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1. 一个矩形的宽是长的一半，对角线长为$\sqrt{5}$，那么矩形的长等于 （
A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.1
D.2
D
）A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.1
D.2
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质分析：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的长、宽、对角线可构成直角三角形，满足勾股定理。已知宽是长的一半、对角线长度，我们可以通过设未知数表示长和宽，再代入勾股定理列方程求解，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设矩形的长为$x$，由宽是长的一半可知，宽为$\frac{1}{2}x$。
根据矩形内角为直角，长、宽、对角线构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = (\sqrt{5})^2$
整理方程：
$x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 5$
$\frac{5}{4}x^2 = 5$
$x^2 = 4$
解得$x=2$或$x=-2$，因为矩形边长为正数，故舍去$x=-2$，即矩形的长为2。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、列方程解应用题
【点评】
本题是基础几何题型，核心是利用矩形的直角特征结合勾股定理建立等量关系，通过设未知数列方程即可快速求解，主要考察学生对基础几何性质的掌握和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合矩形的性质分析：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的长、宽、对角线可构成直角三角形，满足勾股定理。已知宽是长的一半、对角线长度，我们可以通过设未知数表示长和宽，再代入勾股定理列方程求解，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设矩形的长为$x$，由宽是长的一半可知，宽为$\frac{1}{2}x$。
根据矩形内角为直角，长、宽、对角线构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = (\sqrt{5})^2$
整理方程：
$x^2 + \frac{1}{4}x^2 = 5$
$\frac{5}{4}x^2 = 5$
$x^2 = 4$
解得$x=2$或$x=-2$，因为矩形边长为正数，故舍去$x=-2$，即矩形的长为2。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、列方程解应用题
【点评】
本题是基础几何题型，核心是利用矩形的直角特征结合勾股定理建立等量关系，通过设未知数列方程即可快速求解，主要考察学生对基础几何性质的掌握和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 已知菱形的周长等于它的高的8倍，则它的两个互补的角是（
A.$30°$和$150°$
B.$45°$和$135°$
C.$60°$和$120°$
D.$15°$和$165°$
A
）A.$30°$和$150°$
B.$45°$和$135°$
C.$60°$和$120°$
D.$15°$和$165°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从菱形的基本性质入手：首先回忆菱形四条边长度相等的特点，可得到周长和边长的关系；再结合题干“周长等于高的8倍”的条件，推导边长和高的数量关系；最后通过菱形的高构造直角三角形，利用直角三角形的特殊边角性质求出内角，再结合邻角互补的特点得到两个互补角的度数。
【解析】
设菱形的边长为$a$，高为$h$。
1. 因为菱形的四条边长度相等，所以菱形周长为$4a$，根据题意周长是高的8倍，可得等式：$4a=8h$，化简得$a=2h$，即高是边长的一半。
2. 过菱形的一个顶点向对边作高，可得到一个直角三角形：该直角三角形的斜边为菱形的边长$a$，一条直角边为高$h$，高所对的锐角就是菱形的一个内角。
3. 根据直角三角形的性质：如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为$30°$，因此菱形的一个内角是$30°$。
4. 菱形的邻角互补，所以和$30°$互补的角为$180°-30°=150°$，即两个互补的角为$30°$和$150°$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的性质、补角的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是将菱形的周长、高和边长的关系转化为直角三角形的边角关系求解，掌握特殊图形的基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的基本性质入手：首先回忆菱形四条边长度相等的特点，可得到周长和边长的关系；再结合题干“周长等于高的8倍”的条件，推导边长和高的数量关系；最后通过菱形的高构造直角三角形，利用直角三角形的特殊边角性质求出内角，再结合邻角互补的特点得到两个互补角的度数。
【解析】
设菱形的边长为$a$，高为$h$。
1. 因为菱形的四条边长度相等，所以菱形周长为$4a$，根据题意周长是高的8倍，可得等式：$4a=8h$，化简得$a=2h$，即高是边长的一半。
2. 过菱形的一个顶点向对边作高，可得到一个直角三角形：该直角三角形的斜边为菱形的边长$a$，一条直角边为高$h$，高所对的锐角就是菱形的一个内角。
3. 根据直角三角形的性质：如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为$30°$，因此菱形的一个内角是$30°$。
4. 菱形的邻角互补，所以和$30°$互补的角为$180°-30°=150°$，即两个互补的角为$30°$和$150°$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的性质、补角的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是将菱形的周长、高和边长的关系转化为直角三角形的边角关系求解，掌握特殊图形的基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AB=3,AC=4,BC=5,则对角线BD的长为（
A.$2\sqrt{13}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.6
