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19.(8分)新定义 定义:二元一次方程$y=ax+b$与二元一次方程$y=bx+a$互为“反对称二元一次方程”,例如:二元一次方程$y=2x+1$与二元一次方程$y=x+2$互为“反对称二元一次方程”。
(1)直接写出二元一次方程$y=4x-1$的“反对称二元一次方程”:________。
(2)二元一次方程$y=3x+5$的解$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$又是它的“反对称二元一次方程”的解,求出$m,n$的值。
(1)直接写出二元一次方程$y=4x-1$的“反对称二元一次方程”:________。
(2)二元一次方程$y=3x+5$的解$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$又是它的“反对称二元一次方程”的解,求出$m,n$的值。
答案
19.(1)$y=-x+4$
(2)解:由题意,得二元一次方程$y=3x+5$的“反对称二元一次方程”是$y=5x+3$。因为二元一次方程$y=3x+5$的解$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$又是它的“反对称二元一次方程”的解,所以$\begin{cases} 3m + 5 = n, \\5m + 3 = n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = 1, \\ n = 8 \end{cases}$。
(2)解:由题意,得二元一次方程$y=3x+5$的“反对称二元一次方程”是$y=5x+3$。因为二元一次方程$y=3x+5$的解$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$又是它的“反对称二元一次方程”的解,所以$\begin{cases} 3m + 5 = n, \\5m + 3 = n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = 1, \\ n = 8 \end{cases}$。
解析
【分析】首先明确“反对称二元一次方程”的定义：对于二元一次方程$y=ax+b$，其反对称二元一次方程是将原方程中$x$的系数与常数项互换位置，得到$y=bx+a$。第(1)问直接根据定义互换系数和常数项即可；第(2)问先求出原方程的反对称方程，再根据解的意义，将公共解代入两个方程组成二元一次方程组，解方程组得到$m$、$n$的值。
【解析】(1)根据“反对称二元一次方程”的定义，二元一次方程$y=4x-1$中，$x$的系数为$4$，常数项为$-1$，互换后得到反对称二元一次方程为$y=-x+4$。
(2)二元一次方程$y=3x+5$的“反对称二元一次方程”为$y=5x+3$。因为$\begin{cases} x=m \\ y=n \end{cases}$是两个方程的公共解，所以将其代入两个方程得：
$\begin{cases} 3m + 5 = n \\ 5m + 3 = n \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$5m+3-(3m+5)=0$，化简得$2m-2=0$，解得$m=1$。将$m=1$代入$3m+5=n$，得$n=3×1+5=8$。
【答案】(1)$y=-x+4$；(2)$\begin{cases} m=1 \\ n=8 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程新定义，二元一次方程组的解法
【点评】本题属于新定义题型，重点考查对新定义的理解与应用，以及二元一次方程组的求解，解题关键是准确把握“反对称二元一次方程”的定义，将问题转化为常规的方程组问题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】(1)根据“反对称二元一次方程”的定义，二元一次方程$y=4x-1$中，$x$的系数为$4$，常数项为$-1$，互换后得到反对称二元一次方程为$y=-x+4$。
(2)二元一次方程$y=3x+5$的“反对称二元一次方程”为$y=5x+3$。因为$\begin{cases} x=m \\ y=n \end{cases}$是两个方程的公共解，所以将其代入两个方程得：
$\begin{cases} 3m + 5 = n \\ 5m + 3 = n \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$5m+3-(3m+5)=0$，化简得$2m-2=0$，解得$m=1$。将$m=1$代入$3m+5=n$，得$n=3×1+5=8$。
【答案】(1)$y=-x+4$；(2)$\begin{cases} m=1 \\ n=8 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程新定义，二元一次方程组的解法
【点评】本题属于新定义题型，重点考查对新定义的理解与应用，以及二元一次方程组的求解，解题关键是准确把握“反对称二元一次方程”的定义，将问题转化为常规的方程组问题，难度适中。
【难度系数】0.6
20.(8分)已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, \\x - y = -a,\end{cases}$其中$a$为实数。
(1)当$a=2$时,求方程组的解。
(2)求$x+y$的值(用含$a$的代数式表示)。
(3)试说明无论$a$取何数,代数式$6x-3y$的值始终不变。
(1)当$a=2$时,求方程组的解。
(2)求$x+y$的值(用含$a$的代数式表示)。
(3)试说明无论$a$取何数,代数式$6x-3y$的值始终不变。
答案
20.(1)解:把$a=2$代入关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, \\x - y = -a,\end{cases}$ 得$\begin{cases}3x + y = 6, ① \\x - y = -2。 ②\end{cases}$ 由①+②,得$x=1$。把$x=1$代入②,得$y=3$。所以当$a=2$时,原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$。
