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21. (8分)小宣和小华在一起玩数字游戏,他们每人取了一张数字卡片,拼成了一个两位数。小宣说:“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9。”他们又把这两张卡片对调,得到了一个新的两位数。小华说:“这个两位数恰好也比原来的两位数大9。”
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几?
(2)第一次,他们拼成的两位数是多少?
(3)第二次,他们拼成的两位数是多少?
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几?
(2)第一次,他们拼成的两位数是多少?
(3)第二次,他们拼成的两位数是多少?
答案
21.(1)解:设第一次拼成的两位数的个位上的数字是y,十位上的数字是x,则第一次拼成的两位数是$10x + y$,第二次拼成的两位数是$10y + x$。由题意,得$\begin{cases} x + y = 9, ① \\10y + x - 9 = 10x + y, ②\end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = 5 \end{cases}$。所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4,5。
(2)解:第一次,他们拼成的两位数为45。
(3)解:第二次,他们拼成的两位数是54。
(2)解:第一次,他们拼成的两位数为45。
(3)解:第二次,他们拼成的两位数是54。
解析
【分析】
这是一道利用二元一次方程组解决数字问题的应用题。解题思路：先设出两位数的十位数字和个位数字，根据“十位数字与个位数字之和为9”列第一个方程；再结合两位数的表示方法（十位数字×10 + 个位数字），根据“对调后的新两位数比原两位数大9”列第二个方程，组成方程组求解，最后根据解回答三个问题。
【解析】
解：设第一次拼成的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$，则原两位数为$10x + y$，对调后的新两位数为$10y + x$。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases} x + y = 9 \quad ① \\ 10y + x - (10x + y) = 9 \quad ② \end{cases}$
化简方程②：$9y - 9x = 9$，两边同除以9得$y - x = 1 \quad ③$
将①+③：$2y = 10$，解得$y = 5$；
把$y=5$代入①，得$x=4$。
(1) 由$x=4$、$y=5$，可知取出的两张卡片数字为4和5；
(2) 第一次拼成的两位数：$10×4 +5=45$；
(3) 第二次拼成的两位数：$10×5 +4=54$。
【答案】
(1) 4和5；(2) 45；(3) 54
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的表示
【点评】
本题是初中数学典型的数字问题应用题，关键是掌握两位数的表示规则，通过等量关系建立方程组求解，属于基础应用题型，能有效考查学生对二元一次方程组的掌握情况。
【难度系数】
0.6
这是一道利用二元一次方程组解决数字问题的应用题。解题思路：先设出两位数的十位数字和个位数字，根据“十位数字与个位数字之和为9”列第一个方程；再结合两位数的表示方法（十位数字×10 + 个位数字），根据“对调后的新两位数比原两位数大9”列第二个方程，组成方程组求解，最后根据解回答三个问题。
【解析】
解：设第一次拼成的两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$，则原两位数为$10x + y$，对调后的新两位数为$10y + x$。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases} x + y = 9 \quad ① \\ 10y + x - (10x + y) = 9 \quad ② \end{cases}$
化简方程②：$9y - 9x = 9$，两边同除以9得$y - x = 1 \quad ③$
将①+③：$2y = 10$，解得$y = 5$；
把$y=5$代入①，得$x=4$。
(1) 由$x=4$、$y=5$，可知取出的两张卡片数字为4和5；
(2) 第一次拼成的两位数：$10×4 +5=45$；
(3) 第二次拼成的两位数：$10×5 +4=54$。