A
）A.$2\sqrt{13}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.6
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察已知边长AB=3、AC=4、BC=5，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC=90°；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可得AO的长度，最后在直角三角形ABO中用勾股定理求出BO的长度，进而得到BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=3，AC=4，BC=5
∴AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² = BC²
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = 2，BD = 2BO
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
BO² = AB² + AO² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
∴BO = $\sqrt{13}$
∴BD = 2BO = $2\sqrt{13}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理逆定理；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的综合应用题，解题的关键是先根据三边的长度关系判断出直角三角形，再结合平行四边形对角线互相平分的性质计算对角线长度，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知边长AB=3、AC=4、BC=5，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC=90°；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可得AO的长度，最后在直角三角形ABO中用勾股定理求出BO的长度，进而得到BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=3，AC=4，BC=5
∴AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² = BC²
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = 2，BD = 2BO
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
BO² = AB² + AO² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
∴BO = $\sqrt{13}$
∴BD = 2BO = $2\sqrt{13}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理逆定理；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的综合应用题，解题的关键是先根据三边的长度关系判断出直角三角形，再结合平行四边形对角线互相平分的性质计算对角线长度，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ BAD=80°$,$AB$的垂直平分线交对角线$AC$于点$F$,垂足为$E$,连接$DF$,则$∠ CDF$等于（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
B
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时结合菱形性质和垂直平分线性质思考：首先菱形的对角线平分内角，邻角互补，四边相等；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。我们可以先连接BF，通过全等三角形将∠ADF和∠ABF建立联系，再结合已知角度计算∠CDF的度数。步骤为：1. 利用菱形性质求∠BAC、∠ADC的度数；2. 由垂直平分线性质得AF=BF，求出∠ABF的度数；3. 证明△ADF≌△ABF，得到∠ADF的度数；4. 用∠ADC减∠ADF得到结果。
【解析】
连接BF，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴ AC平分∠BAD，AD=AB，∠ADC+∠BAD=180°，
∴ ∠BAC=∠DAC=40°，∠ADC=180°-80°=100°。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AF=BF，
∴ ∠FAB=∠FBA=40°。
在△ADF和△ABF中：
$\{\begin{array}{l} AD=AB\\ ∠DAF=∠BAF\\ AF=AF\end{array} $
∴ △ADF≌△ABF（SAS），
∴ ∠ADF=∠ABF=40°，
∴ ∠CDF=∠ADC - ∠ADF=100°-40°=60°。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何角度计算的典型题，解题的关键是合理作出辅助线，利用图形性质将待求角和已知角建立关联，考察了几何综合推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时结合菱形性质和垂直平分线性质思考：首先菱形的对角线平分内角，邻角互补，四边相等；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。我们可以先连接BF，通过全等三角形将∠ADF和∠ABF建立联系，再结合已知角度计算∠CDF的度数。步骤为：1. 利用菱形性质求∠BAC、∠ADC的度数；2. 由垂直平分线性质得AF=BF，求出∠ABF的度数；3. 证明△ADF≌△ABF，得到∠ADF的度数；4. 用∠ADC减∠ADF得到结果。
【解析】
连接BF，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴ AC平分∠BAD，AD=AB，∠ADC+∠BAD=180°，
∴ ∠BAC=∠DAC=40°，∠ADC=180°-80°=100°。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AF=BF，
∴ ∠FAB=∠FBA=40°。
在△ADF和△ABF中：
$\{\begin{array}{l} AD=AB\\ ∠DAF=∠BAF\\ AF=AF\end{array} $
