=PQ$，$∠ OPQ=90°$，
可证$△ OPB≌△ PQM(\mathrm{AAS})$，得$QM=PB=t$，$PM=OB=3$，
∴ $Q$点坐标为$(3+t,t-3)$，消去$t$得$Q$点在直线$y=x-6$上运动，
点$A(0,4)$到直线$y=x-6$的垂线段长即为$AQ$的最小值，计算得$AQ_{\mathrm{min}}=5\sqrt{2}$。
答案：$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$
解析
【分析】
本题为6道不同知识点的填空题，需分别运用对应知识点的公式与性质求解：1. 利用二次根式被开方数非负的条件列不等式；2. 结合多边形内角和公式与外角和固定值计算边数；3. 用待定系数法求反比例函数解析式；4. 按平均数、方差公式计算；5. 利用平行四边形对角线性质及直角三角形性质求对角线长度；6. 结合旋转性质、全等三角形及点到直线的距离最短求最小值。
【解析】
1. 二次根式有意义的条件是被开方数≥0，因此$x-3\ge0$，解得$x\ge3$；
2. 设多边形边数为$n$，多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，外角和为$360°$，由题意得$(n-2)×180°=3×360°$，解得$n=8$；
3. 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$-4=\frac{k}{2}$，解得$k=-8$；
4. 先计算平均数：$\bar{x}=\frac{-2-1+0+3+5}{5}=1$，再代入方差公式：$s^2=\frac{1}{5}[(-2-1)^2+(-1-1)^2+(0-1)^2+(3-1)^2+(5-1)^2]=\frac{34}{5}$；
5. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC=2$，$OB=OD$，又$AC⊥AB$，故$△ ABO$为直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，因此$BD=2OB=2\sqrt{13}$；
6. 设$P(3,t)$，过$Q$作$QM⊥$直线$l$于$M$，由旋转性质得$OP=PQ$，$∠OPQ=90°$，可证$△ OPB≌△ PQM(\mathrm{AAS})$，得$QM=PB=t$，$PM=OB=3$，故$Q$点坐标为$(3+t,t-3)$，消去$t$得$Q$在直线$y=x-6$上，点$A(0,4)$到该直线的垂线段长即为$AQ$最小值，计算得$AQ_{\mathrm{min}}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$x\ge3$；$8$；$-8$；$\frac{34}{5}$；$2\sqrt{13}$；$5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的性质，多边形内角和公式，反比例函数的应用
【点评】
本题涵盖初中数学多个核心基础知识点，注重公式与性质的直接应用，最后一题结合旋转与最短路径，考查知识的综合运用能力，整体区分度适中，适合考查学生的基础掌握情况。
【难度系数】
0.6
本题为6道不同知识点的填空题，需分别运用对应知识点的公式与性质求解：1. 利用二次根式被开方数非负的条件列不等式；2. 结合多边形内角和公式与外角和固定值计算边数；3. 用待定系数法求反比例函数解析式；4. 按平均数、方差公式计算；5. 利用平行四边形对角线性质及直角三角形性质求对角线长度；6. 结合旋转性质、全等三角形及点到直线的距离最短求最小值。
【解析】
1. 二次根式有意义的条件是被开方数≥0，因此$x-3\ge0$，解得$x\ge3$；
2. 设多边形边数为$n$，多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，外角和为$360°$，由题意得$(n-2)×180°=3×360°$，解得$n=8$；
3. 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$-4=\frac{k}{2}$，解得$k=-8$；
4. 先计算平均数：$\bar{x}=\frac{-2-1+0+3+5}{5}=1$，再代入方差公式：$s^2=\frac{1}{5}[(-2-1)^2+(-1-1)^2+(0-1)^2+(3-1)^2+(5-1)^2]=\frac{34}{5}$；
5. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC=2$，$OB=OD$，又$AC⊥AB$，故$△ ABO$为直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，因此$BD=2OB=2\sqrt{13}$；
6. 设$P(3,t)$，过$Q$作$QM⊥$直线$l$于$M$，由旋转性质得$OP=PQ$，$∠OPQ=90°$，可证$△ OPB≌△ PQM(\mathrm{AAS})$，得$QM=PB=t$，$PM=OB=3$，故$Q$点坐标为$(3+t,t-3)$，消去$t$得$Q$在直线$y=x-6$上，点$A(0,4)$到该直线的垂线段长即为$AQ$最小值，计算得$AQ_{\mathrm{min}}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$x\ge3$；$8$；$-8$；$\frac{34}{5}$；$2\sqrt{13}$；$5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的性质，多边形内角和公式，反比例函数的应用
