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【例3】 给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转$60°$得到△DBE,连接AD,DC,CE.已知$∠ DCB=30°$.
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:$DC^2 + BC^2 = AC^2$,即四边形ABCD是勾股四边形.
【解题思路】 (1)只需写出所学过的有一个角是直角的四边形即可;
(2)①由于$∠ CBE=60°$,可通过证明△BCE中有两条边相等;
②先证$∠ DCE=90°$,根据勾股定理得到$DC^2 + CE^2 = DE^2$,再由旋转得到全等三角形,进而得到相等的线段,证得结论.
【解答过程】 (1)正方形、矩形、直角梯形中任写两个;
(2)①证明:∵△ABC≌△DBE,
∴$BC=BE$,
∵$∠ CBE=60°$,
∴△BCE是等边三角形;
②证明:∵△ABC≌△DBE,
∴$AC=DE$,
∵△BCE是等边三角形,
∴$BC=CE,∠ BCE=60°$,
∵$∠ DCB=30°$,
∴$∠ DCE=90°$,
∴在$Rt△ DCE$中,$DC^2 + CE^2 = DE^2$,
∴$DC^2 + BC^2 = AC^2$,
即四边形ABCD是勾股四边形.
【易错点睛】 由于不能很好地理解勾股四边形的概念,导致无法解题.
【方法规律】 阅读理解题考查学生的阅读理解能力,解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的“新定义”,弄清新定义隐含了什么我们曾学过的知识,通过知识的迁移来解决题目中提出的问题.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转$60°$得到△DBE,连接AD,DC,CE.已知$∠ DCB=30°$.
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:$DC^2 + BC^2 = AC^2$,即四边形ABCD是勾股四边形.
【解题思路】 (1)只需写出所学过的有一个角是直角的四边形即可;
(2)①由于$∠ CBE=60°$,可通过证明△BCE中有两条边相等;
②先证$∠ DCE=90°$,根据勾股定理得到$DC^2 + CE^2 = DE^2$,再由旋转得到全等三角形,进而得到相等的线段,证得结论.
【解答过程】 (1)正方形、矩形、直角梯形中任写两个;
(2)①证明:∵△ABC≌△DBE,
∴$BC=BE$,
∵$∠ CBE=60°$,
∴△BCE是等边三角形;
②证明:∵△ABC≌△DBE,
∴$AC=DE$,
∵△BCE是等边三角形,
∴$BC=CE,∠ BCE=60°$,
∵$∠ DCB=30°$,
∴$∠ DCE=90°$,
∴在$Rt△ DCE$中,$DC^2 + CE^2 = DE^2$,
∴$DC^2 + BC^2 = AC^2$,
即四边形ABCD是勾股四边形.
【易错点睛】 由于不能很好地理解勾股四边形的概念,导致无法解题.
【方法规律】 阅读理解题考查学生的阅读理解能力,解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的“新定义”,弄清新定义隐含了什么我们曾学过的知识,通过知识的迁移来解决题目中提出的问题.
答案
解：(1) 正方形、矩形。
①证明：
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴$BC=BE$。
又∵$∠CBE=60°$，
∴△BCE是等边三角形。
②证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴$AC=DE$。
∵△BCE是等边三角形，
∴$BC=CE$，$∠BCE=60°$。
∵$∠DCB=30°$，
∴$∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°$。
∴在$Rt△DCE$中，由勾股定理得$DC^2 + CE^2 = DE^2$。
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
①证明：
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴$BC=BE$。
又∵$∠CBE=60°$，
∴△BCE是等边三角形。
②证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴$AC=DE$。
∵△BCE是等边三角形，
∴$BC=CE$，$∠BCE=60°$。
∵$∠DCB=30°$，
∴$∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°$。
∴在$Rt△DCE$中，由勾股定理得$DC^2 + CE^2 = DE^2$。
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
解析
【分析】
(1)首先明确勾股四边形的定义：四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方。结合勾股定理可知，存在直角的特殊四边形中，直角的两条邻边的平方和等于对应对角线的平方，因此只需从学过的含直角的特殊四边形中任选两种即可。
(2)①先利用旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，可得对应边$BC=BE$，且旋转角$∠CBE=60°$，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
②要证$DC^2 + BC^2 = AC^2$，需将相关线段转化到同一个直角三角形中：首先由旋转全等可得$AC=DE$，再结合①的结论得$BC=CE$、$∠BCE=60°$，结合已知$∠DCB=30°$可推出$∠DCE=90°$，在$Rt△DCE$中应用勾股定理，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 选择正方形、矩形作为勾股四边形（答案不唯一，直角梯形也符合要求）。
①证明：
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴$BC=BE$。
又
∵$∠CBE=60°$，
∴△BCE是等边三角形。
②证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴$AC=DE$。
∵△BCE是等边三角形，
∴$BC=CE$，$∠BCE=60°$。
∵$∠DCB=30°$，
∴$∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°$。
∴在$Rt△DCE$中，由勾股定理得$DC^2 + CE^2 = DE^2$。
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
【答案】
(1) 正方形、矩形（答案不唯一）；
①△BCE是等边三角形，证明过程如上；
②$DC^2 + BC^2 = AC^2$成立，四边形ABCD是勾股四边形，证明过程如上。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于新定义类几何综合题，解题核心是准确理解“勾股四边形”的定义，将新定义问题转化为已学的几何知识求解，侧重考察基础几何知识点的综合应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)首先明确勾股四边形的定义：四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方。结合勾股定理可知，存在直角的特殊四边形中，直角的两条邻边的平方和等于对应对角线的平方，因此只需从学过的含直角的特殊四边形中任选两种即可。