【答案】
(1) 4和5；(2) 45；(3) 54
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的表示
【点评】
本题是初中数学典型的数字问题应用题，关键是掌握两位数的表示规则，通过等量关系建立方程组求解，属于基础应用题型，能有效考查学生对二元一次方程组的掌握情况。
【难度系数】
0.6
22. (10分)(2024·绍兴市新昌县期末)项目化学习综合与实践。
素材1:如图是一架自制天平,支点O固定不变,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘的支撑点P可以在横梁OB段滑动,已知$OA=OC=12\ \mathrm{cm},BC=28\ \mathrm{cm}$,左侧托盘放置一个100 g的砝码。
任务1:若右侧托盘放置50 g物体,当天平平衡时,求$OP$的长。
素材2:若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶,在空瓶中加入一定量的水,滑动右侧托盘,当支撑点P到点B时,天平平衡;若再向瓶中加入等量的水,当点P移动到PC长为12 cm时(点P在点C的右侧),天平恰好平衡。
任务2:求这个矿泉水瓶的质量。
素材3:继续在矿泉水瓶中加水,当加水量是第一次加水量的5倍时,移动右侧支撑点P,使天平平衡。
任务3:请描述右侧支撑点P的移动过程。
温馨提示:根据杠杆原理,天平平衡时:
左盘砝码质量$× OA=$右盘物体质量$× OP$(不计托盘和横梁的质量)。
素材1:如图是一架自制天平,支点O固定不变,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘的支撑点P可以在横梁OB段滑动,已知$OA=OC=12\ \mathrm{cm},BC=28\ \mathrm{cm}$,左侧托盘放置一个100 g的砝码。
任务1:若右侧托盘放置50 g物体,当天平平衡时,求$OP$的长。
素材2:若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶,在空瓶中加入一定量的水,滑动右侧托盘,当支撑点P到点B时,天平平衡;若再向瓶中加入等量的水,当点P移动到PC长为12 cm时(点P在点C的右侧),天平恰好平衡。
任务2:求这个矿泉水瓶的质量。
素材3:继续在矿泉水瓶中加水,当加水量是第一次加水量的5倍时,移动右侧支撑点P,使天平平衡。
任务3:请描述右侧支撑点P的移动过程。
温馨提示:根据杠杆原理,天平平衡时:
左盘砝码质量$× OA=$右盘物体质量$× OP$(不计托盘和横梁的质量)。
答案
22. 任务1 解:因为左盘砝码质量$× OA=$右盘物体质量$× OP$,所以$100×12 = 50× OP$,解得$OP = 24$。所以OP的长为24 cm。
任务2 解:设矿泉水瓶的质量为a g,每次加入等量水的质量为b g。由素材2,得$\begin{cases}40(a + b) = 100×12, \\24(a + 2b) = 100×12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 10, \\ b = 20 \end{cases}$。答:这个矿泉水瓶的质量是10 g。
任务3 解:因为左盘砝码质量$× OA=$右盘物体质量$× OP$,矿泉水瓶+水的质量$=10 + 20 + 20 + 20×5 = 150$,所以$100×12 = 150× OP$,解得$OP = 8$。$24 - 8 = 16(\mathrm{cm})$,所以支撑点P向左平移16 cm。
任务2 解:设矿泉水瓶的质量为a g,每次加入等量水的质量为b g。由素材2,得$\begin{cases}40(a + b) = 100×12, \\24(a + 2b) = 100×12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 10, \\ b = 20 \end{cases}$。答:这个矿泉水瓶的质量是10 g。
任务3 解:因为左盘砝码质量$× OA=$右盘物体质量$× OP$,矿泉水瓶+水的质量$=10 + 20 + 20 + 20×5 = 150$,所以$100×12 = 150× OP$,解得$OP = 8$。$24 - 8 = 16(\mathrm{cm})$,所以支撑点P向左平移16 cm。
解析
【分析】
任务1：根据题目给出的杠杆平衡公式，代入已知的左盘砝码质量、OA长度和右盘物体质量，直接计算OP的长度。
任务2：设矿泉水瓶质量和每次加水的质量为两个未知数，根据两次天平平衡的条件列出二元一次方程组，求解得到矿泉水瓶的质量。