【点评】
本题涵盖初中数学多个核心基础知识点，注重公式与性质的直接应用，最后一题结合旋转与最短路径，考查知识的综合运用能力，整体区分度适中，适合考查学生的基础掌握情况。
【难度系数】
0.6
11.在二次根式$\sqrt{x-1}$中，$x$的取值范围是________。
答案
11.x≥1
解析
【分析】要确定二次根式中字母的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须为非负数（即大于等于0）。因此对于$\sqrt{x-1}$，只需让被开方数$x-1$满足非负条件，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列不等式：$x - 1 ≥ 0$，解该不等式，两边同时加1得$x ≥ 1$。
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题属于初中代数基础题，考查二次根式有意义的基本规则，解题思路直接，只需牢记被开方数非负的要求即可，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列不等式：$x - 1 ≥ 0$，解该不等式，两边同时加1得$x ≥ 1$。
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题属于初中代数基础题，考查二次根式有意义的基本规则，解题思路直接，只需牢记被开方数非负的要求即可，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.9
12. 用反证法证明“已知$△ ABC$的三边长为$a,b,c(a＜b＜c)$，若$a^2 + b^2 ≠ c^2$，则$△ ABC$不是直角三角形”时，应先假设$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
12.△ABC是直角三角形
解析
【分析】
反证法的核心思路是先假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立，再通过推导得出矛盾来证明原命题正确。本题中原命题的结论是“△ABC不是直角三角形”，因此需要先假设该结论的反面成立。
【解析】
根据反证法的要求，需假设原命题结论的否定成立。原命题结论为“△ABC不是直角三角形”，其否定为“△ABC是直角三角形”，因此应先假设△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，关键在于准确找出原命题结论的反面，属于概念类基础题，需牢记反证法的基本逻辑。
【难度系数】
0.3
反证法的核心思路是先假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立，再通过推导得出矛盾来证明原命题正确。本题中原命题的结论是“△ABC不是直角三角形”，因此需要先假设该结论的反面成立。
【解析】
根据反证法的要求，需假设原命题结论的否定成立。原命题结论为“△ABC不是直角三角形”，其否定为“△ABC是直角三角形”，因此应先假设△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，关键在于准确找出原命题结论的反面，属于概念类基础题，需牢记反证法的基本逻辑。
【难度系数】
0.3
13.若一组数据$3,5,7,x,11$的平均数为7，则$x=$
9
。答案
13.9
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平均数的定义：一组数据的总和等于平均数乘以数据的个数。先确定数据的总个数，再根据平均数求出数据总和，最后用总和减去已知数据的和，就能算出未知的x值。
【解析】已知这组数据共有5个，平均数为7，根据“总和=平均数×数据个数”，可得数据总和为7×5=35。已知的4个数据和为3+5+7+11=26，因此x=35-26=9。
【答案】9
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的基础应用，属于简单题型，主要检验学生对平均数定义的掌握，解题思路直接，步骤清晰。
【难度系数】0.8
【解析】已知这组数据共有5个，平均数为7，根据“总和=平均数×数据个数”，可得数据总和为7×5=35。已知的4个数据和为3+5+7+11=26，因此x=35-26=9。
【答案】9
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的基础应用，属于简单题型，主要检验学生对平均数定义的掌握，解题思路直接，步骤清晰。
【难度系数】0.8
14.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△CDE,连结AE,BE,则∠AEB=
30°
。答案
14.30°
解析
【分析】
要计算∠AEB的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导角度关系：先利用正方形的边相等、内角为90°，等边三角形的边相等、内角为60°，得到AD=DE、BC=CE，再计算等腰△ADE和△BCE的底角，最后结合等边△CDE的内角，求出∠AEB。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∵ △CDE是等边三角形，