(2)解:$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$ 由①-②,得$2x + 2y = 6a - 4$,即$x + y = 3a - 2$。
(3)证明:$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$ 由②×5,得$5x - 5y = -5a$③。由①+③,得$8x - 4y = -4$,即$2x - y = -1$,所以$6x - 3y = 3(2x - y) = 3×(-1) = -3$,所以无论a取何数,代数式$6x - 3y$的值始终不变。
(2)解:$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$ 由①-②,得$2x + 2y = 6a - 4$,即$x + y = 3a - 2$。
(3)证明:$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$ 由②×5,得$5x - 5y = -5a$③。由①+③,得$8x - 4y = -4$,即$2x - y = -1$,所以$6x - 3y = 3(2x - y) = 3×(-1) = -3$,所以无论a取何数,代数式$6x - 3y$的值始终不变。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：先将a=2代入原方程组，得到具体的二元一次方程组，再利用加减消元法求解方程组；
2. 第(2)问：观察方程组中两个方程的系数特点，通过两式相减直接构造出含x+y的式子，进而求出x+y的表达式；
3. 第(3)问：通过对方程组进行适当变形（如给某一方程乘以常数后与另一方程相加），消去参数a，求出6x-3y的值，证明其为常数。
【解析】
(1) 把a=2代入原方程组，得：
$\begin{cases}3x + y = 6, ① \\x - y = -2。 ②\end{cases}$
由①+②，得$4x=4$，解得$x=1$。
把$x=1$代入②，得$1 - y = -2$，解得$y=3$。
所以当$a=2$时，方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$。
(2) 原方程组为$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$
由①-②，得$(3x + y) - (x - y) = (5a - 4) - (-a)$，
化简得$2x + 2y = 6a - 4$，两边同时除以2，得$x + y = 3a - 2$。
(3) 原方程组为$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$
给②式两边乘以5，得$5x - 5y = -5a$ ③，
由①+③，得$8x - 4y = -4$，两边同时除以4，得$2x - y = -1$，
所以$6x - 3y = 3(2x - y) = 3×(-1) = -3$，
因此无论a取何数，代数式$6x - 3y$的值始终不变。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$；(2) $3a - 2$；(3) 无论a取何数，$6x - 3y$的值始终为-3。
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式的化简求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的加减消元法及代数式的恒等变形，第(1)问是基础的代入求解，第(2)(3)问需要学生掌握整体变形的技巧，避免直接求解x、y，整体难度适中，属于初中数学的基础题型，能有效考查学生对消元思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：先将a=2代入原方程组，得到具体的二元一次方程组，再利用加减消元法求解方程组；
2. 第(2)问：观察方程组中两个方程的系数特点，通过两式相减直接构造出含x+y的式子，进而求出x+y的表达式；
3. 第(3)问：通过对方程组进行适当变形（如给某一方程乘以常数后与另一方程相加），消去参数a，求出6x-3y的值，证明其为常数。
【解析】
(1) 把a=2代入原方程组，得：
$\begin{cases}3x + y = 6, ① \\x - y = -2。 ②\end{cases}$
由①+②，得$4x=4$，解得$x=1$。
把$x=1$代入②，得$1 - y = -2$，解得$y=3$。
所以当$a=2$时，方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$。
(2) 原方程组为$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$
由①-②，得$(3x + y) - (x - y) = (5a - 4) - (-a)$，
化简得$2x + 2y = 6a - 4$，两边同时除以2，得$x + y = 3a - 2$。
(3) 原方程组为$\begin{cases}3x + y = 5a - 4, ① \\x - y = -a, ②\end{cases}$
给②式两边乘以5，得$5x - 5y = -5a$ ③，
由①+③，得$8x - 4y = -4$，两边同时除以4，得$2x - y = -1$，
所以$6x - 3y = 3(2x - y) = 3×(-1) = -3$，
因此无论a取何数，代数式$6x - 3y$的值始终不变。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$；(2) $3a - 2$；(3) 无论a取何数，$6x - 3y$的值始终为-3。
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式的化简求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的加减消元法及代数式的恒等变形，第(1)问是基础的代入求解，第(2)(3)问需要学生掌握整体变形的技巧，避免直接求解x、y，整体难度适中，属于初中数学的基础题型，能有效考查学生对消元思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
