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1 [2025 江苏无锡期中] $\sqrt{3}, \frac{1}{3}, \frac{π}{5}, \sqrt[3]{64}, -\frac{22}{7}, 0.\dot{3}\dot{2}$ 中，无理数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B 【解析】$\sqrt{3}, \frac{π}{5}$是无理数,共有 2 个,故选 B.
2[2025广东佛山期中]下列说法正确的是
(
A.无限小数都是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.$\sqrt{5}-1$是有理数
D.无理数是无限不循环小数
(
D
)A.无限小数都是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.$\sqrt{5}-1$是有理数
D.无理数是无限不循环小数
答案
2. D 【解析】无限循环小数是有理数,故 A 错误;如$\sqrt{4} = 2$ 是有理数,故 B 错误;$\sqrt{5}$ 是无限不循环小数,$\sqrt{5}-1$ 仍是无限不循环小数,即无理数,故 C 错误;无理数是无限不循环小数,故 D 正确.故选 D.
3 在$5,0,\sqrt{8},\sqrt{3}$中,最大的无理数是 （
A.$\sqrt{3}$
B.0
C.$\sqrt{8}$
D.5
C
）A.$\sqrt{3}$
B.0
C.$\sqrt{8}$
D.5
答案
3. C 【解析】在 $5,0,\sqrt{8},\sqrt{3}$ 中,无理数有$\sqrt{8}$和$\sqrt{3}.\because 8＞3,\therefore \sqrt{8}＞\sqrt{3},\therefore$ 最大的无理数是$\sqrt{8}$,故选 C.
4[2025天津和平区一模]估计$\sqrt[3]{99}$的值在（
A.4和5之间
B.5和6之间
C.7和8之间
D.9和10之间
A
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.7和8之间
D.9和10之间
答案
4. A 【解析】$\because 4^3 = 64,5^3 = 125,64＜99＜125$,$\therefore 4＜\sqrt[3]{99}＜5$,$\therefore \sqrt[3]{99}$的值在 4 和 5 之间,故选 A.
5[2025江苏南京调研]下列整数中，与$7-\sqrt{17}$最接近的是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5. B 【解析】$\because 16＜17＜25,\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即 $4＜\sqrt{17}＜5. \because 4.5^2 = 20. 25, \therefore - 4. 5＜ -\sqrt{17}＜-4,\therefore 7-4. 5＜7-\sqrt{17}＜7-4,\therefore 2. 5＜7-\sqrt{17}＜3,\therefore$ 与 $7-\sqrt{17}$ 最接近的整数为 3,故选 B.
6若$a=-\sqrt{3^2},b=-|-\sqrt{2}|,c=-\sqrt[3]{(-2)^3}$，则$a,b,c$的大小关系是 （
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$
D
）A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞b＞a$
答案
6. D 【解析】$a=-\sqrt{3^2}=-3,b=-|-\sqrt{2}|=-\sqrt{2}$,$c=-\sqrt[3]{(-2)^3}=-(-2)=2,\therefore c＞b＞a$. 故选 D.
7 比较下列各组数的大小:(填“＞”“＜”或“=”)
$\sqrt{50}$
$\sqrt{50}$
＜
$7\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$ ＜
$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$答案
7. ＜ ＜ 【解析】$\because (7 \frac{1}{2} )^2 = 56. 25$, 且 $50＜ 56. 25,\therefore \sqrt{50}＜7 \frac{1}{2}. \because 1＜\sqrt{3}＜2,\therefore 2＜1+\sqrt{3}＜3,\therefore \frac{1}{2}＜\frac{1+\sqrt{3}}{4}＜\frac{3}{4}$.
8[2026江苏南通期末]写出一个比-5小的无理数：
(答案不唯一)$-\sqrt{26}$
；写出一个比$\sqrt{7}$大的有理数：3
。答案
8. (答案不唯一) $-\sqrt{26}$ 3 【解析】$\because -5 = -\sqrt{25}＞-\sqrt{26},\sqrt{7}＜\sqrt{9}=3,\therefore$ 比$-5$ 小的无理数是$-\sqrt{26}$,比$\sqrt{7}$大的有理数是 3.