(2)①先利用旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，可得对应边$BC=BE$，且旋转角$∠CBE=60°$，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
②要证$DC^2 + BC^2 = AC^2$，需将相关线段转化到同一个直角三角形中：首先由旋转全等可得$AC=DE$，再结合①的结论得$BC=CE$、$∠BCE=60°$，结合已知$∠DCB=30°$可推出$∠DCE=90°$，在$Rt△DCE$中应用勾股定理，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 选择正方形、矩形作为勾股四边形（答案不唯一，直角梯形也符合要求）。
①证明：
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴$BC=BE$。
又
∵$∠CBE=60°$，
∴△BCE是等边三角形。
②证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴$AC=DE$。
∵△BCE是等边三角形，
∴$BC=CE$，$∠BCE=60°$。
∵$∠DCB=30°$，
∴$∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°$。
∴在$Rt△DCE$中，由勾股定理得$DC^2 + CE^2 = DE^2$。
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
【答案】
(1) 正方形、矩形（答案不唯一）；
①△BCE是等边三角形，证明过程如上；
②$DC^2 + BC^2 = AC^2$成立，四边形ABCD是勾股四边形，证明过程如上。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于新定义类几何综合题，解题核心是准确理解“勾股四边形”的定义，将新定义问题转化为已学的几何知识求解，侧重考察基础几何知识点的综合应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是
36°
。答案
36°
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形的两个底角度数相等；同时牢记三角形内角和为180°。我们可以通过设未知数的方法，把底角的度数设为x，结合题目给出的顶角是底角的3倍，表示出顶角的度数，再根据三个角的度数和为180°列方程求解即可。
【解析】
解：设等腰三角形的底角度数为$x°$，
因为等腰三角形两个底角相等，且顶角的度数是底角的3倍，所以顶角度数为$3x°$。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + x + 3x = 180$
合并同类项得：$5x = 180$
解得：$x = 36$
即底角的度数是36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等腰三角形角的相关性质以及三角形内角和的应用，利用方程思想求解角度是这类题的常用方法，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形的两个底角度数相等；同时牢记三角形内角和为180°。我们可以通过设未知数的方法，把底角的度数设为x，结合题目给出的顶角是底角的3倍，表示出顶角的度数，再根据三个角的度数和为180°列方程求解即可。
【解析】
解：设等腰三角形的底角度数为$x°$，
因为等腰三角形两个底角相等，且顶角的度数是底角的3倍，所以顶角度数为$3x°$。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + x + 3x = 180$
合并同类项得：$5x = 180$
解得：$x = 36$
即底角的度数是36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等腰三角形角的相关性质以及三角形内角和的应用，利用方程思想求解角度是这类题的常用方法，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=
√3
。答案
√3
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：第一步，先回忆等边三角形的性质，等边三角形三线合一（中线、角平分线、高重合），且每个内角都是60°，已知BD是中线，可推出BD同时是角平分线和高，得到∠DBC的度数、AC与CD的数量关系；第二步，根据CE=CD可知△CDE是等腰三角形，结合外角性质计算出∠E的度数，发现∠DBC=∠E，即可推出BD=DE，将求DE的长度转化为求BD的长度；第三步，在直角三角形BDC中用勾股定理计算BD的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BD为中线
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，BD⊥AC，AC=2CD
已知CD=1，
∴AC=BC=2×1=2，∠DBC=½∠ABC=30°
∵CD=CE=1，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠E
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
BD=√(BC²-CD²)=√(2²-1²)=√3
∴DE=BD=√3
【答案】
√3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形的基础综合题，核心是通过角度推导将未知线段DE转化为已知直角三角形的边BD，解题时需熟练掌握等边三角形、等腰三角形的性质，结合勾股定理计算即可，是特殊三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：第一步，先回忆等边三角形的性质，等边三角形三线合一（中线、角平分线、高重合），且每个内角都是60°，已知BD是中线，可推出BD同时是角平分线和高，得到∠DBC的度数、AC与CD的数量关系；第二步，根据CE=CD可知△CDE是等腰三角形，结合外角性质计算出∠E的度数，发现∠DBC=∠E，即可推出BD=DE，将求DE的长度转化为求BD的长度；第三步，在直角三角形BDC中用勾股定理计算BD的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BD为中线
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，BD⊥AC，AC=2CD
已知CD=1，
∴AC=BC=2×1=2，∠DBC=½∠ABC=30°
∵CD=CE=1，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠E
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
BD=√(BC²-CD²)=√(2²-1²)=√3
∴DE=BD=√3
【答案】
√3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形的基础综合题，核心是通过角度推导将未知线段DE转化为已知直角三角形的边BD，解题时需熟练掌握等边三角形、等腰三角形的性质，结合勾股定理计算即可，是特殊三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了
4
步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草。答案
4
