登录
10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A。
求证：四边形DECF是平行四边形。
求证：四边形DECF是平行四边形。
答案
10. $\because AD=DC,AE=EB,\therefore ED// BC$,即$ED// CF$,
$\because ∠ ACB=90°,AE=EB$,
$\therefore EA=EC=EB$,
$\therefore ∠ A=∠ ACE=∠ CDF$,
$\therefore DF// CE$,
$\therefore$ 四边形$DFCE$是平行四边形.
$\because ∠ ACB=90°,AE=EB$,
$\therefore EA=EC=EB$,
$\therefore ∠ A=∠ ACE=∠ CDF$,
$\therefore DF// CE$,
$\therefore$ 四边形$DFCE$是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形DECF是平行四边形，可通过证明两组对边分别平行推导。首先利用D、E是AC、AB中点的条件，结合三角形中位线定理得到DE与CF的平行关系；再利用直角三角形斜边中线的性质推导角的等量关系，结合已知∠CDF=∠A，得到DF与CE的平行关系，最终由两组对边分别平行判定平行四边形。
【解析】
证明：
∵ D，E分别是AC，AB的中点，即$AD=DC,AE=EB$，
∴ ED是△ABC的中位线，
$\therefore ED// BC$，即$ED// CF$，
$\because ∠ACB=90°$，E是AB的中点，
∴ EC是Rt△ABC斜边AB的中线，
$\therefore EA=EC=EB$，
$\therefore ∠A=∠ACE$，
又$\because ∠CDF=∠A$，
$\therefore ∠ACE=∠CDF$，
$\therefore DF// CE$，
$\because ED// CF,DF// CE$，
$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形。
【答案】
四边形DECF是平行四边形
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是灵活运用中点相关性质推导线的平行关系和角的等量关系，逻辑链条清晰，能够帮助巩固特殊三角形和平行四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.75
要证明四边形DECF是平行四边形，可通过证明两组对边分别平行推导。首先利用D、E是AC、AB中点的条件，结合三角形中位线定理得到DE与CF的平行关系；再利用直角三角形斜边中线的性质推导角的等量关系，结合已知∠CDF=∠A，得到DF与CE的平行关系，最终由两组对边分别平行判定平行四边形。
【解析】
证明：
∵ D，E分别是AC，AB的中点，即$AD=DC,AE=EB$，
∴ ED是△ABC的中位线，
$\therefore ED// BC$，即$ED// CF$，
$\because ∠ACB=90°$，E是AB的中点，
∴ EC是Rt△ABC斜边AB的中线，
$\therefore EA=EC=EB$，
$\therefore ∠A=∠ACE$，
又$\because ∠CDF=∠A$，
$\therefore ∠ACE=∠CDF$，
$\therefore DF// CE$，
$\because ED// CF,DF// CE$，
$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形。
【答案】
四边形DECF是平行四边形
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是灵活运用中点相关性质推导线的平行关系和角的等量关系，逻辑链条清晰，能够帮助巩固特殊三角形和平行四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.75
11. 如图，AD//FE，点B，C在AD上，∠1=∠2，BF=BC.
(1)求证:四边形BCEF是菱形；
(2)若AB=BC=CD，求证:△ACF≌△BDE.
(1)求证:四边形BCEF是菱形；
(2)若AB=BC=CD，求证:△ACF≌△BDE.
答案
11. 证明:(1)$\because AD// FE$,
$\therefore FE// BC$,
$\therefore ∠ FEB=∠ 2$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ FEB=∠ 1$,
$\therefore BF=EF$.
$\because BF=BC,\therefore BC=EF$.
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形.
$\because BF=BC,\therefore$ 四边形$BCEF$是菱形.
(2)$\because EF=BC,AB=BC=CD,AD// EF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF,CDEF$均为平行四边形.
$\therefore AF=BE,FC=ED$.
又$\because AC=BD,\therefore △ ACF≌△ BDE$.
$\therefore FE// BC$,
$\therefore ∠ FEB=∠ 2$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ FEB=∠ 1$,
$\therefore BF=EF$.
$\because BF=BC,\therefore BC=EF$.
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形.
$\because BF=BC,\therefore$ 四边形$BCEF$是菱形.
(2)$\because EF=BC,AB=BC=CD,AD// EF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF,CDEF$均为平行四边形.
$\therefore AF=BE,FC=ED$.
