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6. 等腰三角形的一个内角为$40°$,则它的底角为 (
A.$40°$
B.$70°$
C.$40°$或$70°$
D.$140°$
C
)A.$40°$
B.$70°$
C.$40°$或$70°$
D.$140°$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明有一个内角为40°，没有明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，讨论后还要验证每种情况是否符合三角形内角的取值要求，最终确定底角的所有可能值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若40°的角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角度数为：
$\frac{180°-40°}{2}=70°$
2. 若40°的角是等腰三角形的底角：
此时另一个底角也为40°，顶角为$180°-40°×2=100°$，符合三角形内角和规则。
综上，该等腰三角形的底角为40°或70°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，易错点为忽略未明确角的类型时需要分类讨论，解题时分类后要验证所得角度是否符合三角形内角要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明有一个内角为40°，没有明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，讨论后还要验证每种情况是否符合三角形内角的取值要求，最终确定底角的所有可能值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若40°的角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角度数为：
$\frac{180°-40°}{2}=70°$
2. 若40°的角是等腰三角形的底角：
此时另一个底角也为40°，顶角为$180°-40°×2=100°$，符合三角形内角和规则。
综上，该等腰三角形的底角为40°或70°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，易错点为忽略未明确角的类型时需要分类讨论，解题时分类后要验证所得角度是否符合三角形内角要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 100°$，$AC = AE$，$BC = BD$，则$∠ DCE$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
D
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察到题目给出两组边相等的条件，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，得到两组相等的角；再结合三角形内角和定理，找到所求角∠DCE与已知角∠ACB之间的等量关系，通过建立等式即可求解。不需要单独计算∠A、∠B的度数，利用整体代换的思路能更简便得出结果。
【解析】
解：
∵ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC（等腰三角形等边对等角）
∵ BC=BD，
∴ ∠BCD=∠BDC（等腰三角形等边对等角）
在△CDE中，根据三角形内角和定理得：
$∠ DCE + ∠ BDC + ∠ AEC = 180°$
∴ $∠ BDC + ∠ AEC = 180° - ∠ DCE$ ①
又
∵ $∠ BCD = ∠ BCE + ∠ DCE$，$∠ ACE = ∠ ACD + ∠ DCE$
∴ $∠ BDC + ∠ AEC = ∠ BCD + ∠ ACE = (∠ BCE + ∠ DCE) + (∠ ACD + ∠ DCE)$
$= (∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE) + ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
已知$∠ ACB=100°$，代入得：
$∠ BDC + ∠ AEC = 100° + ∠ DCE$ ②
联立①②两式得：
$180° - ∠ DCE = 100° + ∠ DCE$
移项计算得：$2∠ DCE = 80°$，即$∠ DCE=40°$
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过角度的拆分与组合，找到已知角和未知角的等量关系，利用整体思想计算，避免不必要的角度求解，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到题目给出两组边相等的条件，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，得到两组相等的角；再结合三角形内角和定理，找到所求角∠DCE与已知角∠ACB之间的等量关系，通过建立等式即可求解。不需要单独计算∠A、∠B的度数，利用整体代换的思路能更简便得出结果。
【解析】
解：
∵ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC（等腰三角形等边对等角）
∵ BC=BD，
∴ ∠BCD=∠BDC（等腰三角形等边对等角）
在△CDE中，根据三角形内角和定理得：
$∠ DCE + ∠ BDC + ∠ AEC = 180°$
∴ $∠ BDC + ∠ AEC = 180° - ∠ DCE$ ①
又
∵ $∠ BCD = ∠ BCE + ∠ DCE$，$∠ ACE = ∠ ACD + ∠ DCE$
∴ $∠ BDC + ∠ AEC = ∠ BCD + ∠ ACE = (∠ BCE + ∠ DCE) + (∠ ACD + ∠ DCE)$
$= (∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE) + ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
已知$∠ ACB=100°$，代入得：
$∠ BDC + ∠ AEC = 100° + ∠ DCE$ ②
联立①②两式得：
$180° - ∠ DCE = 100° + ∠ DCE$
移项计算得：$2∠ DCE = 80°$，即$∠ DCE=40°$
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过角度的拆分与组合，找到已知角和未知角的等量关系，利用整体思想计算，避免不必要的角度求解，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
8. 如图所示，$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$于D，若$AB=3$，$BC=5$，则DC的长度是（
A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{22}{5}$
C
）A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{22}{5}$