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形可知，拐角处为直角，原来走拐角的路程是两条直角边的长度和，走“捷径”的路程是直角三角形的斜边长度。第一步先用勾股定理计算出斜边的长度；第二步计算走捷径比走拐角少走的路程；最后根据“2步为1m”的换算关系，将少走的路程转换为少走的步数即可。
【解析】
解：首先计算走拐角的总路程：
$3+4=7(\mathrm{m})$
根据勾股定理，走捷径的小路长度（即直角三角形斜边长度）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(\mathrm{m})$
则少走的路程为：
$7-5=2(\mathrm{m})$
已知2步为1m，所以少走的步数为：
$2×2=4(\mathrm{步})$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的应用，路程差计算，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查基础知识点，需要注意不要遗漏最后长度和步数的换算步骤，同时也引导学生要爱护公共环境，不要踩踏花草。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形可知，拐角处为直角，原来走拐角的路程是两条直角边的长度和，走“捷径”的路程是直角三角形的斜边长度。第一步先用勾股定理计算出斜边的长度；第二步计算走捷径比走拐角少走的路程；最后根据“2步为1m”的换算关系，将少走的路程转换为少走的步数即可。
【解析】
解：首先计算走拐角的总路程：
$3+4=7(\mathrm{m})$
根据勾股定理，走捷径的小路长度（即直角三角形斜边长度）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(\mathrm{m})$
则少走的路程为：
$7-5=2(\mathrm{m})$
已知2步为1m，所以少走的步数为：
$2×2=4(\mathrm{步})$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的应用，路程差计算，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查基础知识点，需要注意不要遗漏最后长度和步数的换算步骤，同时也引导学生要爱护公共环境，不要踩踏花草。
【难度系数】
0.8
4. 在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=50°$，则$∠ B=$
65°
.答案
65°
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出△ABC是等腰三角形，且AB=AC，说明∠B和∠C是该等腰三角形的两个底角，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可推出∠B=∠C；已知顶角∠A=50°，结合三角形内角和为180°的定理，就可以计算出底角∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 在等腰△ABC中，AB=AC
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
∵ 三角形内角和为180°，∠A=50°
∴ $∠ B=(180°-∠ A)÷2$
$=(180°-50°)÷2$
$=130°÷2$
$=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质的应用和三角形内角和定理的掌握，解题的核心是准确识别等腰三角形的底角，结合内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：题目给出△ABC是等腰三角形，且AB=AC，说明∠B和∠C是该等腰三角形的两个底角，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可推出∠B=∠C；已知顶角∠A=50°，结合三角形内角和为180°的定理，就可以计算出底角∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 在等腰△ABC中，AB=AC
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
∵ 三角形内角和为180°，∠A=50°
∴ $∠ B=(180°-∠ A)÷2$
$=(180°-50°)÷2$
$=130°÷2$
$=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质的应用和三角形内角和定理的掌握，解题的核心是准确识别等腰三角形的底角，结合内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F,若∠F=30°,DE=1,则 BE 的长是
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的夹角为90°；再结合直角三角形中两锐角互余的性质，由已知的∠F=30°逐步推导相关角的度数，得到Rt△BDE中30°的锐角，最后利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质求出BE的长度。
【解析】
1. 因为DE是AB的垂直平分线，所以BE=AE，且∠EDB=90°。
2. 在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∠F=30°，所以∠DBF=90°-∠F=60°。
3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=∠DBF=60°，所以∠A=90°-60°=30°。
4. 由BE=AE可得∠ABE=∠A=30°。
5. 在Rt△BDE中，∠EDB=90°，∠DBE=30°，所以30°角所对的直角边DE等于斜边BE的一半，即BE=2DE。
已知DE=1，代入得BE=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是特殊三角形相关性质的综合基础题，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成边角关系的转化，再结合直角三角形的特殊性质求解，这类题型是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直平分线入手，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的夹角为90°；再结合直角三角形中两锐角互余的性质，由已知的∠F=30°逐步推导相关角的度数，得到Rt△BDE中30°的锐角，最后利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质求出BE的长度。
【解析】
1. 因为DE是AB的垂直平分线，所以BE=AE，且∠EDB=90°。
2. 在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∠F=30°，所以∠DBF=90°-∠F=60°。
3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=∠DBF=60°，所以∠A=90°-60°=30°。
4. 由BE=AE可得∠ABE=∠A=30°。
5. 在Rt△BDE中，∠EDB=90°，∠DBE=30°，所以30°角所对的直角边DE等于斜边BE的一半，即BE=2DE。
已知DE=1，代入得BE=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是特殊三角形相关性质的综合基础题，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成边角关系的转化，再结合直角三角形的特殊性质求解，这类题型是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
