14. 方程组$\begin{cases}\dfrac{2}{x+y} + \dfrac{1}{x-y} = 1, \\\dfrac{4}{x+y} - \dfrac{6}{x-y} = -2\end{cases}$的解为$\underline{\hspace{5cm}}$。

14.$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}$ 【解析】令$\dfrac{1}{x + y} = m$,$\dfrac{1}{x - y} = n$,则原方程组可化为$\begin{cases}2m + n = 1, ① \\2m - 3n = -1, ②\end{cases}$ 由①-②,得$4n = 2$,解得$n = \dfrac{1}{2}$。把$n = \dfrac{1}{2}$代入到①,得$m = \dfrac{1}{4}$,即$\begin{cases}x + y = 4, \\x - y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3, \\y = 1。\end{cases}$ 经检验,$\begin{cases}x = 3, \\y = 1\end{cases}$是原方程组的解。

【分析】本题是分式方程组，直接运算较繁琐，观察到两个方程中均含$\frac{1}{x+y}$和$\frac{1}{x-y}$，可采用换元法将其转化为二元一次方程组简化计算，先求解新方程组，再反代求出原未知数，最后检验解是否符合原方程组分母不为0的条件。
【解析】令$\frac{1}{x+y}=m$，$\frac{1}{x-y}=n$，则原方程组转化为：
$\begin{cases}2m + n = 1 & ① \\4m - 6n = -2 & ②\end{cases}$
将①式两边同乘2得：$4m + 2n = 2$ ③
用③式减去②式：$(4m + 2n) - (4m - 6n) = 2 - (-2)$
化简得：$8n = 4$，解得$n = \frac{1}{2}$
把$n = \frac{1}{2}$代入①式：$2m + \frac{1}{2} = 1$，解得$m = \frac{1}{4}$
因此可得$\begin{cases}\frac{1}{x+y} = \frac{1}{4} \\\frac{1}{x-y} = \frac{1}{2}\end{cases}$，即$\begin{cases}x + y = 4 \\x - y = 2\end{cases}$
解此二元一次方程组：两式相加得$2x = 6$，解得$x = 3$；将$x=3$代入$x+y=4$，得$y=1$
经检验，$x=3$，$y=1$时，$x+y=4≠0$，$x-y=2≠0$，是原方程组的解。
【答案】$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}$
【知识点】换元法解分式方程组、二元一次方程组的解法
【点评】本题运用换元思想将复杂的分式方程组转化为常规的二元一次方程组，降低了解题难度，是解分式方程组的常用方法，需注意换元后要还原求原未知数，且必须检验解是否使原分母不为0。
【难度系数】0.6

15. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + 3y = k,\\3x + 2y = k + 1\end{cases}$的解的和是$k - 1$，则$k=$______。

15.2 【解析】$\begin{cases}2x + 3y = k, ① \\3x + 2y = k + 1, ②\end{cases}$ 由①+②,得$5x + 5y = 2k + 1$,解得$x + y = \dfrac{2k + 1}{5}$。因为关于x,y的方程组$\begin{cases}2x + 3y = k, \\3x + 2y = k + 1\end{cases}$的解的和是$k - 1$,所以$k - 1 = \dfrac{2k + 1}{5}$,解得$k = 2$。

【分析】本题可先将方程组的两个方程相加，求出$x + y$的代数式，再根据题目中“解的和是$k - 1$”这一条件，建立关于$k$的方程，进而求解$k$的值，解题时运用整体思想可简化计算。
【解析】$\begin{cases}2x + 3y = k \quad ① \\3x + 2y = k + 1 \quad ②\end{cases}$
将①+②，得：$5x + 5y = 2k + 1$，两边同时除以5，化简得：$x + y = \frac{2k + 1}{5}$。
已知方程组的解的和是$k - 1$，即$x + y = k - 1$，因此可得方程：
$k - 1 = \frac{2k + 1}{5}$
去分母，两边同乘5得：$5(k - 1) = 2k + 1$
展开括号：$5k - 5 = 2k + 1$
移项合并同类项：$5k - 2k = 1 + 5$，即$3k = 6$
解得：$k = 2$
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解，解一元一次方程
【点评】本题考查二元一次方程组的整体思想应用，无需单独求解$x$、$y$的值，通过整体相加得到$x+y$的表达式，结合已知条件建立方程即可求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

16. 已知关于$x,y$的二元一次方程$2x - y + 3 + a(3x + y - 8)=0$，不论$a$取何值时，方程总有一组固定不变的解，这组解为$\underline{\hspace{5cm}}$。

16.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 5 \end{cases}$ 【解析】将该方程变形为$(3a + 2)x + (a - 1)y + 3 - 8a = 0$。当$3a + 2 = 0$时,解得$a = -\dfrac{2}{3}$。将$a = -\dfrac{2}{3}$代入方程$(3a + 2)x + (a - 1)y + 3 - 8a = 0$,得$(-\dfrac{2}{3} - 1)y + 3 - 8×(-\dfrac{2}{3}) = 0$,解得$y = 5$;当$a - 1 = 0$时,解得$a = 1$。将$a = 1$代入方程$(3a + 2)x + (a - 1)y + 3 - 8a = 0$,得$(3×1 + 2)x + 3 - 8×1 = 0$,解得$x = 1$,所以不论a取何值,方程总有一组固定不变的解,这组解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 5 \end{cases}$。