答案
C
解析
【分析】
首先，已知△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，给出了直角边AB和斜边BC的长度，第一步可利用勾股定理先求出另一条直角边AC的长度。由于AD⊥BC，将原三角形分为两个小直角三角形△ACD和△ABD，两个小三角形共享边AD，我们可以分别在两个小直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两个表达式相等，即可建立关于DC的方程，解方程就能求出DC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，根据勾股定理：
$AC^2 + AB^2 = BC^2$
代入数值计算得：$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$
设DC的长度为$x$，则BD的长度为$5 - x$
∵AD⊥BC，
∴△ACD和△ABD均为直角三角形
在Rt△ACD中，根据勾股定理：$AD^2 = AC^2 - DC^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$
在Rt△ABD中，根据勾股定理：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 3^2 - (5 - x)^2 = 9 - (25 - 10x + x^2) = 10x - x^2 - 16$
联立两个$AD^2$的表达式得：
$16 - x^2 = 10x - x^2 - 16$
两边消去$-x^2$，整理得：$10x = 32$
解得：$x = \frac{16}{5}$，即DC的长度为$\frac{16}{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形的性质，方程思想
【点评】
本题是直角三角形相关的典型题型，解题核心是利用公共边AD作为桥梁，通过勾股定理建立等量关系求解线段长度，能够有效考查学生对勾股定理的灵活运用能力，后续学习相似三角形后也可通过相似性质快速求解本题。
【难度系数】
0.7
首先，已知△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，给出了直角边AB和斜边BC的长度，第一步可利用勾股定理先求出另一条直角边AC的长度。由于AD⊥BC，将原三角形分为两个小直角三角形△ACD和△ABD，两个小三角形共享边AD，我们可以分别在两个小直角三角形中用勾股定理表示出AD²，令两个表达式相等，即可建立关于DC的方程，解方程就能求出DC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，根据勾股定理：
$AC^2 + AB^2 = BC^2$
代入数值计算得：$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$
设DC的长度为$x$，则BD的长度为$5 - x$
∵AD⊥BC，
∴△ACD和△ABD均为直角三角形
在Rt△ACD中，根据勾股定理：$AD^2 = AC^2 - DC^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$
在Rt△ABD中，根据勾股定理：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 3^2 - (5 - x)^2 = 9 - (25 - 10x + x^2) = 10x - x^2 - 16$
联立两个$AD^2$的表达式得：
$16 - x^2 = 10x - x^2 - 16$
两边消去$-x^2$，整理得：$10x = 32$
解得：$x = \frac{16}{5}$，即DC的长度为$\frac{16}{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形的性质，方程思想
【点评】
本题是直角三角形相关的典型题型，解题核心是利用公共边AD作为桥梁，通过勾股定理建立等量关系求解线段长度，能够有效考查学生对勾股定理的灵活运用能力，后续学习相似三角形后也可通过相似性质快速求解本题。
【难度系数】
0.7
9. 一个直角三角形的三条边长分别是3,4,c,则c的值为（
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.5或$\sqrt{7}$
D.不能确定
C
）A.5
B.$\sqrt{7}$
C.5或$\sqrt{7}$
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题核心是明确题目未说明c是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是c为斜边，二是长度为4的边为斜边，再分别结合勾股定理计算即可，注意三角形边长为正数，计算出的负值要舍去。
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当c为直角三角形的斜边时，根据勾股定理可得：
$c^2=3^2+4^2=9+16=25$
因为三角形边长为正数，所以$c=\sqrt{25}=5$；
②当长度为4的边为直角三角形的斜边时，c为直角边，根据勾股定理可得：
$c^2=4^2-3^2=16-9=7$
同理边长为正数，所以$c=\sqrt{7}$。
综上，c的值为5或$\sqrt{7}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，很多同学会默认c是斜边直接计算得到5，忽略4也可能是斜边的情况，因此遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，一定要先对最长边的身份分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题核心是明确题目未说明c是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：一是c为斜边，二是长度为4的边为斜边，再分别结合勾股定理计算即可，注意三角形边长为正数，计算出的负值要舍去。
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当c为直角三角形的斜边时，根据勾股定理可得：
$c^2=3^2+4^2=9+16=25$
因为三角形边长为正数，所以$c=\sqrt{25}=5$；
②当长度为4的边为直角三角形的斜边时，c为直角边，根据勾股定理可得：
$c^2=4^2-3^2=16-9=7$
同理边长为正数，所以$c=\sqrt{7}$。
综上，c的值为5或$\sqrt{7}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，很多同学会默认c是斜边直接计算得到5，忽略4也可能是斜边的情况，因此遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，一定要先对最长边的身份分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$BC$边上，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，添加一个条件，使$DE=DF$.