又$\because AC=BD,\therefore △ ACF≌△ BDE$.
解析
【分析】
(1)要证四边形BCEF是菱形，可先判定它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先由AD//FE可得FE//BC，推出∠FEB=∠2，结合∠1=∠2可得∠FEB=∠1，进而得到BF=EF；再结合已知BF=BC，可得BC与EF平行且相等，即可判定四边形BCEF是平行四边形，最后由邻边BF=BC证得该平行四边形是菱形。
(2)要证△ACF≌△BDE，可利用SSS判定定理证明。结合AB=BC=CD、(1)中EF=BC的结论以及AD//EF，可证得四边形ABEF、CDEF都是平行四边形，从而得到AF=BE、FC=ED；再由AB+BC=BC+CD推出AC=BD，即可根据三边对应相等证明两个三角形全等。
【解析】
(1)首先利用平行线的性质推导角相等，得到边相等，结合已知边的关系先证平行四边形，再由邻边相等证菱形；(2)先根据平行且相等的边判定两个平行四边形，得到两组对应边相等，再推导公共的第三组边相等，利用SSS证全等。
【答案】
(1)证明:
$\because AD// FE$,
$\therefore FE// BC$,
$\therefore ∠ FEB=∠ 2$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ FEB=∠ 1$,
$\therefore BF=EF$.
$\because BF=BC,\therefore BC=EF$.
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形.
$\because BF=BC,\therefore$ 四边形$BCEF$是菱形.
(2)证明:
$\because EF=BC,AB=BC=CD,AD// EF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF,CDEF$均为平行四边形.
$\therefore AF=BE,FC=ED$.
又$\because AC=BD,\therefore △ ACF≌△ BDE$.
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考察了平行线、特殊四边形、三角形全等的相关知识，解题时需要顺着已知条件逐步推导边、角的关系，熟练掌握相关定理即可顺利完成证明，有助于锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证四边形BCEF是菱形，可先判定它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先由AD//FE可得FE//BC，推出∠FEB=∠2，结合∠1=∠2可得∠FEB=∠1，进而得到BF=EF；再结合已知BF=BC，可得BC与EF平行且相等，即可判定四边形BCEF是平行四边形，最后由邻边BF=BC证得该平行四边形是菱形。
(2)要证△ACF≌△BDE，可利用SSS判定定理证明。结合AB=BC=CD、(1)中EF=BC的结论以及AD//EF，可证得四边形ABEF、CDEF都是平行四边形，从而得到AF=BE、FC=ED；再由AB+BC=BC+CD推出AC=BD，即可根据三边对应相等证明两个三角形全等。
【解析】
(1)首先利用平行线的性质推导角相等，得到边相等，结合已知边的关系先证平行四边形，再由邻边相等证菱形；(2)先根据平行且相等的边判定两个平行四边形，得到两组对应边相等，再推导公共的第三组边相等，利用SSS证全等。
【答案】
(1)证明:
$\because AD// FE$,
$\therefore FE// BC$,
$\therefore ∠ FEB=∠ 2$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ FEB=∠ 1$,
$\therefore BF=EF$.
$\because BF=BC,\therefore BC=EF$.
$\therefore$ 四边形$BCEF$是平行四边形.
$\because BF=BC,\therefore$ 四边形$BCEF$是菱形.
(2)证明:
$\because EF=BC,AB=BC=CD,AD// EF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF,CDEF$均为平行四边形.
$\therefore AF=BE,FC=ED$.
又$\because AC=BD,\therefore △ ACF≌△ BDE$.
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考察了平行线、特殊四边形、三角形全等的相关知识，解题时需要顺着已知条件逐步推导边、角的关系，熟练掌握相关定理即可顺利完成证明，有助于锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，基于此，请解答下列问题：
(1) 根据图2，写出一个代数恒等式：
(2) 利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值；
(3) 小明同学用图3中$x$张边长为$a$的正方形，$y$张边长为$b$的正方形，$z$张宽、长分别为$a$、$b$的长方形纸片拼出一个面积为$(3a+b)(a+3b)$的长方形，求$x+y+z$的值。
(1) 根据图2，写出一个代数恒等式：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
；(2) 利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值；
(3) 小明同学用图3中$x$张边长为$a$的正方形，$y$张边长为$b$的正方形，$z$张宽、长分别为$a$、$b$的长方形纸片拼出一个面积为$(3a+b)(a+3b)$的长方形，求$x+y+z$的值。
答案
12. 解:(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$;
(2)由(1)得:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
又因为$a+b+c=10,ab+ac+bc=35$,
所以$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=10^2-2×35=100-70=30$;
(3)由题意可得:
$(3a+b)(a+3b)=xa^2+yb^2+zab$,
$\therefore 3a^2+10ab+3b^2=xa^2+yb^2+zab$,
$\therefore x=3,y=3,z=10$,
$\therefore x+y+z=3+3+10=16$.
