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2.下面数轴上点 A 用假分数表示是(
$\frac{8}{5}$
),点 B 用带分数表示是($3\frac{4}{5}$
)。答案
2.$\frac{8}{5}$ $3\frac{4}{5}$
解析
【分析】首先观察数轴，0到1之间被平均分成5份，因此每1小格代表$\frac{1}{5}$。确定点A、B对应的格数：点A从0开始数共8小格，点B从0开始数共19小格，再根据假分数和带分数的定义转换即可。
【解析】1. 确定数轴的单位长度：0到1之间平均分成5份，每份为$\frac{1}{5}$；
2. 点A对应的数值：8个$\frac{1}{5}$，即$\frac{8}{5}$；
3. 点B对应的数值：19个$\frac{1}{5}$，19÷5=3余4，所以带分数为$3\frac{4}{5}$。
【答案】$\frac{8}{5}$；$3\frac{4}{5}$
【知识点】数轴与分数、假分数、带分数
【点评】本题考查数轴上分数的表示，核心是确定数轴的单位长度，再通过数格数得到对应分数，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】1. 确定数轴的单位长度：0到1之间平均分成5份，每份为$\frac{1}{5}$；
2. 点A对应的数值：8个$\frac{1}{5}$，即$\frac{8}{5}$；
3. 点B对应的数值：19个$\frac{1}{5}$，19÷5=3余4，所以带分数为$3\frac{4}{5}$。
【答案】$\frac{8}{5}$；$3\frac{4}{5}$
【知识点】数轴与分数、假分数、带分数
【点评】本题考查数轴上分数的表示，核心是确定数轴的单位长度，再通过数格数得到对应分数，属于基础题型。
【难度系数】0.7
3. ()÷16=$\frac{(\quad)}{24}$=0.125=12÷()=$\frac{3+(\quad)}{24+8}$
答案
3. 2 3 96 1
解析
【分析】先将已知的0.125转化为最简分数$\frac{1}{8}$，再结合分数与除法的关系、分数的基本性质、商不变的规律，逐个计算每个括号内的数：①求被除数时，利用“被除数=除数×商”；②求分数的分子时，根据分数基本性质，分母扩大几倍，分子也扩大相同倍数；③求除数时，利用“除数=被除数÷商”；④求分子中的加数时，先算出新分母，再根据分数基本性质得新分子，最后减去3即可。
【解析】首先，$0.125=\frac{1}{8}$。
1. 计算第一个空：（ ）÷16=$\frac{1}{8}$，根据“被除数=除数×商”，得$16×\frac{1}{8}=2$；
2. 计算第二个空：$\frac{( )}{24}=\frac{1}{8}$，分母8变为24，扩大了$24÷8=3$倍，根据分数基本性质，分子也扩大3倍，即$1×3=3$；
3. 计算第三个空：$12÷( )=\frac{1}{8}$，根据“除数=被除数÷商”，得$12÷\frac{1}{8}=96$；
4. 计算第四个空：$\frac{3+( )}{24+8}=\frac{1}{8}$，新分母为$24+8=32$，分母8变为32，扩大了$32÷8=4$倍，新分子为$1×4=4$，所以$3+( )=4$，得$( )=1$。
【答案】2 3 96 1
【知识点】分数的基本性质、分数与除法的关系、小数与分数的互化
【点评】本题是数的转化的基础题型，主要考察小数、分数、除法之间的联系及相关性质，只要掌握基础的数的运算规则即可快速解答，属于必拿分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】首先，$0.125=\frac{1}{8}$。
1. 计算第一个空：（ ）÷16=$\frac{1}{8}$，根据“被除数=除数×商”，得$16×\frac{1}{8}=2$；
2. 计算第二个空：$\frac{( )}{24}=\frac{1}{8}$，分母8变为24，扩大了$24÷8=3$倍，根据分数基本性质，分子也扩大3倍，即$1×3=3$；
3. 计算第三个空：$12÷( )=\frac{1}{8}$，根据“除数=被除数÷商”，得$12÷\frac{1}{8}=96$；
4. 计算第四个空：$\frac{3+( )}{24+8}=\frac{1}{8}$，新分母为$24+8=32$，分母8变为32，扩大了$32÷8=4$倍，新分子为$1×4=4$，所以$3+( )=4$，得$( )=1$。
【答案】2 3 96 1
【知识点】分数的基本性质、分数与除法的关系、小数与分数的互化
【点评】本题是数的转化的基础题型，主要考察小数、分数、除法之间的联系及相关性质，只要掌握基础的数的运算规则即可快速解答，属于必拿分的基础题。
【难度系数】0.8
4.要使8$□$5$□$能同时被2,3,5整除,个位上只能填(
0
),百位上最小可以填(2
)。答案
4. 0 2
解析
【分析】要使一个数同时被2、3、5整除，需先明确这三个数的整除特征：能被2整除的数个位是偶数，能被5整除的数个位是0或5，能被3整除的数各位数字之和是3的倍数。先根据2和5的整除特征确定个位数字，再结合3的整除特征找百位的最小值。
