登录
15.如图是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为 30 米,宽为18米。停车场内车道的宽都相等,停车位总占地面积为 288 平方米,则车道的宽为________米。
答案
15.6
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确停车位的长、宽与停车场尺寸、车道宽度的关系：停车位的总长度为停车场的长减去左侧车道宽度$x$，总宽度为停车场的宽减去中间车道宽度$x$，再结合停车位总面积列出方程，最后根据实际意义筛选合理的解。
【解析】设车道的宽为$x$米。
停车位的总占地面积为长×宽，即$(30 - x)(18 - x)$平方米。
根据题意，停车位总面积为288平方米，列方程：
$(30 - x)(18 - x) = 288$
展开并整理方程：
$x^2 - 48x + 252 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 42) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = 42$
因为车道宽度不能超过停车场的宽度18米，所以$x=42$不符合实际，舍去。
因此，车道的宽为6米。
【答案】6
【知识点】一元二次方程应用、面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在实际面积问题中的应用，关键是找准停车位的长和宽的表达式，需注意解的实际意义，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设车道的宽为$x$米。
停车位的总占地面积为长×宽，即$(30 - x)(18 - x)$平方米。
根据题意，停车位总面积为288平方米，列方程：
$(30 - x)(18 - x) = 288$
展开并整理方程：
$x^2 - 48x + 252 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 42) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = 42$
因为车道宽度不能超过停车场的宽度18米，所以$x=42$不符合实际，舍去。
因此，车道的宽为6米。
【答案】6
【知识点】一元二次方程应用、面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在实际面积问题中的应用，关键是找准停车位的长和宽的表达式，需注意解的实际意义，难度适中。
【难度系数】0.5
16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E,F分别为AB,BC的中点,连结CE,DF,取CE,DF的中点M,N,连结MN,则MN的长为
$\sqrt{5}$
。答案
16.$\sqrt{5}$
解析:如图,连结CN,延长CN交AD于点P,连结EP,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,所以CD=AB=4,AD=BC=8,∠A=90°,因为点E,F分别为AB,BC的中点,所以AE=BE=1/2 AB=2,BF=CF=1/2 BC=4,AD//BC,所以∠DPN=∠FCN,∠PDN=∠CFN,因为点N是DF的中点,所以DN=FN,在△DPN和△FCN中,
$\begin{cases} ∠DPN=∠FCN, \\ ∠PDN=∠CFN, \\ DN=FN, \end{cases}$
所以△DPN≌△FCN(AAS),所以PN=CN,DP=CF=4,所以AP=AD-DP=8-4=4,在Rt△AEP中,由勾股定理,得PE=$\sqrt{AE^2+AP^2}$=$\sqrt{2^2+4^2}$=$2\sqrt{5}$,因为M是CE的中点,PN=CN,所以MN是△CEP的中位线,所以MN=$\frac{1}{2}$EP=$\sqrt{5}$。
解析
【分析】要计算MN的长度，已知M、N分别是CE、DF的中点，考虑利用三角形中位线定理求解，需构造包含MN的三角形。通过连接CN并延长交AD于点P，证明△DPN与△FCN全等，得到PN=CN，进而确定MN是△CEP的中位线，将MN转化为EP的一半，再用勾股定理计算EP即可。
【解析】在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，故CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=90°，且AD//BC。
因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4。
由AD//BC，得∠DPN=∠FCN，∠PDN=∠CFN。
又因为N是DF的中点，所以DN=FN。
在△DPN和△FCN中：
$\begin{cases} ∠DPN=∠FCN \\ ∠PDN=∠CFN \\ DN=FN \end{cases}$
所以△DPN≌△FCN（AAS），因此DP=CF=4，PN=CN。
则AP=AD - DP=8 - 4=4。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE=$\sqrt{AE^2 + AP^2}$=$\sqrt{2^2 + 4^2}$=2$\sqrt{5}$。
因为M是CE的中点，且PN=CN，所以MN是△CEP的中位线，根据三角形中位线定理，MN=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、全等三角形、三角形中位线
【点评】本题通过构造辅助线，利用全等三角形转化线段，结合三角形中位线定理简化计算，关键在于辅助线的构造，考查几何知识的综合应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，故CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=90°，且AD//BC。
因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4。
由AD//BC，得∠DPN=∠FCN，∠PDN=∠CFN。
又因为N是DF的中点，所以DN=FN。
在△DPN和△FCN中：
$\begin{cases} ∠DPN=∠FCN \\ ∠PDN=∠CFN \\ DN=FN \end{cases}$