∴ △ADF≌△ABF（SAS），
∴ ∠ADF=∠ABF=40°，
∴ ∠CDF=∠ADC - ∠ADF=100°-40°=60°。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何角度计算的典型题，解题的关键是合理作出辅助线，利用图形性质将待求角和已知角建立关联，考察了几何综合推导能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，E，F分别是$□ ABCD$的对边AD，BC的中点，EF与BD相交于点O，若$BF=2.5$，$OE=1.5$，则$□ ABCD$的周长为（
A.16
B.15
C.14
D.12
A
）A.16
B.15
C.14
D.12
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等。第一步，已知F是BC中点，BF=2.5，可直接求出BC的长度，同时得到AD的长度；第二步，结合E是AD中点，可证得ED与BF平行且相等，推出四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由OE=1.5求出EF的长度；第三步，证明ABFE是平行四边形，得到AB的长度；最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD。
∵F是BC的中点，BF=2.5，
∴BC=2BF=5，
∴AD=BC=5。
∵E是AD的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=2.5，
∴ED=BF，又
∵ED//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF与BD是平行四边形BEDF的对角线，交于点O，
∴O是EF的中点，
∴EF=2OE=2×1.5=3。
又
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=2.5，
∴AE=BF，且AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF=3。
∴□ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+5)=16。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形的性质与判定的综合运用，解题的关键是结合中点条件，通过边的平行且相等关系证明平行四边形，进而求出未知边的长度，计算过程简单，是平行四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等。第一步，已知F是BC中点，BF=2.5，可直接求出BC的长度，同时得到AD的长度；第二步，结合E是AD中点，可证得ED与BF平行且相等，推出四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由OE=1.5求出EF的长度；第三步，证明ABFE是平行四边形，得到AB的长度；最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD。
∵F是BC的中点，BF=2.5，
∴BC=2BF=5，
∴AD=BC=5。
∵E是AD的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=2.5，
∴ED=BF，又
∵ED//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF与BD是平行四边形BEDF的对角线，交于点O，
∴O是EF的中点，
∴EF=2OE=2×1.5=3。
又
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=2.5，
∴AE=BF，且AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF=3。
∴□ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+5)=16。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形的性质与判定的综合运用，解题的关键是结合中点条件，通过边的平行且相等关系证明平行四边形，进而求出未知边的长度，计算过程简单，是平行四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 点A,B,C,D在同一平面内,从①$AB// CD$,②$AB=CD$,③$BC// AD$,④$BC=AD$这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法有 （
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
B
）A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆平行四边形的判定定理，再将题干给出的4个条件进行两两组合，逐一验证每个组合是否满足平行四边形的判定条件，最后统计符合要求的组合数即可。平行四边形的核心判定依据有：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形都是平行四边形，注意一组对边平行另一组对边相等的情况无法判定为平行四边形，可能为等腰梯形。
【解析】
四个条件任选两个，共有6种组合，逐一判断：
1. 选①②：AB平行且等于CD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定；
2. 选①③：$AB// CD$、$BC// AD$，满足“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定；
3. 选①④：$AB// CD$、$BC=AD$，此时四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
4. 选②③：$AB=CD$、$BC// AD$，此时四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
5. 选②④：$AB=CD$、$BC=AD$，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定；
6. 选③④：BC平行且等于AD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定。
综上，符合条件的选法共有4种。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、分类讨论
【点评】
