1[中]一个整数的立方根是$m$，则与之相邻且比它大1的整数的立方根是 （）

A.$\sqrt[3]{m+1}$
B.$\sqrt[3]{m^3 +1}$
C.$\sqrt[3]{m}+1$
D.$m+1$

B 【解析】$\because$ 一个整数的立方根是$m$,$\therefore$ 这个整数为$m^3$,$\therefore$ 与$m^3$相邻且比它大1的整数为$m^3+1$,其立方根为$\sqrt[3]{m^3+1}$. 故选B.

2[中]一般地,如果$x^n=a$,那么x叫作a的n次方根,其中$n＞1$,且n是正整数.例如:因为$(\pm3)^4=81$,所以$\pm3$叫作81的四次方根,记作$\pm\sqrt[4]{81}=\pm3$;因为$(-2)^5=-32$,所以-2叫作-32的五次方根,记作$\sqrt[5]{-32}=-2$,下列说法不正确的是 ()

A.负数a没有偶数次方根
B.任何有理数a都有奇数次方根
C.$\sqrt[2023]{a^{2023}}=a$
D.$\sqrt[2024]{a^{2024}}=a$

D 【解析】$\because$ 任何有理数的偶数次幂都是非负数,$\therefore$ 负数$a$没有偶数次方根,A选项正确. 任何有理数$a$都有奇数次方根,B选项正确.$\sqrt[2023]{a^{2023}}=a$,C选项正确.$\sqrt[2024]{a^{2024}}=|a|$,D选项不正确. 故选D.

3[2026江苏南京质检,中]一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半,那么这个数是.

0或64 【解析】设这个数是$x$,则$\sqrt[3]{x}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}$. 两边同时6次方,得$x^2=\dfrac{x^3}{64}$,观察易知当$x=0$时满足方程. 当$x≠0$时,$x^2≠0$,将方程$x^2=\dfrac{x^3}{64}$两边同时除以$x^2$得$1=\dfrac{x}{64}$,解得$x=64$. 故答案为0或64.

4[2025河北保定调研,中]观察下表,并解答下列问题.

【规律总结】
(1)根据上表,可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律:若被开方数的小数点向右(或向左)移动三位,则它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动位.
【规律应用】
(2)已知$\sqrt[3]{0.3}\approx0.669\ 4,\sqrt[3]{3}\approx1.442,\sqrt[3]{30}\approx3.107.$
①填空:$\sqrt[3]{300}\approx$.
②用铁皮制作一个封闭的正方体,使它的体积为3 000立方米,则需要多大面积的铁皮?(连接处忽略不计,参考数据:$0.669\ 4^2\approx0.45,1.442^2\approx2.08,3.107^2\approx9.65$)
刷素养 → 走向重高

(1)一
(2)①$\because \sqrt[3]{0.3}\approx0.669\ 4,\therefore \sqrt[3]{300}\approx6.694$. 故答案为6.694.
②$\because$ 正方体的体积为3 000立方米,$\therefore$ 正方体的棱长为$\sqrt[3]{3\ 000}\approx14.42$(米),$\therefore$ 需要铁皮的面积为$6×14.42^2=6×(1.442×10)^2\approx6×2.08×10^2=1\ 248$(平方米).

5 核心素养 推理能力[较难]小明在学完立方根后研究了如下问题:如何求出-50 653 的立方根?他进行了如下步骤:
①估算:因为$10^3=1000,100^3=1000000$,所以$\sqrt[3]{50653}$是两位数;
②观察:因为$1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$,所以猜想$\sqrt[3]{50653}$的个位数字是7;
③将50 653缩小为原来的$\frac{1}{1000}$后约为50.因为$3^3=27,4^3=64$,所以$\sqrt[3]{50653}$的十位数字应为3,于是猜想$\sqrt[3]{50653}=37$,经验证50 653的立方根是37;
④依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50653}=-37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数;反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列各题.
(1)$\sqrt[3]{-117649}=$;
(2)若$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$,则$x=$;
(3)已知$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,且$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,求$x,y$的值.

(1)-49 【解析】$\because 10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,$\therefore \sqrt[3]{117\ 649}$是两位数. $\because 1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$,$\therefore \sqrt[3]{117\ 649}$的个位数字是9. 将117 649缩小为原来的$\dfrac{1}{1\ 000}$后约为117.$\because 4^3=64,5^3=125$,$\therefore \sqrt[3]{117\ 649}$的十位数字应为4,$\therefore 117\ 649$的立方根是49. $\because$ 若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数,$\therefore \sqrt[3]{-117\ 649}=-49$.
(2)3 【解析】$\because \sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0,\therefore 1-2x=-5$,解得$x=3$.
(3)【解】$\because \sqrt[3]{x-2}+2=x,\therefore \sqrt[3]{x-2}=x-2$,$\therefore x-2=0$或$x-2=-1$或$x-2=1$,解得$x=2$或1或3.
$\because \sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,$\therefore 3y-1=2x-1$,$\therefore$ 当$x=2$时,$3y-1=3$,解得$y=\dfrac{4}{3}$;当$x=1$时,$3y-1=1$,解得$y=\dfrac{2}{3}$;当$x=3$时,$3y-1=5$,解得$y=2$.