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$BC$边上，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，添加一个条件，使$DE=DF$.
答案
$BD=CD$ 或 $BE=CF$. 说明$△ BDE ≌ △ CDF$.
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得∠B=∠C，又DE⊥AB、DF⊥AC，因此∠DEB=∠DFC=90°，要使DE=DF，可通过证明△BDE≌△CDF实现。目前两个三角形已经有两组角对应相等，只需添加一组对应边相等即可满足全等判定条件，进而得到DE=DF，可添加的边相等的条件如BD=CD或BE=CF。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
情况1：添加条件BD=CD：
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC\\ ∠ B=∠ C\\ BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
情况2：添加条件BE=CF：
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ BE=CF\\ ∠ DEB=∠ DFC\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF。
综上，可添加的条件为BD=CD或BE=CF。
【答案】
BD=CD（或BE=CF，答案不唯一）
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题为条件开放性题目，解题时需要结合已知条件逆向分析推导要得到结论所需的条件，既考查了等腰三角形和全等三角形的基础知识点，也锻炼了逆向思维能力。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得∠B=∠C，又DE⊥AB、DF⊥AC，因此∠DEB=∠DFC=90°，要使DE=DF，可通过证明△BDE≌△CDF实现。目前两个三角形已经有两组角对应相等，只需添加一组对应边相等即可满足全等判定条件，进而得到DE=DF，可添加的边相等的条件如BD=CD或BE=CF。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
情况1：添加条件BD=CD：
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC\\ ∠ B=∠ C\\ BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
情况2：添加条件BE=CF：
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ BE=CF\\ ∠ DEB=∠ DFC\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF。
综上，可添加的条件为BD=CD或BE=CF。
【答案】
BD=CD（或BE=CF，答案不唯一）
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题为条件开放性题目，解题时需要结合已知条件逆向分析推导要得到结论所需的条件，既考查了等腰三角形和全等三角形的基础知识点，也锻炼了逆向思维能力。
【难度系数】
0.8
11. 如图, 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中, $AB = A'B'$, $BC=B'C'$, $AD⊥ BC$于$D$, $A'D'⊥ B'C'$于$D'$且$AD=A'D'$. 求证:$AC=A'C'$. 
答案
先证 $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'D'$, 再证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.
解析
【分析】
要证明$AC=A'C'$，可通过证明$AC$、$A'C'$所在的$△ ABC ≌ △ A'B'C'$实现。已知$AB=A'B'$，$BC=B'C'$，还缺少夹角$∠ B=∠ B'$的条件。观察已知的高$AD$、$A'D'$，可先证明$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ A'B'D'$全等，利用HL定理即可得到$∠ B=∠ B'$，进而用SAS证明$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，最终推出$AC=A'C'$。
【解析】
证明：
$\because AD⊥ BC$，$A'D'⊥ B'C'$，
$\therefore ∠ ADB=∠ A'D'B'=90°$（垂直的定义）。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\AD=A'D'\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'D'$（HL），
$\therefore ∠ B=∠ B'$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\∠ B=∠ B'\\BC=B'C'\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS），
$\therefore AC=A'C'$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=A'C'$，得证。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. SAS判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础的全等证明题，核心是通过两次证明三角形全等得到对应边相等，解题时需先明确求证目标，逆向推导需要的条件，再结合已知条件选择合适的全等判定定理，注意直角三角形全等判定的特殊性。
【难度系数】
0.8
要证明$AC=A'C'$，可通过证明$AC$、$A'C'$所在的$△ ABC ≌ △ A'B'C'$实现。已知$AB=A'B'$，$BC=B'C'$，还缺少夹角$∠ B=∠ B'$的条件。观察已知的高$AD$、$A'D'$，可先证明$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ A'B'D'$全等，利用HL定理即可得到$∠ B=∠ B'$，进而用SAS证明$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，最终推出$AC=A'C'$。
【解析】
证明：
$\because AD⊥ BC$，$A'D'⊥ B'C'$，
$\therefore ∠ ADB=∠ A'D'B'=90°$（垂直的定义）。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\AD=A'D'\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'D'$（HL），
