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20.(8分)【阅读感悟】李林同学在计算$\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}$时，采用了如下方法：
$(\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$
$=(5+\sqrt{21})-2\sqrt{5+\sqrt{21}}×\sqrt{5-\sqrt{21}}+(5-\sqrt{21})$
$=10-2×2$
$=6$。
$\sqrt{5+\sqrt{21}}＞\sqrt{5-\sqrt{21}}$，
$\therefore\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{6}$。
【迁移应用】计算下列两个式子：
(1)$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$。
$(\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$
$=(5+\sqrt{21})-2\sqrt{5+\sqrt{21}}×\sqrt{5-\sqrt{21}}+(5-\sqrt{21})$
$=10-2×2$
$=6$。
$\sqrt{5+\sqrt{21}}＞\sqrt{5-\sqrt{21}}$，
$\therefore\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{6}$。
【迁移应用】计算下列两个式子：
(1)$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$。
答案
20.解:因为$(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2=7+3\sqrt{5}+7-3\sqrt{5}+2\sqrt{7+3\sqrt{5}}×\sqrt{7-3\sqrt{5}}=14+2×2=18$,所以$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2)因为$(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{2+\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\frac{1}{8}$,所以$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$。
(2)因为$(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{2+\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\frac{1}{8}$,所以$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】本题是对例题解题方法的迁移应用，对于含双重根号的和或含三次根号的分式，直接计算较复杂，可借鉴例题思路：（1）对两个双重根号的和先平方，利用完全平方公式展开化简，再根据原式为正开方得结果；（2）对含三次根号的分式先立方，利用立方公式化简，再结合原式正负性开三次方得结果。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$：
对原式平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
$=(7+3\sqrt{5}) + 2\sqrt{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} + (7-3\sqrt{5})$
利用平方差公式化简根号内乘积：$\sqrt{7^2-(3\sqrt{5})^2}=\sqrt{49-45}=\sqrt{4}=2$
代入得：$7+3\sqrt{5}+7-3\sqrt{5}+2×2=18$
因$\sqrt{7+3\sqrt{5}}＞0$，$\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$，和为正，故原式$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2) 计算$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$：
对整个式子立方，根据$(\frac{a}{b})^3=\frac{a^3}{b^3}$：
$(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}$
计算分母：$(1+\sqrt{5})^3=(1+\sqrt{5})^2×(1+\sqrt{5})=(6+2\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=16+8\sqrt{5}=8(2+\sqrt{5})$
代入得：$\frac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{8}$
因原式分子分母均为正，故原式$=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$。
【答案】(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】二次根式运算、三次根式运算、立方公式
【点评】本题为方法迁移类题目，通过例题思路考察学生对根式运算公式的灵活运用，需注意化简过程中公式的正确使用及结果正负性的判断，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 计算$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$：
对原式平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
$=(7+3\sqrt{5}) + 2\sqrt{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} + (7-3\sqrt{5})$