∴ DC=DE=CE，∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°，
∴ AD=DE，BC=CE，
∠ADE=∠ADC + ∠CDE=90°+60°=150°，
∠BCE=∠BCD + ∠DCE=90°+60°=150°，
在△ADE中，AD=DE，故△ADE为等腰三角形，
∠DEA=(180° - ∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°，
同理，在△BCE中，∠CEB=15°，
∴ ∠AEB=∠DEC - ∠DEA - ∠CEB=60°-15°-15°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题结合正方形和等边三角形的性质，通过等腰三角形内角和计算角度，关键是推导等腰三角形的底角，属于基础几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
要计算∠AEB的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导角度关系：先利用正方形的边相等、内角为90°，等边三角形的边相等、内角为60°，得到AD=DE、BC=CE，再计算等腰△ADE和△BCE的底角，最后结合等边△CDE的内角，求出∠AEB。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∵ △CDE是等边三角形，
∴ DC=DE=CE，∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°，
∴ AD=DE，BC=CE，
∠ADE=∠ADC + ∠CDE=90°+60°=150°，
∠BCE=∠BCD + ∠DCE=90°+60°=150°，
在△ADE中，AD=DE，故△ADE为等腰三角形，
∠DEA=(180° - ∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°，
同理，在△BCE中，∠CEB=15°，
∴ ∠AEB=∠DEC - ∠DEA - ∠CEB=60°-15°-15°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题结合正方形和等边三角形的性质，通过等腰三角形内角和计算角度，关键是推导等腰三角形的底角，属于基础几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
15.如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$BC=6$,$AC=8$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$E$,$F$分别是$AB$,$AC$的中点,则$△ DEF$的周长为________。
答案
15.$\frac{19}{2}$
解析
【分析】
要计算△DEF的周长，需利用直角三角形斜边中线性质和三角形中位线定理，将△DEF的三边转化为△ABC的对应边的一半，再求和即可。
【解析】
1. 因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，即△ADB和△ADC为直角三角形。
2. E是AB中点，在Rt△ADB中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=$\frac{1}{2}AB$。已知AB=5，故DE=$\frac{5}{2}$。
3. F是AC中点，在Rt△ADC中，同理得DF=$\frac{1}{2}AC$。已知AC=8，故DF=$\frac{1}{2}×8=4$。
4. E、F分别是AB、AC中点，所以EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，得EF=$\frac{1}{2}BC$。已知BC=6，故EF=$\frac{1}{2}×6=3$。
5. △DEF的周长=DE+DF+EF=$\frac{5}{2}+4+3=\frac{19}{2}$。
【答案】
$\frac{19}{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用直角三角形和三角形中位线的核心性质，将所求三角形周长转化为已知边长的一半之和，是几何中线段长度计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
要计算△DEF的周长，需利用直角三角形斜边中线性质和三角形中位线定理，将△DEF的三边转化为△ABC的对应边的一半，再求和即可。
【解析】
1. 因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，即△ADB和△ADC为直角三角形。
2. E是AB中点，在Rt△ADB中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=$\frac{1}{2}AB$。已知AB=5，故DE=$\frac{5}{2}$。
3. F是AC中点，在Rt△ADC中，同理得DF=$\frac{1}{2}AC$。已知AC=8，故DF=$\frac{1}{2}×8=4$。