【解析】1. 确定个位：同时满足被2和5整除，个位只能是0（因为只有个位为0时，才同时符合2和5的整除要求）；2. 确定百位：此时数为8□50，各位数字之和为8+□+5+0=13+□，要使13+□是3的倍数，□可填2、5、8，其中最小的是2。
【答案】0；2
【知识点】2、3、5的倍数特征
【点评】本题考查2、3、5的倍数特征的综合应用，需牢记各数的整除特征，逐步推导即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】1. 确定个位：同时满足被2和5整除，个位只能是0（因为只有个位为0时，才同时符合2和5的整除要求）；2. 确定百位：此时数为8□50，各位数字之和为8+□+5+0=13+□，要使13+□是3的倍数，□可填2、5、8，其中最小的是2。
【答案】0；2
【知识点】2、3、5的倍数特征
【点评】本题考查2、3、5的倍数特征的综合应用，需牢记各数的整除特征，逐步推导即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.7
5.把$2\dfrac{4}{7}$，2.35，$\dfrac{13}{6}$，$\dfrac{11}{16}$，2.035这五个数按从大到小的顺序排列起来。
知
知
答案
5.$2\frac{4}{7}＞2.35＞\frac{13}{6}＞2.035＞\frac{11}{16}$
解析
【分析】要比较带分数、小数、真分数的大小，不同形式的数无法直接对比，因此先将所有带分数、分数转化为小数，统一成小数形式后，按照小数大小比较的规则（从高位到低位依次比较：先比整数部分，整数部分相同则比十分位，再比百分位……）进行排序，这样操作简便且不易出错。
【解析】1. 把带分数、分数化为小数：
$2\dfrac{4}{7} = 2 + 4÷7 \approx 2.571$
$\dfrac{13}{6} = 13÷6 \approx 2.167$
$\dfrac{11}{16} = 11÷16 = 0.6875$
2. 得到所有数的小数形式：$2.571$、$2.35$、$2.167$、$0.6875$、$2.035$
3. 按小数大小比较规则排序：
整数部分为0的$0.6875$最小；整数部分为2的数中，十分位5＞3＞1＞0，对应数为$2.571＞2.35＞2.167＞2.035$；
因此从大到小排列为：$2\dfrac{4}{7}＞2.35＞\dfrac{13}{6}＞2.035＞\dfrac{11}{16}$
【答案】$2\dfrac{4}{7}＞2.35＞\dfrac{13}{6}＞2.035＞\dfrac{11}{16}$
【知识点】分数与小数的互化、小数大小比较
【点评】本题是数的大小比较的基础题型，核心方法是将不同形式的数统一为小数后再比较，考查分数化小数和小数比较的基本技能，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.6
【解析】1. 把带分数、分数化为小数：
$2\dfrac{4}{7} = 2 + 4÷7 \approx 2.571$
$\dfrac{13}{6} = 13÷6 \approx 2.167$
$\dfrac{11}{16} = 11÷16 = 0.6875$
2. 得到所有数的小数形式：$2.571$、$2.35$、$2.167$、$0.6875$、$2.035$
3. 按小数大小比较规则排序：
整数部分为0的$0.6875$最小；整数部分为2的数中，十分位5＞3＞1＞0，对应数为$2.571＞2.35＞2.167＞2.035$；
因此从大到小排列为：$2\dfrac{4}{7}＞2.35＞\dfrac{13}{6}＞2.035＞\dfrac{11}{16}$
【答案】$2\dfrac{4}{7}＞2.35＞\dfrac{13}{6}＞2.035＞\dfrac{11}{16}$
【知识点】分数与小数的互化、小数大小比较
【点评】本题是数的大小比较的基础题型，核心方法是将不同形式的数统一为小数后再比较，考查分数化小数和小数比较的基本技能，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.6
6.右图是一个正方体的表面展开图,将它围成正方体后,与“知”相对的面上的字是(
量
)。答案
6. 量
解析
【分析】首先明确该正方体展开图属于“一四一”型（中间4个面，上下各1个面）。在正方体表面展开图中，“一四一”结构的相对面规律为：中间4个面里，相对面间隔排列；上下两个单独的面互为相对面。我们只需找到“知”所在面对应的相对位置即可。
【解析】该展开图中，中间一行的4个面为“识”“就”“是”“力”，“知”在中间行的上方，“量”在中间行的下方，根据“一四一”型展开图上下单独面为相对面的规律，可知与“知”相对的面是“量”。
【答案】量
【知识点】正方体展开图、相对面判断
【点评】本题考查正方体表面展开图相对面的判断，核心是掌握“一四一”型展开图的相对面规律，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】该展开图中，中间一行的4个面为“识”“就”“是”“力”，“知”在中间行的上方，“量”在中间行的下方，根据“一四一”型展开图上下单独面为相对面的规律，可知与“知”相对的面是“量”。