本题是平行四边形判定的典型基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，同时要注意规避易错点：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，验证组合时要全面，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆平行四边形的判定定理，再将题干给出的4个条件进行两两组合，逐一验证每个组合是否满足平行四边形的判定条件，最后统计符合要求的组合数即可。平行四边形的核心判定依据有：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形都是平行四边形，注意一组对边平行另一组对边相等的情况无法判定为平行四边形，可能为等腰梯形。
【解析】
四个条件任选两个，共有6种组合，逐一判断：
1. 选①②：AB平行且等于CD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定；
2. 选①③：$AB// CD$、$BC// AD$，满足“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定；
3. 选①④：$AB// CD$、$BC=AD$，此时四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
4. 选②③：$AB=CD$、$BC// AD$，此时四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
5. 选②④：$AB=CD$、$BC=AD$，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定；
6. 选③④：BC平行且等于AD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定。
综上，符合条件的选法共有4种。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、分类讨论
【点评】
本题是平行四边形判定的典型基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，同时要注意规避易错点：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，验证组合时要全面，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
7. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB=2√2，BC=2√3，则图中阴影部分的面积为
（第7题）
$2\sqrt{6}$
。（第7题）答案
7.$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
解决本题首先明确不规则图形面积的常用求解方法是割补法，先计算规则的矩形总面积，再观察图形特征：矩形是中心对称图形，结合三角形中线等分三角形面积的性质，可发现阴影部分的面积总和恰好等于矩形面积的一半，直接推导即可得出结果，无需分别计算每块阴影的面积。
【解析】
第一步：计算矩形ABCD的面积，矩形面积公式为$S=长×宽$，代入题中数据：
$S_{矩形ABCD}=AB× BC=2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=4\sqrt{6}$
第二步：分析阴影部分面积与矩形面积的关系：
因为E、F分别是AB、CD的中点，$DE// BF$且$DE=BF$，四边形DEBF为平行四边形；又M是DE中点，可知AM是$△ ADE$的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分，即$S_{△ AEM}=S_{△ ADM}$，同理可得其他对应三角形的面积相等，结合矩形的中心对称性，可推出所有阴影部分的面积之和等于矩形面积的一半。
第三步：计算阴影面积：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
矩形面积计算，割补法求面积，中心对称的性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，解题关键是通过观察图形的对称性，将分散的不规则阴影面积转化为规则图形的面积计算，大大简化了运算步骤，也考查了对矩形、三角形中线相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
解决本题首先明确不规则图形面积的常用求解方法是割补法，先计算规则的矩形总面积，再观察图形特征：矩形是中心对称图形，结合三角形中线等分三角形面积的性质，可发现阴影部分的面积总和恰好等于矩形面积的一半，直接推导即可得出结果，无需分别计算每块阴影的面积。
【解析】
第一步：计算矩形ABCD的面积，矩形面积公式为$S=长×宽$，代入题中数据：
$S_{矩形ABCD}=AB× BC=2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=4\sqrt{6}$
第二步：分析阴影部分面积与矩形面积的关系：
因为E、F分别是AB、CD的中点，$DE// BF$且$DE=BF$，四边形DEBF为平行四边形；又M是DE中点，可知AM是$△ ADE$的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分，即$S_{△ AEM}=S_{△ ADM}$，同理可得其他对应三角形的面积相等，结合矩形的中心对称性，可推出所有阴影部分的面积之和等于矩形面积的一半。
第三步：计算阴影面积：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
矩形面积计算，割补法求面积，中心对称的性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，解题关键是通过观察图形的对称性，将分散的不规则阴影面积转化为规则图形的面积计算，大大简化了运算步骤，也考查了对矩形、三角形中线相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
8.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为
$\sqrt{5}$
.答案
8.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算求解：首先确定各点的坐标，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，最后用两点之间的距离公式计算PG的长度，思路清晰易懂，适合求解这类网格/正方形背景下的线段长度问题。
【解析】
解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据正方形ABCD边长为3、正方形EFCG边长为1，可得各点坐标：
A(0,3)，E(2,1)，G(3,1)
∵P是AE的中点，根据中点坐标公式，点P的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即P(1,2)