4. E、F分别是AB、AC中点，所以EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，得EF=$\frac{1}{2}BC$。已知BC=6，故EF=$\frac{1}{2}×6=3$。
5. △DEF的周长=DE+DF+EF=$\frac{5}{2}+4+3=\frac{19}{2}$。
【答案】
$\frac{19}{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用直角三角形和三角形中位线的核心性质，将所求三角形周长转化为已知边长的一半之和，是几何中线段长度计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
16.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAC的平分线交BC于点E,连结OE。已知$OE=\sqrt{10},∠AEO=45°$,则$AB=$
6
。答案
16.6 解析:在线段AB上取点F,使FE⊥OE,并过点O作OH⊥BC,垂足为H,因为∠AEO=45°,FE⊥OE,所以∠AEF=∠OEF-∠AEO=90°-45°=45°,所以∠AEF=∠AEO。因为∠BAE=∠CAE,且AE=AE,所以△AEF≌△AEO(ASA),所以AO=AF,EO=EF。因为四边形ABCD为矩形,所以OB=OA,且有AB⊥BC。又因为FE⊥OE,OH⊥BC,所以可证△BFE≌△HEO(AAS),所以OH=EB,EH=FB。设OH=a, EH=b,则由Rt△OBH 和 Rt△OEH,得$\begin{cases}OB^2=OH^2+BH^2 \\ OE^2=OH^2+EH^2\end{cases}$,又因为OH为Rt△ABC中位线,所以AB=2OH=2a, BO=AO=AF=2a-b,所以,有$\begin{cases}a^2+(a+b)^2=(2a-b)^2,① \\ a^2+b^2=10。②\end{cases}$ 由①,得a=3b,③ 由②③解得$\begin{cases}a=3,\\b=1,\end{cases}$(负根已舍去)。所以AB=2a=6。
解析
【分析】本题是矩形中求线段长度的几何题，解题思路是通过作辅助线构造全等三角形，结合矩形性质、角平分线性质和勾股定理建立方程求解。先作FE⊥OE、OH⊥BC，利用角度关系和角平分线证明△AEF≌△AEO，再证明△BFE≌△HEO得到线段等量关系，最后结合矩形中位线性质和勾股定理列方程，解出OH的值进而得到AB的长度。
【解析】在线段AB上取点F，使FE⊥OE，过点O作OH⊥BC，垂足为H。
1. 由FE⊥OE得∠OEF=90°，结合∠AEO=45°，得∠AEF=∠OEF - ∠AEO=45°，故∠AEF=∠AEO。
2. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE，又AE=AE，所以△AEF≌△AEO（ASA），因此AO=AF，EF=EO=√10。
3. 四边形ABCD是矩形，故OB=OA，AB⊥BC；又OH⊥BC，FE⊥OE，可得∠FEB=∠EOH，且∠BFE=∠EHO=90°，所以△BFE≌△HEO（AAS），得OH=EB，EH=FB。
4. 设OH=a，EH=b，由矩形性质知OH是△ABC的中位线，故AB=2OH=2a，BO=AO=AF=AB - FB=2a - b。
5. 在Rt△OBH中，BH=BE + EH=a + b，由勾股定理得OB²=OH² + BH²，即(2a - b)²=a² + (a + b)²；在Rt△OEH中，OE²=OH² + EH²，即10=a² + b²。
6. 展开第一个方程化简得a=3b，将其代入第二个方程解得b=1，a=3。
7. 因此AB=2a=6。
【答案】6
【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】本题通过构造全等三角形转化线段关系，结合矩形中位线性质与勾股定理建立方程，辅助线构造是解题关键，考查几何综合知识的应用能力。
【难度系数】0.4
【解析】在线段AB上取点F，使FE⊥OE，过点O作OH⊥BC，垂足为H。
1. 由FE⊥OE得∠OEF=90°，结合∠AEO=45°，得∠AEF=∠OEF - ∠AEO=45°，故∠AEF=∠AEO。
2. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE，又AE=AE，所以△AEF≌△AEO（ASA），因此AO=AF，EF=EO=√10。
3. 四边形ABCD是矩形，故OB=OA，AB⊥BC；又OH⊥BC，FE⊥OE，可得∠FEB=∠EOH，且∠BFE=∠EHO=90°，所以△BFE≌△HEO（AAS），得OH=EB，EH=FB。
4. 设OH=a，EH=b，由矩形性质知OH是△ABC的中位线，故AB=2OH=2a，BO=AO=AF=AB - FB=2a - b。
5. 在Rt△OBH中，BH=BE + EH=a + b，由勾股定理得OB²=OH² + BH²，即(2a - b)²=a² + (a + b)²；在Rt△OEH中，OE²=OH² + EH²，即10=a² + b²。
6. 展开第一个方程化简得a=3b，将其代入第二个方程解得b=1，a=3。
7. 因此AB=2a=6。
【答案】6
【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】本题通过构造全等三角形转化线段关系，结合矩形中位线性质与勾股定理建立方程，辅助线构造是解题关键，考查几何综合知识的应用能力。
【难度系数】0.4