任务3：先计算加水量为第一次5倍时矿泉水瓶和水的总质量，再用杠杆平衡公式求出此时的OP长度，结合之前P的位置，得出P的移动方向和距离。
【解析】
任务1：
根据杠杆平衡公式：左盘砝码质量×OA = 右盘物体质量×OP，
代入已知数据：100×12 = 50×OP，
解得OP = (100×12)÷50 = 24（cm）。
任务2：
设矿泉水瓶的质量为a g，每次加入水的质量为b g。
由题意，OB = OC + BC = 12 + 28 = 40 cm，当P在B点时，右盘总质量为(a + b)g，天平平衡，故：
100×12 = (a + b)×40；
当P移动到PC=12 cm时，OP = OC + PC = 12 + 12 = 24 cm，此时右盘总质量为(a + 2b)g，天平平衡，故：
100×12 = (a + 2b)×24；
联立方程组：
$\begin{cases}40(a + b) = 1200 \\24(a + 2b) = 1200\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + b = 30 \\a + 2b = 50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得b=20，代入a + b=30，得a=10。
任务3：
当加水量是第一次加水量的5倍时，矿泉水瓶和水的总质量为10 + 20 + 20×5 = 150（g）。
根据杠杆平衡公式：100×12 = 150×OP，
解得OP = (100×12)÷150 = 8（cm）。
之前P在距离O点24 cm处，所以P向左移动的距离为24 - 8 = 16（cm），即支撑点P向左平移16 cm。
【答案】
任务1：OP的长为24 cm；任务2：矿泉水瓶的质量是10 g；任务3：支撑点P向左平移16 cm。
【知识点】
杠杆平衡原理、二元一次方程组应用、一元一次方程应用
【点评】
本题结合自制天平的实际情境，考查杠杆平衡原理的应用，需要学生准确理解题意，找准等量关系，通过列方程（组）解决问题，体现了跨学科知识的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
任务1：根据题目给出的杠杆平衡公式，代入已知的左盘砝码质量、OA长度和右盘物体质量，直接计算OP的长度。
任务2：设矿泉水瓶质量和每次加水的质量为两个未知数，根据两次天平平衡的条件列出二元一次方程组，求解得到矿泉水瓶的质量。
任务3：先计算加水量为第一次5倍时矿泉水瓶和水的总质量，再用杠杆平衡公式求出此时的OP长度，结合之前P的位置，得出P的移动方向和距离。
【解析】
任务1：
根据杠杆平衡公式：左盘砝码质量×OA = 右盘物体质量×OP，
代入已知数据：100×12 = 50×OP，
解得OP = (100×12)÷50 = 24（cm）。
任务2：
设矿泉水瓶的质量为a g，每次加入水的质量为b g。
由题意，OB = OC + BC = 12 + 28 = 40 cm，当P在B点时，右盘总质量为(a + b)g，天平平衡，故：
100×12 = (a + b)×40；
当P移动到PC=12 cm时，OP = OC + PC = 12 + 12 = 24 cm，此时右盘总质量为(a + 2b)g，天平平衡，故：
100×12 = (a + 2b)×24；
联立方程组：
$\begin{cases}40(a + b) = 1200 \\24(a + 2b) = 1200\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + b = 30 \\a + 2b = 50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得b=20，代入a + b=30，得a=10。
任务3：
当加水量是第一次加水量的5倍时，矿泉水瓶和水的总质量为10 + 20 + 20×5 = 150（g）。
根据杠杆平衡公式：100×12 = 150×OP，
解得OP = (100×12)÷150 = 8（cm）。
之前P在距离O点24 cm处，所以P向左移动的距离为24 - 8 = 16（cm），即支撑点P向左平移16 cm。
【答案】
任务1：OP的长为24 cm；任务2：矿泉水瓶的质量是10 g；任务3：支撑点P向左平移16 cm。
【知识点】
杠杆平衡原理、二元一次方程组应用、一元一次方程应用
【点评】
本题结合自制天平的实际情境，考查杠杆平衡原理的应用，需要学生准确理解题意，找准等量关系，通过列方程（组）解决问题，体现了跨学科知识的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
