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22.(10分)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(不与点B,D重合),过点G作$GE// BC,GF// DC$,分别交DC,BC于点E,F。
(1)求证:四边形GECF是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求AG的长。
(1)求证:四边形GECF是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求AG的长。
答案
22.(1)证明:因为$GE// BC$,$GF// CD$,所以四边形GECF是平行四边形。因为在正方形ABCD中,$∠C=90°$,所以$□ GECF$是矩形。
(2)解:方法1,如图1,连结GC。由(1)知四边形GECF是矩形,所以△GFC是直角三角形。因为$BC=AB=7$,$CF=3$,所以$BF=4$。因为在正方形ABCD中BD为对角线,所以$∠ADG=∠CDG=45°$,所以$∠BGF=45°$,又因为$∠GFB=90°$,所以△BFG是等腰直角三角形,所以$GF=BF=4$。在Rt△GFC中,$GC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。在△AGD和△CGD中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADG=∠CDG=45°, \\ DG=DG, \end{cases}$所以△AGD≌△CGD(SAS)。所以$AG=GC=5$。
方法2,如图2,延长FG交AD于点H。在正方形ABCD中,$∠ADC=90°$,$∠DBC=45°$,因为$FH// CD$,$GE// BC// HD$,所以四边形DHGE是矩形。因为$GE// BC$,所以$∠DGE=∠DBC=45°$,所以△DGE是等腰直角三角形。所以$DE=GE=FC=3$,所以矩形DHGE是正方形。所以$HG=3$,$AH=BF=4$,所以在Rt△AHG中,$AG=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
解析
【分析】
第(1)问：要证明四边形GECF是矩形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由已知的$GE//BC$、$GF//DC$证得它是平行四边形，再结合正方形的内角为$90°$，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明。
第(2)问：求AG的长度，有两种思路：一是连接GC，利用正方形对角线平分内角的性质，证明$△ AGD$和$△ CGD$全等，得到$AG=GC$，再在直角三角形中用勾股定理计算GC；二是延长FG交AD于H，构造矩形DHGE，再由角度关系得到它是正方形，最后用勾股定理计算AG。
【解析】
(1) 证明：
$\because GE// BC$，$GF// DC$，
$\therefore$ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠ C=90°$，
$\therefore$ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
方法1：连接GC，如图1。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$AB=7$，
$\therefore BC=AB=7$，$∠ ADG=∠ CDG=45°$，$AD=CD=7$。
$\because CF=3$，
$\therefore BF=BC - CF=7 - 3=4$。
$\because$ 四边形GECF是矩形，
$\therefore ∠ GFC=90°$，$GF=EC$，$GE=CF=3$，
又$\because BD$是正方形对角线，$∠ DBC=45°$，$GF⊥ BC$，
$\therefore △ BFG$是等腰直角三角形，
$\therefore GF=BF=4$。
在$Rt△ GFC$中，由勾股定理得：
$GC=\sqrt{CF^2 + GF^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
在$△ AGD$和$△ CGD$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ ADG=∠ CDG \\ DG=DG \end{cases}$
$\therefore △ AGD≌△ CGD$（SAS），
$\therefore AG=GC=5$。
方法2：延长FG交AD于点H，如图2。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AD// BC$，$DC// AB$，$∠ ADC=90°$，$∠ DBC=45°$，
$\because GE// BC$，$GF// DC$，
$\therefore FH// DC$，$GE// HD$，
$\therefore$ 四边形DHGE是矩形。
$\because GE// BC$，$\therefore ∠ DGE=∠ DBC=45°$，
$\therefore △ DGE$是等腰直角三角形，
$\therefore DE=GE$，
又$\because GE=CF=3$，$\therefore DE=GE=3$，
$\therefore$ 矩形DHGE中，$DH=GE=3$，$HG=DE=3$，
$\therefore AH=AD - DH=7 - 3=4$。
在$Rt△ AHG$中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AH^2 + HG^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
【答案】
22.(1)证明：因为$GE// BC$，$GF// CD$，所以四边形GECF是平行四边形。因为在正方形ABCD中，$∠C=90°$，所以$□ GECF$是矩形。(2)解：方法1，如图1，连结GC。由(1)知四边形GECF是矩形，所以△GFC是直角三角形。因为$BC=AB=7$，$CF=3$，所以$BF=4$。因为在正方形ABCD中BD为对角线，所以$∠ADG=∠CDG=45°$，所以$∠BGF=45°$，又因为$∠GFB=90°$，所以△BFG是等腰直角三角形，所以$GF=BF=4$。在Rt△GFC中，$GC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。在△AGD和△CGD中，$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADG=∠CDG=45°, \\ DG=DG, \end{cases}$所以△AGD≌△CGD(SAS)。所以$AG=GC=5$。方法2，如图2，延长FG交AD于点H。在正方形ABCD中，$∠ADC=90°$，$∠DBC=45°$，因为$FH// CD$，$GE// BC// HD$，所以四边形DHGE是矩形。因为$GE// BC$，所以$∠DGE=∠DBC=45°$，所以△DGE是等腰直角三角形。所以$DE=GE=FC=3$，所以矩形DHGE是正方形。所以$HG=3$，$AH=BF=4$，所以在Rt△AHG中，$AG=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【知识点】
矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是正方形的综合题，主要考查矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理的应用，解题关键是利用正方形的特殊性质构造全等三角形或特殊直角三角形，题型常规，难度适中，能较好考查学生对几何定理的掌握情况。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证明四边形GECF是矩形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由已知的$GE//BC$、$GF//DC$证得它是平行四边形，再结合正方形的内角为$90°$，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明。
第(2)问：求AG的长度，有两种思路：一是连接GC，利用正方形对角线平分内角的性质，证明$△ AGD$和$△ CGD$全等，得到$AG=GC$，再在直角三角形中用勾股定理计算GC；二是延长FG交AD于H，构造矩形DHGE，再由角度关系得到它是正方形，最后用勾股定理计算AG。
【解析】
(1) 证明：
$\because GE// BC$，$GF// DC$，
$\therefore$ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠ C=90°$，
$\therefore$ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
方法1：连接GC，如图1。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$AB=7$，
$\therefore BC=AB=7$，$∠ ADG=∠ CDG=45°$，$AD=CD=7$。
$\because CF=3$，
$\therefore BF=BC - CF=7 - 3=4$。
$\because$ 四边形GECF是矩形，
$\therefore ∠ GFC=90°$，$GF=EC$，$GE=CF=3$，
又$\because BD$是正方形对角线，$∠ DBC=45°$，$GF⊥ BC$，
$\therefore △ BFG$是等腰直角三角形，
$\therefore GF=BF=4$。
在$Rt△ GFC$中，由勾股定理得：
$GC=\sqrt{CF^2 + GF^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
在$△ AGD$和$△ CGD$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ ADG=∠ CDG \\ DG=DG \end{cases}$
$\therefore △ AGD≌△ CGD$（SAS），
$\therefore AG=GC=5$。
方法2：延长FG交AD于点H，如图2。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AD// BC$，$DC// AB$，$∠ ADC=90°$，$∠ DBC=45°$，
$\because GE// BC$，$GF// DC$，
$\therefore FH// DC$，$GE// HD$，
$\therefore$ 四边形DHGE是矩形。
$\because GE// BC$，$\therefore ∠ DGE=∠ DBC=45°$，
$\therefore △ DGE$是等腰直角三角形，
$\therefore DE=GE$，
又$\because GE=CF=3$，$\therefore DE=GE=3$，
$\therefore$ 矩形DHGE中，$DH=GE=3$，$HG=DE=3$，
$\therefore AH=AD - DH=7 - 3=4$。
在$Rt△ AHG$中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AH^2 + HG^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
【答案】
22.(1)证明：因为$GE// BC$，$GF// CD$，所以四边形GECF是平行四边形。因为在正方形ABCD中，$∠C=90°$，所以$□ GECF$是矩形。(2)解：方法1，如图1，连结GC。由(1)知四边形GECF是矩形，所以△GFC是直角三角形。因为$BC=AB=7$，$CF=3$，所以$BF=4$。因为在正方形ABCD中BD为对角线，所以$∠ADG=∠CDG=45°$，所以$∠BGF=45°$，又因为$∠GFB=90°$，所以△BFG是等腰直角三角形，所以$GF=BF=4$。在Rt△GFC中，$GC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。在△AGD和△CGD中，$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ADG=∠CDG=45°, \\ DG=DG, \end{cases}$所以△AGD≌△CGD(SAS)。所以$AG=GC=5$。方法2，如图2，延长FG交AD于点H。在正方形ABCD中，$∠ADC=90°$，$∠DBC=45°$，因为$FH// CD$，$GE// BC// HD$，所以四边形DHGE是矩形。因为$GE// BC$，所以$∠DGE=∠DBC=45°$，所以△DGE是等腰直角三角形。所以$DE=GE=FC=3$，所以矩形DHGE是正方形。所以$HG=3$，$AH=BF=4$，所以在Rt△AHG中，$AG=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【知识点】
矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是正方形的综合题，主要考查矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理的应用，解题关键是利用正方形的特殊性质构造全等三角形或特殊直角三角形，题型常规，难度适中，能较好考查学生对几何定理的掌握情况。
【难度系数】
0.5
23.(10分)某农户的西瓜除了销售到县城,消费者还可以直接去农田采摘。该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克,其中在县城销售了200千克,单价为8元/千克,剩余部分在农田采摘销售,单价为6元/千克。
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入。
(2)为扩大销售,该农户准备在县城适当降价,据测算,在县城销售的西瓜单价每降价1元,平均每天可多售出60千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变,若要使该农户一天的销售总收入为4 300元,则在县城销售的单价应降价多少元?
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入。
(2)为扩大销售,该农户准备在县城适当降价,据测算,在县城销售的西瓜单价每降价1元,平均每天可多售出60千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变,若要使该农户一天的销售总收入为4 300元,则在县城销售的单价应降价多少元?