所以△DPN≌△FCN（AAS），因此DP=CF=4，PN=CN。
则AP=AD - DP=8 - 4=4。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE=$\sqrt{AE^2 + AP^2}$=$\sqrt{2^2 + 4^2}$=2$\sqrt{5}$。
因为M是CE的中点，且PN=CN，所以MN是△CEP的中位线，根据三角形中位线定理，MN=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、全等三角形、三角形中位线
【点评】本题通过构造辅助线，利用全等三角形转化线段，结合三角形中位线定理简化计算，关键在于辅助线的构造，考查几何知识的综合应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{8}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{4}×\sqrt{5}-\sqrt{20}$。
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{8}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{5}}+\sqrt{4}×\sqrt{5}-\sqrt{20}$。
答案
17.解:(1)原式=$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
(2)原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2)原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】本题考查二次根式的运算，解题思路是：先将各二次根式化为最简二次根式，再按照“先乘除、后加减”的运算顺序计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】(1) 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，则原式=$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(2) 分别化简各项：$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{4}×\sqrt{5}=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，则原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】17.解:(1)原式=$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；(2)原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【知识点】二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题，考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，运算时需注意运算顺序，细心计算即可，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，则原式=$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(2) 分别化简各项：$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{4}×\sqrt{5}=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，则原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】17.解:(1)原式=$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；(2)原式=$\frac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【知识点】二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题，考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，运算时需注意运算顺序，细心计算即可，难度适中。
【难度系数】0.7
18.(8分)解方程:
(1)$2x^2 + 4x = 0$。
(2)$x^2 - 3x + 2 = 0$。
(1)$2x^2 + 4x = 0$。
(2)$x^2 - 3x + 2 = 0$。
答案
18.解:(1)$2x(x+2)=0$,$2x=0$ 或 $x+2=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$。
(2)方法一:$a=1$,$b=-3$,$c=2$,$x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$,$x_1=1$,$x_2=2$。
方法二:$(x-1)(x-2)=0$,$x-1=0$ 或 $x-2=0$,$x_1=1$,$x_2=2$。
(2)方法一:$a=1$,$b=-3$,$c=2$,$x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$,$x_1=1$,$x_2=2$。
方法二:$(x-1)(x-2)=0$,$x-1=0$ 或 $x-2=0$,$x_1=1$,$x_2=2$。
解析
【分析】解一元二次方程时，先观察方程结构，优先尝试因式分解法简化计算，若无法因式分解则用公式法。第(1)题方程左边含公因式，可提取公因式分解；第(2)题的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，也可用公式法求解，两种方法均能得到正确结果。
【解析】(1) 对原方程左边提取公因式：
$2x^2 + 4x = 0$
$2x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，得：