【答案】量
【知识点】正方体展开图、相对面判断
【点评】本题考查正方体表面展开图相对面的判断，核心是掌握“一四一”型展开图的相对面规律，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
7.有8个材质、大小、形状相同的零件，其中一个是次品（次品重一些）。明明先给小球编上号，再用天平称了两次找到这个次品（如右图所示）。由此可知，（$\boldsymbol{}$）号零件是次品。
答案
7. ②
解析
【分析】首先明确天平称量的原理：下沉一侧的物体更重，题目中次品是重的那个。第一次称量中，左边是1、2、3，右边是4、5、6，左边下沉，说明1、2、3整体比4、5、6重，因此次品在1、2、3中；第二次称量中，左边是1，右边是2，右边下沉，说明2比1重，结合次品重的条件，就能确定次品。
【解析】解：根据天平下沉侧更重的特点，结合次品重一些的条件：
1. 第一次称量：左侧1、2、3，右侧4、5、6，左侧下沉，可得1+2+3 ＞ 4+5+6，因此次品在1、2、3三个零件里；
2. 第二次称量：左侧1，右侧2，右侧下沉，可得2 ＞ 1，所以2号零件是次品。
【答案】②
【知识点】找次品，天平的平衡原理
【点评】本题通过两次天平称量逐步缩小次品范围，利用逻辑推理确定次品，是典型的找次品问题，考查了学生的分析推理能力。
【难度系数】0.6
【解析】解：根据天平下沉侧更重的特点，结合次品重一些的条件：
1. 第一次称量：左侧1、2、3，右侧4、5、6，左侧下沉，可得1+2+3 ＞ 4+5+6，因此次品在1、2、3三个零件里；
2. 第二次称量：左侧1，右侧2，右侧下沉，可得2 ＞ 1，所以2号零件是次品。
【答案】②
【知识点】找次品，天平的平衡原理
【点评】本题通过两次天平称量逐步缩小次品范围，利用逻辑推理确定次品，是典型的找次品问题，考查了学生的分析推理能力。
【难度系数】0.6
8. 用一条长40cm的铁丝围成一个长方体(接口处忽略不计),如果长、宽、高是三个不同的质数,那么这个长方体的体积是(
30
)$\mathrm{cm}^3$。答案
8. 30 解析:$40÷4=10(cm),10=2+3+5$,所以长、宽、高分别是5cm,3cm,2cm,$5×3×2=30(cm^3)$。
解析
【分析】首先根据长方体棱长总和公式算出长、宽、高的和，再结合质数的性质确定三个不同的质数，最后利用长方体体积公式计算体积。
【解析】长方体的棱长总和=4×(长+宽+高)，已知铁丝长40cm，因此长+宽+高=40÷4=10(cm)。质数是大于1且除了1和自身外无其他因数的数，三个不同质数相加和为10，由于除2外所有质数都是奇数，奇数+奇数+偶数=偶数，10是偶数，故三个质数中必有2；剩余两个质数的和为10-2=8，符合条件的不同质数为3和5，因此长、宽、高分别为5cm、3cm、2cm。长方体体积=长×宽×高=5×3×2=30(cm³)。
【答案】30
【知识点】长方体棱长与体积计算、质数的概念
【点评】本题需结合长方体棱长公式和质数性质确定长、宽、高，再计算体积，关键是利用质数的奇偶性找到符合条件的三个数，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】长方体的棱长总和=4×(长+宽+高)，已知铁丝长40cm，因此长+宽+高=40÷4=10(cm)。质数是大于1且除了1和自身外无其他因数的数，三个不同质数相加和为10，由于除2外所有质数都是奇数，奇数+奇数+偶数=偶数，10是偶数，故三个质数中必有2；剩余两个质数的和为10-2=8，符合条件的不同质数为3和5，因此长、宽、高分别为5cm、3cm、2cm。长方体体积=长×宽×高=5×3×2=30(cm³)。
【答案】30
【知识点】长方体棱长与体积计算、质数的概念
【点评】本题需结合长方体棱长公式和质数性质确定长、宽、高，再计算体积，关键是利用质数的奇偶性找到符合条件的三个数，难度适中。
【难度系数】0.5
9.一个野外救援队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任务必须一对一进行传达，如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要(
4
)分钟才能通知到所有队员。答案
9. 4 解析:$2^4-1=15$(名)。
解析
【分析】
解决这个问题的关键是发现打电话通知的最优规律：每分钟，所有已经接到通知的队员和队长都可以同时通知1名新队员，因此每分钟新增的通知人数是前一分钟总人数的2倍，第n分钟最多能通知的总人数为$2^n -1$人。我们只需将需要通知的队员数代入公式，即可求出所需时间。
【解析】
根据打电话通知的规律，第n分钟最多可通知到的队员总数为$2^n -1$人。当需要通知15名队员时，令$2^n -1 =15$，解得$2^n=16$，即$n=4$，因此至少需要4分钟。
【答案】
4
【知识点】
优化策略、打电话问题
【点评】
本题是优化策略在实际生活中的典型应用，通过分析通知人数的增长规律，利用指数运算快速求解，体现了合理安排时间的思想，难度适中。
【难度系数】
0.6