$\therefore ∠ B=∠ B'$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\∠ B=∠ B'\\BC=B'C'\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS），
$\therefore AC=A'C'$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=A'C'$，得证。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. SAS判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础的全等证明题，核心是通过两次证明三角形全等得到对应边相等，解题时需先明确求证目标，逆向推导需要的条件，再结合已知条件选择合适的全等判定定理，注意直角三角形全等判定的特殊性。
【难度系数】
0.8
1. 已知等腰三角形的底边长为10 cm，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长4 cm，那么三角形的腰长为
6 cm 或 14 cm
。答案
6 cm 或 14 cm
解析
【分析】
解题时首先明确：若中线是底边上的中线，等腰三角形三线合一，分得的两部分周长相等，不符合题意，因此该中线是腰上的中线。腰上的中线将周长分为两部分，两部分均包含半条腰的长度，因此差值实际是腰长和底边长的差值，据此分两种情况讨论：①腰长比底边长4cm；②底边长比腰长4cm。求出腰长后，需验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无效解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm，腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段。
周长被分成的两部分分别为$ x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2} $ cm、$ 10+\frac{x}{2} $ cm，根据两部分差4cm分情况计算：
情况1：腰所在的周长部分更长
$\begin{aligned}\frac{3x}{2} - (10+\frac{x}{2})&=4\\x - 10&=4\\x&=14\end{aligned}$
验证三边：14cm、14cm、10cm，满足$ 14+14＞10 $、$ 14+10＞14 $，可构成三角形，有效。
情况2：底边所在的周长部分更长
$\begin{aligned}(10+\frac{x}{2}) - \frac{3x}{2}&=4\\10 - x&=4\\x&=6\end{aligned}$
验证三边：6cm、6cm、10cm，满足$ 6+6＞10 $、$ 6+10＞6 $，可构成三角形，有效。
【答案】
6 cm 或 14 cm
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅计算出其中一种腰长，此外求出边长后必须验证是否符合三角形三边的构成条件，避免出现不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：若中线是底边上的中线，等腰三角形三线合一，分得的两部分周长相等，不符合题意，因此该中线是腰上的中线。腰上的中线将周长分为两部分，两部分均包含半条腰的长度，因此差值实际是腰长和底边长的差值，据此分两种情况讨论：①腰长比底边长4cm；②底边长比腰长4cm。求出腰长后，需验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无效解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm，腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段。
周长被分成的两部分分别为$ x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2} $ cm、$ 10+\frac{x}{2} $ cm，根据两部分差4cm分情况计算：
情况1：腰所在的周长部分更长
$\begin{aligned}\frac{3x}{2} - (10+\frac{x}{2})&=4\\x - 10&=4\\x&=14\end{aligned}$
验证三边：14cm、14cm、10cm，满足$ 14+14＞10 $、$ 14+10＞14 $，可构成三角形，有效。
情况2：底边所在的周长部分更长
$\begin{aligned}(10+\frac{x}{2}) - \frac{3x}{2}&=4\\10 - x&=4\\x&=6\end{aligned}$
验证三边：6cm、6cm、10cm，满足$ 6+6＞10 $、$ 6+10＞6 $，可构成三角形，有效。
【答案】
6 cm 或 14 cm
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅计算出其中一种腰长，此外求出边长后必须验证是否符合三角形三边的构成条件，避免出现不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.6
2. 等腰三角形的底角为$30°$,腰长为4 cm,则这个三角形的面积为
$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要计算等腰三角形的面积，需先得到它的底边长和对应底边上的高。我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶角顶点作底边的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的含30°角的直角三角形；再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出高，用勾股定理求出底边的一半，进而得到完整底边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，其中$AB=AC=4\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=∠ C=30°$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$：
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$BD=DC$，$∠ ADB=90°$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，斜边$AB=4\ \mathrm{cm}$，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得高$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理计算$BD$：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此底边长$BC=2BD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
4. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，将未知量转化为直角三角形的边长求解，这类题型是特殊三角形章节的常见考点，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要计算等腰三角形的面积，需先得到它的底边长和对应底边上的高。我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶角顶点作底边的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的含30°角的直角三角形；再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出高，用勾股定理求出底边的一半，进而得到完整底边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，其中$AB=AC=4\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=∠ C=30°$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$：
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$BD=DC$，$∠ ADB=90°$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，斜边$AB=4\ \mathrm{cm}$，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得高$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理计算$BD$：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此底边长$BC=2BD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
4. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，将未知量转化为直角三角形的边长求解，这类题型是特殊三角形章节的常见考点，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在第1个$△ A_1BC$中,$∠ B=30°,A_1B=CB$;在边$A_1B$上任取一点$D$,延长$CA_1$到$A_2$,使$A_1A_2=A_1D$,得到第2个$△ A_1A_2D$;在边$A_2D$上任取一点$E$,延长$A_1A_2$到$A_3$,使$A_2A_3=A_2E$,得到第3个$△ A_2A_3E$,……,按此作法继续下去,则第$n$个三角形中以$A_n$为顶点的内角度数是 (
A.$(\dfrac{1}{2})^n · 75°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 65°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 75°$
D.$(\dfrac{1}{2})^n · 85°$
C
)A.$(\dfrac{1}{2})^n · 75°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 65°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 75°$
D.$(\dfrac{1}{2})^n · 85°$
答案
C
解析
【分析】
首先利用等腰三角形两底角相等的性质，求出第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角度数；再结合三角形外角的性质，分析后续每个等腰三角形中以$A_n$为顶点的内角和前一个对应角的数量关系，归纳出通用规律即可求解。
【解析】
1. 求第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角度数：
在$△ A_1BC$中，$A_1B=CB$，$△ A_1BC$是等腰三角形，顶角$∠ B=30°$，
根据等腰三角形内角和公式，底角$∠ BA_1C = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$，即第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角为$75°$。
2. 推导后续三角形对应角的规律：
在第2个$△ A_1A_2D$中，$A_1A_2 = A_1D$，$△ A_1A_2D$是等腰三角形，
$∠ BA_1C$是$△ A_1A_2D$的外角，根据三角形外角性质，$∠ BA_1C = ∠ A_1A_2D + ∠ A_1DA_2$，
又因为等腰三角形两底角相等，$∠ A_1A_2D = ∠ A_1DA_2$，
所以$∠ A_1A_2D = \frac{1}{2}∠ BA_1C = \frac{1}{2}×75°$，即第2个三角形中以$A_2$为顶点的内角为$(\frac{1}{2})^{2-1}×75°$。
同理，第3个三角形中以$A_3$为顶点的内角为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×75° = (\frac{1}{2})^{3-1}×75°$。
按此规律推导，第$n$个三角形中以$A_n$为顶点的内角度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}·75°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，规律探究
【点评】
本题将等腰三角形的性质与图形规律探究相结合，解题的关键是抓住每个新的等腰三角形的底角是前一个对应角的一半这一规律，逐步推导即可归纳出通用结论。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形两底角相等的性质，求出第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角度数；再结合三角形外角的性质，分析后续每个等腰三角形中以$A_n$为顶点的内角和前一个对应角的数量关系，归纳出通用规律即可求解。
【解析】
1. 求第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角度数：
在$△ A_1BC$中，$A_1B=CB$，$△ A_1BC$是等腰三角形，顶角$∠ B=30°$，
根据等腰三角形内角和公式，底角$∠ BA_1C = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$，即第1个三角形中以$A_1$为顶点的内角为$75°$。
2. 推导后续三角形对应角的规律：
在第2个$△ A_1A_2D$中，$A_1A_2 = A_1D$，$△ A_1A_2D$是等腰三角形，
$∠ BA_1C$是$△ A_1A_2D$的外角，根据三角形外角性质，$∠ BA_1C = ∠ A_1A_2D + ∠ A_1DA_2$，
又因为等腰三角形两底角相等，$∠ A_1A_2D = ∠ A_1DA_2$，