根据两点间距离公式可得：
$PG=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
平面直角坐标系应用，中点坐标公式，两点间距离公式
【点评】
本题用坐标法将几何图形的位置关系转化为坐标计算，降低了几何推导的难度，是求解平面几何中线段长度的常用技巧，熟练掌握该方法能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算求解：首先确定各点的坐标，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，最后用两点之间的距离公式计算PG的长度，思路清晰易懂，适合求解这类网格/正方形背景下的线段长度问题。
【解析】
解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据正方形ABCD边长为3、正方形EFCG边长为1，可得各点坐标：
A(0,3)，E(2,1)，G(3,1)
∵P是AE的中点，根据中点坐标公式，点P的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即P(1,2)
根据两点间距离公式可得：
$PG=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
平面直角坐标系应用，中点坐标公式，两点间距离公式
【点评】
本题用坐标法将几何图形的位置关系转化为坐标计算，降低了几何推导的难度，是求解平面几何中线段长度的常用技巧，熟练掌握该方法能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上,有下列结论:①$CE=CF$;②$∠ AEB=75°$;③$BE+DF=EF$;④$S_{正方形ABCD}=2+\sqrt{3}$.其中正确的结论的序号有
①②④
(把你认为正确的都填上).答案
9. ①②④
解析
【分析】
解题时先利用正方形四边相等、四个角为直角，等边三角形三边相等的性质，通过HL证明直角三角形全等，推导边的关系判断结论①；再结合等腰直角三角形和等边三角形的内角度数，计算∠AEB的大小判断②；设正方形边长为未知数，利用勾股定理列方程求出边长，分别计算BE+DF和EF的长度比较判断③；最后根据边长计算正方形面积判断④。
【解析】
1. 判断结论①：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\begin{cases}AB=AD\\AE=AF\end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴BE=DF，
又
∵BC=CD，
∴$BC-BE=CD-DF$，即$CE=CF$，故①正确。
2. 判断结论②：
∵$CE=CF$，$∠ C=90°$，
∴$△ ECF$是等腰直角三角形，$∠ CEF=45°$，
∵△AEF是等边三角形，
∴$∠ AEF=60°$，
∴$∠ AEB=180°-∠ AEF-∠ CEF=180°-60°-45°=75°$，故②正确。
3. 判断结论③：
设正方形边长为$a$，
∵等边△AEF边长为2，
∴$EF=2$，
在等腰$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得$CE=CF=\sqrt{2}$，则$BE=a-\sqrt{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2+BE^2=AE^2$，即$a^2+(a-\sqrt{2})^2=4$，
整理得$a^2-\sqrt{2}a-1=0$，解得正根$a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
则$BE+DF=2BE=2(a-\sqrt{2})=\sqrt{6}-\sqrt{2}\approx1.035≠2=EF$，故③错误。
4. 判断结论④：
正方形面积$S=a^2=(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2})^2=\frac{2+4\sqrt{3}+6}{4}=2+\sqrt{3}$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊几何图形的综合题，需要结合全等判定、角度计算、勾股定理求解，解题时注意数形结合，通过代数运算验证几何结论。
【难度系数】
0.6
解题时先利用正方形四边相等、四个角为直角，等边三角形三边相等的性质，通过HL证明直角三角形全等，推导边的关系判断结论①；再结合等腰直角三角形和等边三角形的内角度数，计算∠AEB的大小判断②；设正方形边长为未知数，利用勾股定理列方程求出边长，分别计算BE+DF和EF的长度比较判断③；最后根据边长计算正方形面积判断④。
【解析】
1. 判断结论①：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\begin{cases}AB=AD\\AE=AF\end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴BE=DF，
又
∵BC=CD，
∴$BC-BE=CD-DF$，即$CE=CF$，故①正确。
2. 判断结论②：
∵$CE=CF$，$∠ C=90°$，
∴$△ ECF$是等腰直角三角形，$∠ CEF=45°$，
∵△AEF是等边三角形，
∴$∠ AEF=60°$，
∴$∠ AEB=180°-∠ AEF-∠ CEF=180°-60°-45°=75°$，故②正确。
3. 判断结论③：
设正方形边长为$a$，
∵等边△AEF边长为2，
∴$EF=2$，
在等腰$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得$CE=CF=\sqrt{2}$，则$BE=a-\sqrt{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2+BE^2=AE^2$，即$a^2+(a-\sqrt{2})^2=4$，
整理得$a^2-\sqrt{2}a-1=0$，解得正根$a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
则$BE+DF=2BE=2(a-\sqrt{2})=\sqrt{6}-\sqrt{2}\approx1.035≠2=EF$，故③错误。
4. 判断结论④：
正方形面积$S=a^2=(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2})^2=\frac{2+4\sqrt{3}+6}{4}=2+\sqrt{3}$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊几何图形的综合题，需要结合全等判定、角度计算、勾股定理求解，解题时注意数形结合，通过代数运算验证几何结论。
【难度系数】
0.6