9[2025安徽六安质检]一个正方形的面积S的取值范围是$10≤ S≤20$，且边长为整数x，则x的值为
4
。答案
9. 4 【解析】依题意,得 $\sqrt{10}＜x＜\sqrt{20}$. 又$\because 3＜\sqrt{10}＜x＜\sqrt{20}＜5,\therefore$ 整数 $x=4$. 故答案为 4.
10[2026江苏苏州期末]下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？
(1)$\sqrt{91}$；
(2)$\sqrt[3]{91}$。
(1)$\sqrt{91}$；
(2)$\sqrt[3]{91}$。
答案
10. 【解】(1) $\because 81＜90. 25＜91＜100,\therefore 9＜9. 5＜\sqrt{91}＜10, \therefore \sqrt{91}$位于9和10之间,与10更接近.
(2) $\because 64＜91＜91. 125＜125,\therefore 4＜\sqrt[3]{91}＜4. 5＜5,\therefore \sqrt[3]{91}$位于4和5之间,与4更接近.
(2) $\because 64＜91＜91. 125＜125,\therefore 4＜\sqrt[3]{91}＜4. 5＜5,\therefore \sqrt[3]{91}$位于4和5之间,与4更接近.
11 阅读下列内容,完成问题:
因为$1＜2＜4$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{2}-1$.
解决问题:$\sqrt{13}$的整数部分是
【拓展一】若$9+\sqrt{13}$和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是$a$和$b$,则$a=$
【拓展二】先阅读,再回答问题:
因为$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$,且$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1.
因为$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$,且$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2.
因为$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$,且$3＜\sqrt{12}＜4$,所以$\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3.
以此类推,我们会发现$\sqrt{n^2+n}$（$n$为正整数）的整数部分为
因为$1＜2＜4$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{2}-1$.
解决问题:$\sqrt{13}$的整数部分是
3
,小数部分是$\sqrt{13}-3$
.【拓展一】若$9+\sqrt{13}$和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是$a$和$b$,则$a=$
$\sqrt{13}-3$
,$b=$$4-\sqrt{13}$
.【拓展二】先阅读,再回答问题:
因为$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$,且$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1.
因为$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$,且$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2.
因为$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$,且$3＜\sqrt{12}＜4$,所以$\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3.
以此类推,我们会发现$\sqrt{n^2+n}$（$n$为正整数）的整数部分为
$n$
,请简要说明理由.答案
11. 【解】因为 $9＜13＜16$, 所以 $3＜\sqrt{13}＜4$, 所以$\sqrt{13}$的整数部分是 3,小数部分是 $\sqrt{13}-3$.
故答案为 3,$\sqrt{13}-3$.
【拓展一】
因为 $9+\sqrt{13}$ 和 $9-\sqrt{13}$ 的小数部分分别是 $a$ 和 $b$,所以 $a=9+\sqrt{13}-9-3=\sqrt{13}-3,b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$. 故答案为 $\sqrt{13}-3,4-\sqrt{13}$.
【拓展二】
$\sqrt{n^2+n}$($n$ 为正整数) 的整数部分是 $n$. 理由如下: 因为 $\sqrt{n^2+n} = \sqrt{n(n+1)}$, 而 $\sqrt{n^2} ＜ \sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2}$,$n$ 为正整数, 所以 $n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$, 所以 $\sqrt{n^2+n}$ 的整数部分是 $n$.
故答案为 $n$.
故答案为 3,$\sqrt{13}-3$.
【拓展一】
因为 $9+\sqrt{13}$ 和 $9-\sqrt{13}$ 的小数部分分别是 $a$ 和 $b$,所以 $a=9+\sqrt{13}-9-3=\sqrt{13}-3,b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$. 故答案为 $\sqrt{13}-3,4-\sqrt{13}$.
【拓展二】
$\sqrt{n^2+n}$($n$ 为正整数) 的整数部分是 $n$. 理由如下: 因为 $\sqrt{n^2+n} = \sqrt{n(n+1)}$, 而 $\sqrt{n^2} ＜ \sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2}$,$n$ 为正整数, 所以 $n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$, 所以 $\sqrt{n^2+n}$ 的整数部分是 $n$.
故答案为 $n$.