(2)由(1)得:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
又因为$a+b+c=10,ab+ac+bc=35$,
所以$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=10^2-2×35=100-70=30$;
(3)由题意可得:
$(3a+b)(a+3b)=xa^2+yb^2+zab$,
$\therefore 3a^2+10ab+3b^2=xa^2+yb^2+zab$,
$\therefore x=3,y=3,z=10$,
$\therefore x+y+z=3+3+10=16$.
解析
【分析】
(1) 推导图2对应的代数恒等式时，从面积的两种计算方式入手：整体上，图2是边长为$(a+b+c)$的大正方形，面积为$(a+b+c)^2$；拆分来看，大正方形由3个小正方形和6个长方形组成，各部分面积之和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，两种方式计算的面积相等，即可得到恒等式。
(2) 第二问直接利用(1)的恒等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，代入已知的$a+b+c$和$ab+ac+bc$的数值计算即可。
(3) 第三问中拼出的长方形面积等于所有小纸片的面积之和，先按多项式乘法法则展开$(3a+b)(a+3b)$，再和$xa^2+yb^2+zab$对比同类项系数，求出$x,y,z$后相加即可得到结果。
【解析】
(1) 图2中大正方形的面积可表示为$(a+b+c)^2$，也可表示为各部分面积之和$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此得到恒等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
(2) 由(1)的恒等式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，将$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$代入得：
$a^2+b^2+c^2=10^2-2×35=100-70=30$。
(3) 由题意可得拼出的长方形面积满足：$(3a+b)(a+3b)=xa^2+yb^2+zab$，
展开左边得：$3a^2+9ab+ab+3b^2=3a^2+10ab+3b^2$，
对比等式两边同类项系数得：$x=3,y=3,z=10$，
因此$x+y+z=3+3+10=16$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $30$
(3) $16$
【知识点】
完全平方公式推广；整式化简求值；多项式乘多项式
【点评】
本题结合几何图形面积考查整式运算的相关知识，体现了数形结合的思想，既要求能从图形中提炼代数恒等式，也需要熟练掌握整式乘法、代入求值等基础运算，注重对基础知识的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 推导图2对应的代数恒等式时，从面积的两种计算方式入手：整体上，图2是边长为$(a+b+c)$的大正方形，面积为$(a+b+c)^2$；拆分来看，大正方形由3个小正方形和6个长方形组成，各部分面积之和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，两种方式计算的面积相等，即可得到恒等式。
(2) 第二问直接利用(1)的恒等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，代入已知的$a+b+c$和$ab+ac+bc$的数值计算即可。
(3) 第三问中拼出的长方形面积等于所有小纸片的面积之和，先按多项式乘法法则展开$(3a+b)(a+3b)$，再和$xa^2+yb^2+zab$对比同类项系数，求出$x,y,z$后相加即可得到结果。
【解析】
(1) 图2中大正方形的面积可表示为$(a+b+c)^2$，也可表示为各部分面积之和$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此得到恒等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
(2) 由(1)的恒等式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，将$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=35$代入得：
$a^2+b^2+c^2=10^2-2×35=100-70=30$。
(3) 由题意可得拼出的长方形面积满足：$(3a+b)(a+3b)=xa^2+yb^2+zab$，
展开左边得：$3a^2+9ab+ab+3b^2=3a^2+10ab+3b^2$，
对比等式两边同类项系数得：$x=3,y=3,z=10$，
因此$x+y+z=3+3+10=16$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $30$
(3) $16$
【知识点】
完全平方公式推广；整式化简求值；多项式乘多项式
【点评】
本题结合几何图形面积考查整式运算的相关知识，体现了数形结合的思想，既要求能从图形中提炼代数恒等式，也需要熟练掌握整式乘法、代入求值等基础运算，注重对基础知识的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