利用平方差公式化简根号内乘积：$\sqrt{7^2-(3\sqrt{5})^2}=\sqrt{49-45}=\sqrt{4}=2$
代入得：$7+3\sqrt{5}+7-3\sqrt{5}+2×2=18$
因$\sqrt{7+3\sqrt{5}}＞0$，$\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$，和为正，故原式$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2) 计算$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$：
对整个式子立方，根据$(\frac{a}{b})^3=\frac{a^3}{b^3}$：
$(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}$
计算分母：$(1+\sqrt{5})^3=(1+\sqrt{5})^2×(1+\sqrt{5})=(6+2\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=16+8\sqrt{5}=8(2+\sqrt{5})$
代入得：$\frac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{8}$
因原式分子分母均为正，故原式$=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$。
【答案】(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】二次根式运算、三次根式运算、立方公式
【点评】本题为方法迁移类题目，通过例题思路考察学生对根式运算公式的灵活运用，需注意化简过程中公式的正确使用及结果正负性的判断，难度适中。
【难度系数】0.5
21.(8分)在统计数据时,我们将所有数值由小到大排列并分成四等份,每一部分大约包含25%的数据项,处于三个分割点位置的数从小到大分别记为$Q_1$(下四分位数)、$Q_2$(中位数)、$Q_3$(上四分位数),再将最小值记为$M$,最大值记为$N$。例如:某班共有男生23人,一次数学考试,男生的成绩从小到大排列后,$M=38,Q_1=60,Q_2=76,Q_3=91,N=100$。将这几个数值按如图的方式绘制统计图,由于统计图的形状如箱子,我们把它称为箱线图。该班女生共有23人,本次考试,女生的成绩中,$M=47,Q_1=57,Q_2=70,Q_3=87,N=96$。
(1)请在图中画出该班女生本次考试成绩的箱线图。
(2)请根据箱线图,结合所学的统计知识,评价该班男、女生的成绩。
(1)请在图中画出该班女生本次考试成绩的箱线图。
(2)请根据箱线图,结合所学的统计知识,评价该班男、女生的成绩。
答案
21.解:(1)如图:
(2)说法合理即可,从最高分和最低分的差距看,男生成绩的波动范围较女生成绩的波动范围更大,女生成绩比较稳定;从$Q_1$,$Q_2$,$Q_3$这三个数据看,女生成绩总体略低于男生成绩。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据女生成绩的五个统计量（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值）绘制箱线图，解题思路是先明确各统计量对应的数值，再在图中女生的横轴位置标记对应纵轴点，绘制箱线图的结构；第(2)问评价成绩需从数据的波动程度（极差）和四分位数的整体水平两方面分析，通过对比男女生的极差判断波动大小，对比四分位数判断总体成绩水平。
【解析】
(1) 女生成绩的五个统计量为：最小值$M=47$，下四分位数$Q_1=57$，中位数$Q_2=70$，上四分位数$Q_3=87$，最大值$N=96$。在图中女生对应的横轴位置，分别找到上述五个数值对应的纵轴坐标点，连接最小值与最大值的线段（即箱线图的上下须），绘制$Q_1$到$Q_3$的矩形（箱子），并在矩形中间标记中位数$Q_2$的点，完成女生成绩的箱线图绘制。
(2) ① 波动程度：男生成绩的极差为$100-38=62$，女生成绩的极差为$96-47=49$，男生成绩的极差更大，说明男生成绩的波动范围比女生大，女生成绩更稳定；② 总体水平：男生的下四分位数60、中位数76、上四分位数91均分别高于女生的下四分位数57、中位数70、上四分位数87，说明女生成绩的总体水平略低于男生成绩。
【答案】
(1) 如图:
(2) 男生成绩的波动范围较女生成绩的波动范围更大，女生成绩比较稳定；女生成绩总体略低于男生成绩。
【知识点】
箱线图、数据的波动、四分位数
【点评】
本题考查箱线图的绘制与数据的统计分析，需掌握箱线图各统计量的含义，能通过极差、四分位数对比分析两组数据的特征，属于基础统计应用题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需根据女生成绩的五个统计量（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值）绘制箱线图，解题思路是先明确各统计量对应的数值，再在图中女生的横轴位置标记对应纵轴点，绘制箱线图的结构；第(2)问评价成绩需从数据的波动程度（极差）和四分位数的整体水平两方面分析，通过对比男女生的极差判断波动大小，对比四分位数判断总体成绩水平。
【解析】
(1) 女生成绩的五个统计量为：最小值$M=47$，下四分位数$Q_1=57$，中位数$Q_2=70$，上四分位数$Q_3=87$，最大值$N=96$。在图中女生对应的横轴位置，分别找到上述五个数值对应的纵轴坐标点，连接最小值与最大值的线段（即箱线图的上下须），绘制$Q_1$到$Q_3$的矩形（箱子），并在矩形中间标记中位数$Q_2$的点，完成女生成绩的箱线图绘制。
(2) ① 波动程度：男生成绩的极差为$100-38=62$，女生成绩的极差为$96-47=49$，男生成绩的极差更大，说明男生成绩的波动范围比女生大，女生成绩更稳定；② 总体水平：男生的下四分位数60、中位数76、上四分位数91均分别高于女生的下四分位数57、中位数70、上四分位数87，说明女生成绩的总体水平略低于男生成绩。
【答案】
(1) 如图:
(2) 男生成绩的波动范围较女生成绩的波动范围更大，女生成绩比较稳定；女生成绩总体略低于男生成绩。
【知识点】
箱线图、数据的波动、四分位数
【点评】
本题考查箱线图的绘制与数据的统计分析，需掌握箱线图各统计量的含义，能通过极差、四分位数对比分析两组数据的特征，属于基础统计应用题型。
【难度系数】
0.6