$2x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$
(2) 方法一（因式分解法）：
对原方程左边十字相乘分解：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
得：$x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 2$
方法二（公式法）：
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-3$，$c=2$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×2 = 1$，则：
$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 ± 1}{2}$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 1$
【答案】(1)$x_1=0$，$x_2=-2$；(2)$x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】本题为基础的一元二次方程求解题目，考查因式分解法和公式法的应用，难度较低，适合巩固一元二次方程的基本解法，学生通过基础训练即可掌握。
【难度系数】0.8
【解析】(1) 对原方程左边提取公因式：
$2x^2 + 4x = 0$
$2x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，得：
$2x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$
(2) 方法一（因式分解法）：
对原方程左边十字相乘分解：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
得：$x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 2$
方法二（公式法）：
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-3$，$c=2$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×2 = 1$，则：
$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 ± 1}{2}$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 1$
【答案】(1)$x_1=0$，$x_2=-2$；(2)$x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】本题为基础的一元二次方程求解题目，考查因式分解法和公式法的应用，难度较低，适合巩固一元二次方程的基本解法，学生通过基础训练即可掌握。
【难度系数】0.8
19.(8分)在下面的正方形网格中,按要求用无刻度的直尺作图,且所作图形的顶点均在格点上。
(1)在图1中,作一个以AB为对角线的矩形。
(2)在图2中,作一个以AB为边,且面积为15的平行四边形。
(1)在图1中,作一个以AB为对角线的矩形。
(2)在图2中,作一个以AB为边,且面积为15的平行四边形。
答案
19.解:(1)如图1,四边形ACBD是矩形。(画法不唯一)
(2)如图2,$□ ABC_1D_1$ 或 $□ ABC_2D_2$ 均符合要求(画出其中一个即可)。
解析
【分析】
(1) 要作以AB为对角线的矩形，需利用矩形“四个角为直角”的性质，结合网格格点，寻找能使相邻边垂直的格点，连接后形成以AB为对角线的矩形，保证顶点都在格点上。
(2) 要作以AB为边、面积为15的平行四边形，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，结合网格特点，选择底为3、高为5（3×5=15），在网格中找到对应格点，连接后形成满足面积要求的平行四边形。
【解析】
(1) 在图1中，取格点C、D，连接AC、CB、BD、DA，使AC⊥BC、AD⊥BD，此时四边形ACBD的对角线为AB，且四个角均为直角，故四边形ACBD是符合要求的矩形（画法不唯一）。
(2) 在图2中，根据平行四边形面积公式，需面积为15，选择底长为3、高为5，在网格中找到格点C₁、D₁，连接AB、BC₁、C₁D₁、D₁A，得到平行四边形ABC₁D₁，其面积为3×5=15，符合要求；同理，也可画出□ABC₂D₂，均满足条件。
【答案】
(1) 如图1，四边形ACBD是矩形；(2) 如图2，□ABC₁D₁（或□ABC₂D₂）符合要求。
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的面积，网格作图
【点评】
本题考查网格中的几何作图，需结合矩形、平行四边形的性质，利用网格格点特点完成作图，重点考查几何性质的应用能力，作图方法不唯一，具有一定灵活性。
【难度系数】
0.5
(1) 要作以AB为对角线的矩形，需利用矩形“四个角为直角”的性质，结合网格格点，寻找能使相邻边垂直的格点，连接后形成以AB为对角线的矩形，保证顶点都在格点上。
(2) 要作以AB为边、面积为15的平行四边形，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，结合网格特点，选择底为3、高为5（3×5=15），在网格中找到对应格点，连接后形成满足面积要求的平行四边形。
【解析】
(1) 在图1中，取格点C、D，连接AC、CB、BD、DA，使AC⊥BC、AD⊥BD，此时四边形ACBD的对角线为AB，且四个角均为直角，故四边形ACBD是符合要求的矩形（画法不唯一）。
(2) 在图2中，根据平行四边形面积公式，需面积为15，选择底长为3、高为5，在网格中找到格点C₁、D₁，连接AB、BC₁、C₁D₁、D₁A，得到平行四边形ABC₁D₁，其面积为3×5=15，符合要求；同理，也可画出□ABC₂D₂，均满足条件。
【答案】
(1) 如图1，四边形ACBD是矩形；(2) 如图2，□ABC₁D₁（或□ABC₂D₂）符合要求。
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的面积，网格作图
【点评】
本题考查网格中的几何作图，需结合矩形、平行四边形的性质，利用网格格点特点完成作图，重点考查几何性质的应用能力，作图方法不唯一，具有一定灵活性。
【难度系数】
0.5