所以$∠ A_1A_2D = \frac{1}{2}∠ BA_1C = \frac{1}{2}×75°$，即第2个三角形中以$A_2$为顶点的内角为$(\frac{1}{2})^{2-1}×75°$。
同理，第3个三角形中以$A_3$为顶点的内角为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×75° = (\frac{1}{2})^{3-1}×75°$。
按此规律推导，第$n$个三角形中以$A_n$为顶点的内角度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}·75°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，规律探究
【点评】
本题将等腰三角形的性质与图形规律探究相结合，解题的关键是抓住每个新的等腰三角形的底角是前一个对应角的一半这一规律，逐步推导即可归纳出通用结论。
【难度系数】
0.6
4. 如图①所示，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AE$是过$A$的一条直线，且$B$，$C$在$AE$的异侧，$BD⊥ AE$于$D$，$CE⊥ AE$于$E$。
(1)说明:$BD=DE+EC$；
(2)若直线$AE$绕点$A$旋转到图②位置时($BD＜CE$)，其他条件不变，则$BD$与$DE$，$EC$的关系又怎样？请写出结果，不必写过程；
(3)若直线$AE$绕点$A$旋转到图③位置时($BD＞CE$)，其余条件不变，则$BD$与$DE$，$CE$的关系如何？请直接写出结果。
(1)说明:$BD=DE+EC$；
(2)若直线$AE$绕点$A$旋转到图②位置时($BD＜CE$)，其他条件不变，则$BD$与$DE$，$EC$的关系又怎样？请写出结果，不必写过程；
(3)若直线$AE$绕点$A$旋转到图③位置时($BD＞CE$)，其余条件不变，则$BD$与$DE$，$CE$的关系如何？请直接写出结果。
答案
(1)证明:$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore ∠ BAE + ∠ EAC = 90°$. $\because BD ⊥ AE, CE ⊥ AE, \therefore ∠ ADB = ∠ CEA = 90°, ∠ BAE + ∠ DBA = 90°, \therefore ∠ EAC = ∠ DBA$. $\because AB = CA, \therefore △ ABD ≌ △ CAE, \therefore BD = AE, AD = EC, \therefore BD = AE = AD + DE = EC + DE$;(2)$BD = DE - EC$;(3)$BD = DE - CE$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD、CE均垂直于AE，可得多个直角，利用“同角的余角相等”可推出一组角相等，结合AB=AC的条件即可证明△ABD和△CAE全等，再通过全等三角形对应边相等的性质，将BD转化为AE，结合线段和差关系即可推导三者数量关系；对于旋转后的后两问，全等的证明思路不变，仅需根据线段的位置变化重新梳理和差关系即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ BAE + ∠ EAC = 90°$
又
∵ $BD ⊥ AE$，$CE ⊥ AE$
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$
∴ $∠ BAE + ∠ DBA = 90°$
∴ $∠ DBA = ∠ EAC$（同角的余角相等）
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB = ∠ CEA \\∠ DBA = ∠ EAC \\AB = CA\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CAE$（AAS）
∴ $BD = AE$，$AD = EC$
又
∵ $AE = AD + DE$
∴ $BD = AE = EC + DE$，即$BD = DE + EC$
(2) 直线AE在图②位置时，三者关系为：$\boldsymbol{BD = DE - EC}$
(3) 直线AE在图③位置时，三者关系为：$\boldsymbol{BD = DE - CE}$
【答案】
(1) $BD=DE+EC$，证明见解析；
(2) $BD=DE-EC$；
(3) $BD=DE-CE$
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 余角的性质
【点评】
本题属于动态几何探究题，解题核心是抓住运动过程中不变的全等关系，无论直线AE如何旋转，$△ ABD$与$△ CAE$全等的结论始终成立，仅需根据线段的位置变化调整和差关系，能够有效锻炼逻辑推理能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件入手：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD、CE均垂直于AE，可得多个直角，利用“同角的余角相等”可推出一组角相等，结合AB=AC的条件即可证明△ABD和△CAE全等，再通过全等三角形对应边相等的性质，将BD转化为AE，结合线段和差关系即可推导三者数量关系；对于旋转后的后两问，全等的证明思路不变，仅需根据线段的位置变化重新梳理和差关系即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ BAE + ∠ EAC = 90°$
又
∵ $BD ⊥ AE$，$CE ⊥ AE$
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$
∴ $∠ BAE + ∠ DBA = 90°$
∴ $∠ DBA = ∠ EAC$（同角的余角相等）
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB = ∠ CEA \\∠ DBA = ∠ EAC \\AB = CA\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CAE$（AAS）
∴ $BD = AE$，$AD = EC$
又
∵ $AE = AD + DE$
∴ $BD = AE = EC + DE$，即$BD = DE + EC$
(2) 直线AE在图②位置时，三者关系为：$\boldsymbol{BD = DE - EC}$
(3) 直线AE在图③位置时，三者关系为：$\boldsymbol{BD = DE - CE}$
【答案】
(1) $BD=DE+EC$，证明见解析；
(2) $BD=DE-EC$；
(3) $BD=DE-CE$
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 余角的性质
【点评】
本题属于动态几何探究题，解题核心是抓住运动过程中不变的全等关系，无论直线AE如何旋转，$△ ABD$与$△ CAE$全等的结论始终成立，仅需根据线段的位置变化调整和差关系，能够有效锻炼逻辑推理能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.65