答案
23.解:(1)$200×8+(600-200)×6=4000$(元) 答:该农户这一天销售的总收入为4000元。
(2)设在县城销售的单价降价x元,则由题意,得$(8-x)(200+60x)+400×6=4300$,$1600+480x-200x-60x^2+2400=4300$,$3x^2-14x+15=0$,$(x-3)(3x-5)=0$,解得$x_1=3$或$x_2=\frac{5}{3}$。当$x_1=3$时,销售量为$200+60×3=380(kg)$;当$x_2=\frac{5}{3}$时,销售量为$200+60×\frac{5}{3}=300(kg)$,$380＞300$,因为要扩大销售,故$x=3$。答:在县城内销售单价应该降价3元。
(2)设在县城销售的单价降价x元,则由题意,得$(8-x)(200+60x)+400×6=4300$,$1600+480x-200x-60x^2+2400=4300$,$3x^2-14x+15=0$,$(x-3)(3x-5)=0$,解得$x_1=3$或$x_2=\frac{5}{3}$。当$x_1=3$时,销售量为$200+60×3=380(kg)$;当$x_2=\frac{5}{3}$时,销售量为$200+60×\frac{5}{3}=300(kg)$,$380＞300$,因为要扩大销售,故$x=3$。答:在县城内销售单价应该降价3元。
解析
【分析】
第(1)问：总收入由县城销售西瓜的收入和农田采摘销售西瓜的收入两部分组成，分别计算两部分收入后求和即可得到结果。
第(2)问：设县城销售单价降价$x$元，先表示出降价后县城的销售单价和销售量，农田部分的单价与销售量保持不变，根据“一天销售总收入为4300元”的等量关系列出一元二次方程，解方程后结合题目“扩大销售”的要求，选择符合条件的降价金额。
【解析】
(1) 县城销售西瓜的收入：$200×8 = 1600$（元）
农田采摘销售西瓜的重量：$600 - 200 = 400$（千克），收入：$400×6 = 2400$（元）
总收入：$1600 + 2400 = 4000$（元）
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元，则降价后县城的销售单价为$(8 - x)$元，县城的销售量为$(200 + 60x)$千克，农田部分收入仍为2400元。
根据总收入为4300元，列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 2400 = 4300$
展开并整理：
$1600 + 480x - 200x - 60x² + 2400 = 4300$
$-60x² + 280x + 4000 = 4300$
移项化简得：$3x² - 14x + 15 = 0$
因式分解：$(x - 3)(3x - 5) = 0$
解得：$x₁ = 3$，$x₂ = \frac{5}{3}$
当$x = 3$时，县城销售量：$200 + 60×3 = 380$（千克）
当$x = \frac{5}{3}$时，县城销售量：$200 + 60×\frac{5}{3} = 300$（千克）
因为要扩大销售，$380 ＞ 300$，所以选择$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；
(2) 在县城销售的单价应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用、有理数混合运算
【点评】
本题是实际生活中的销售问题，第(1)问考查基础收入计算，难度较低；第(2)问需建立一元二次方程，关键是正确表示降价后的单价与销售量，且要结合“扩大销售”的条件取舍解，是初中数学常考的应用题型，注重学生的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：总收入由县城销售西瓜的收入和农田采摘销售西瓜的收入两部分组成，分别计算两部分收入后求和即可得到结果。
第(2)问：设县城销售单价降价$x$元，先表示出降价后县城的销售单价和销售量，农田部分的单价与销售量保持不变，根据“一天销售总收入为4300元”的等量关系列出一元二次方程，解方程后结合题目“扩大销售”的要求，选择符合条件的降价金额。
【解析】
(1) 县城销售西瓜的收入：$200×8 = 1600$（元）
农田采摘销售西瓜的重量：$600 - 200 = 400$（千克），收入：$400×6 = 2400$（元）
总收入：$1600 + 2400 = 4000$（元）
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元，则降价后县城的销售单价为$(8 - x)$元，县城的销售量为$(200 + 60x)$千克，农田部分收入仍为2400元。
根据总收入为4300元，列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 2400 = 4300$
展开并整理：
$1600 + 480x - 200x - 60x² + 2400 = 4300$
$-60x² + 280x + 4000 = 4300$
移项化简得：$3x² - 14x + 15 = 0$
因式分解：$(x - 3)(3x - 5) = 0$
解得：$x₁ = 3$，$x₂ = \frac{5}{3}$
当$x = 3$时，县城销售量：$200 + 60×3 = 380$（千克）
当$x = \frac{5}{3}$时，县城销售量：$200 + 60×\frac{5}{3} = 300$（千克）
因为要扩大销售，$380 ＞ 300$，所以选择$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；
(2) 在县城销售的单价应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用、有理数混合运算
【点评】
本题是实际生活中的销售问题，第(1)问考查基础收入计算，难度较低；第(2)问需建立一元二次方程，关键是正确表示降价后的单价与销售量，且要结合“扩大销售”的条件取舍解，是初中数学常考的应用题型，注重学生的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