【分析】要找到不论a取何值时方程的固定解，需将原方程整理为关于参数a的表达式，利用“对于任意参数a，等式恒成立时，a的系数和不含a的项都为0”的性质，转化为二元一次方程组求解。
【解析】原方程$2x - y + 3 + a(3x + y - 8)=0$，整理为关于a的式子：
$(3x + y - 8)a + (2x - y + 3) = 0$。
因为该等式对任意a都成立，所以a的系数和常数项必须同时为0，据此列方程组：
$\begin{cases} 3x + y - 8 = 0 \\ 2x - y + 3 = 0 \end{cases}$
解这个方程组：将两个方程相加，得$5x -5 =0$，解得$x=1$；把$x=1$代入$2x - y +3=0$，得$2×1 - y +3=0$，解得$y=5$。
【答案】$\begin{cases} x = 1, \\ y = 5 \end{cases}$
【知识点】含参数的方程恒成立，二元一次方程组的解法
【点评】本题考查含参数的二元一次方程的恒成立问题，核心是利用“任意参数都成立则系数为0”的性质转化为二元一次方程组，解题关键是掌握这种转化思路，难度适中。
【难度系数】0.5

三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)解方程组:
(1)(2025·湖州市期末)$\begin{cases} x=3y - 1, \\ 4y=x + 1; \end{cases}$
(2)(2025·衢州市柯城区期末)$\begin{cases} 2x + y=2, \\ 4x - 5y=-3。 \end{cases}$

17.(1)解:$\begin{cases} x=3y - 1, ① \\4y=x + 1, ②\end{cases}$ 把①代入②,得$4y = 3y - 1 + 1$,解得$y = 0$。把$y = 0$代入①,得$x = -1$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 0 \end{cases}$。
(2)解:$\begin{cases} 2x + y=2, ① \\4x - 5y=-3, ②\end{cases}$ 由①×5+②,得$14x = 7$,解得$x = \dfrac{1}{2}$。把$x = \dfrac{1}{2}$代入①,得$2×\dfrac{1}{2} + y = 2$,解得$y = 1$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}, \\ y = 1 \end{cases}$。

【分析】
解二元一次方程组的核心思路是“消元”，将二元转化为一元求解。第(1)题中，方程①已用含y的式子直接表示x，适合用代入消元法，把①代入②可消去x，先求出y的值，再回代①求x；第(2)题中，两个方程y的系数分别为1和-5，适合用加减消元法，给方程①乘5使y的系数变为5，与方程②的y系数相加可消去y，先求x，再回代求y。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases} x=3y - 1, ① \\4y=x + 1, ②\end{cases}$
把①代入②，得$4y = 3y - 1 + 1$，解得$y = 0$。
把$y = 0$代入①，得$x = -1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 0 \end{cases}$。
(2) 解：$\begin{cases} 2x + y=2, ① \\4x - 5y=-3, ②\end{cases}$
由①×5+②，得$14x = 7$，解得$x = \dfrac{1}{2}$。
把$x = \dfrac{1}{2}$代入①，得$2×\dfrac{1}{2} + y = 2$，解得$y = 1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}, \\ y = 1 \end{cases}$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = -1, \\ y = 0 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}, \\ y = 1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础解答题，分别考察代入消元法和加减消元法的应用，是解二元一次方程组的核心方法，属于必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8

18.(8分)(2024·金华市东阳市期末)真实情境某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品,采购员小慧在某文体用品店购买完毕,回到学校后发现发票被弄花了,有几个数据变得不清楚,如图所示。

请根据发票中现有的信息,帮助小慧复原弄花的数据,即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额。

18. 解:设钢笔购买了x支,笔记本购买了y本。由题意,得$\begin{cases} x + y + 6 = 46, \\15x + 5y + 600 = 900,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 10, \\ y = 30 \end{cases}$。 则$10×15 = 150$(元),$30×5 = 150$(元)。答:购置钢笔的数量为10支,金额为150元;购置笔记本的数量为30本,金额为150元。

【分析】
要复原弄花的数据，需从发票中提取两个等量关系：一是三种物品的总数量为46，二是三种物品的总金额为900元。设钢笔数量为x支、笔记本数量为y本，根据这两个等量关系列出二元一次方程组，求解后再计算钢笔和笔记本的金额即可。
【解析】
设钢笔购买了$x$支，笔记本购买了$y$本。
根据表格信息可得：
1. 总数量关系：$x + y + 6 = 46$，化简得$x + y = 40$；
2. 总金额关系：$15x + 5y + 600 = 900$，化简得$3x + y = 60$。
用$3x + y = 60$减去$x + y = 40$，得：
$(3x + y) - (x + y) = 60 - 40$
$2x = 20$
解得$x = 10$。
将$x = 10$代入$x + y = 40$，得$10 + y = 40$，解得$y = 30$。
计算金额：
钢笔金额：$10×15 = 150$（元）；
笔记本金额：$30×5 = 150$（元）。
【答案】
购置钢笔的数量为10支，金额为150元；购置笔记本的数量为30本，金额为150元。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合购物发票的真实情境，考查二元一次方程组的实际应用，核心是从表格中梳理出数量和金额的等量关系，建立方程求解，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6