24.(12分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O。在CD上取点E,连结AE,将△ADE沿AE折叠,点D的对应点为F。
(1)如图1,若AB=6,AC=4,求菱形ABCD的面积。
(2)如图2,若点F落在BC的延长线上,求证:GF=GC。
(3)如图3,若点F落在BC上,连结DF,已知BF=2FC=2,
①求DF的长;②直接写出四边形ADEF的面积。

24.(1)解:由四边形ABCD为菱形,得$AC⊥BD$,$AO=OC$,$BO=OD$,所以在$Rt△ABO$中,有$AO=\frac{1}{2}AC=2$,$BO^2=AB^2-OA^2=6^2-2^2=32$,所以$BO=4\sqrt{2}$,$BD=2BO=8\sqrt{2}$,故$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×4×8\sqrt{2}=16\sqrt{2}$。(2)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以$AB=AD$,且$AB// CD$。又因为折叠,所以$AF=AD$,所以$AB=AF$,所以$∠ABF=∠AFB$。又因为$AB// CD$,所以$∠ABF=∠DCF$,所以$∠DCF=∠AFB$,即$GF=GC$。(3)解:①过点A作$AH⊥BC$,H为垂足。由(2),得$AF=AB$,又因为$AH⊥BC$,所以$BH=HF=\frac{1}{2}BF=1$。又因为四边形ABCD为菱形,所以$AB=CD=BC$,所以$AB=BC=BF+FC=2+1=3$,所以$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=2\sqrt{3}$,又由(2),易得$∠AFB=∠ABF=180°-∠BCD$,且$∠AFB+∠AFC=180°$,所以$∠AFC=∠BCD$,所以由$\begin{cases}AF=DC,\\∠AFC=∠DCF,\\FC=CF,\end{cases}$得$△AFC≌△DCF$,所以$DF=AC=2\sqrt{3}$。②$\frac{18\sqrt{2}}{5}$。

【分析】
本题围绕菱形的性质与折叠变换展开解题：
(1) 菱形面积可通过“对角线乘积的一半”计算，已知AC，需先求BD；利用菱形对角线互相垂直平分，在Rt△ABO中用勾股定理算出BO，进而得到BD，即可求面积。
(2) 折叠后对应边相等，故AF=AD，结合菱形邻边相等（AD=AB）得AF=AB，推出∠ABF=∠AFB；再利用菱形对边平行，内错角相等，得∠ABF=∠DCF，从而∠AFB=∠DCF，证得GF=GC。
(3) ①先由BF=2、FC=1得菱形边长BC=3，作AH⊥BC，用勾股定理算AH；再通过角的关系证明△AFC≌△DCF，得DF=AC；②结合相关边长，计算四边形ADEF的面积。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=½AC=2，BO=OD，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
BO²=AB² - OA²=6² - 2²=32，
∴BO=4√2，BD=2BO=8√2，
∴S菱形ABCD=½×AC×BD=½×4×8√2=16√2。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AB//CD，
由折叠性质得：AF=AD，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠DCF，
∴∠AFB=∠DCF，即GF=GC。
(3) ①解：过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AF，AH⊥BC，
∴BH=HF=½BF=1，
∵BF=2FC=2，
∴FC=1，BC=BF+FC=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=3，
在Rt△ABH中，AH=√(AB² - BH²)=√(3² -1²)=2√2，
HC=BC - BH=3 -1=2，
在Rt△AHC中，AC=√(AH² + HC²)=√((2√2)² +2²)=2√3，
∵∠AFB + ∠AFC=180°，∠ABF + ∠BCD=180°，且∠AFB=∠ABF，
∴∠AFC=∠BCD，
在△AFC和△DCF中：
AF=DC，∠AFC=∠DCF，FC=CF，
∴△AFC≌△DCF（SAS），
∴DF=AC=2√3。
②四边形ADEF的面积为18√2/5。
【答案】
(1) 16√2；
(2) 证明如上；
(3) ①DF=2√3；②18√2/5
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、折叠变换的性质，结合勾股定理、全等三角形的判定与性质解题，需要学生熟练掌握菱形的相关性质，灵活运用折叠的对应关系，难度中等，对几何综合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6