解决这个问题的关键是发现打电话通知的最优规律：每分钟，所有已经接到通知的队员和队长都可以同时通知1名新队员，因此每分钟新增的通知人数是前一分钟总人数的2倍，第n分钟最多能通知的总人数为$2^n -1$人。我们只需将需要通知的队员数代入公式，即可求出所需时间。
【解析】
根据打电话通知的规律，第n分钟最多可通知到的队员总数为$2^n -1$人。当需要通知15名队员时，令$2^n -1 =15$，解得$2^n=16$，即$n=4$，因此至少需要4分钟。
【答案】
4
【知识点】
优化策略、打电话问题
【点评】
本题是优化策略在实际生活中的典型应用，通过分析通知人数的增长规律，利用指数运算快速求解，体现了合理安排时间的思想，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 如右图，用小正方体拼成大正方体后，把它们的表面涂上颜色。三面涂色的小正方体有（
8
）块，两面涂色的有（12
）块。答案
10. 8 12 解析:三面涂色的都在顶点处,所以一共有8块。两面涂色的有$(3-2)×12=12$(块)。
解析
【分析】
要解决这个问题，先观察大正方体的结构：该大正方体由3行、3列、3层的小正方体组成，即每条棱上有3个小正方体。根据小正方体在大正方体中的位置，可判断涂色面数：三面涂色的在正方体顶点处，两面涂色的在每条棱的中间（不含顶点），一面涂色的在每个面的中心，未涂色的在内部。因此只需分别计算顶点和棱上符合条件的小正方体数量即可。
【解析】
1. 计算三面涂色的小正方体：正方体共有8个顶点，每个顶点处的小正方体都有3个面露在外面，因此三面涂色的小正方体数量为8块。
2. 计算两面涂色的小正方体：每条棱上有3个小正方体，去掉两端的2个顶点处的小正方体，每条棱上有$3-2=1$个两面涂色的小正方体；正方体共有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量为$1×12=12$块。
【答案】
8；12
【知识点】
正方体特征、立体图形涂色计数
【点评】
本题考查正方体表面涂色的规律应用，核心是明确不同位置小正方体的涂色面数特点，是常见的立体图形计数问题，需掌握此类问题的基本计算方法。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，先观察大正方体的结构：该大正方体由3行、3列、3层的小正方体组成，即每条棱上有3个小正方体。根据小正方体在大正方体中的位置，可判断涂色面数：三面涂色的在正方体顶点处，两面涂色的在每条棱的中间（不含顶点），一面涂色的在每个面的中心，未涂色的在内部。因此只需分别计算顶点和棱上符合条件的小正方体数量即可。
【解析】
1. 计算三面涂色的小正方体：正方体共有8个顶点，每个顶点处的小正方体都有3个面露在外面，因此三面涂色的小正方体数量为8块。
2. 计算两面涂色的小正方体：每条棱上有3个小正方体，去掉两端的2个顶点处的小正方体，每条棱上有$3-2=1$个两面涂色的小正方体；正方体共有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量为$1×12=12$块。
【答案】
8；12
【知识点】
正方体特征、立体图形涂色计数
【点评】
本题考查正方体表面涂色的规律应用，核心是明确不同位置小正方体的涂色面数特点，是常见的立体图形计数问题，需掌握此类问题的基本计算方法。
【难度系数】
0.3
11.阅读并理解虚线框中的学习材料，直接写出下面算式的得数。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=$
小敏：除了用通分的方法计算外，
我还发现 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
小慧：按照小敏的方法，
我发现 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。
(1)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=$
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{512}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=$
小敏：除了用通分的方法计算外，
我还发现 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
小慧：按照小敏的方法，
我发现 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。
(1)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=$
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{512}=$
答案
11.(1)$\frac{15}{16}$ (2)$\frac{511}{512}$
解析
【分析】
先观察题目给出的示例，小敏和小慧的计算方法显示：分子为1，分母依次是2、4、8…（后一个分母是前一个的2倍）的分数相加时，和等于1减去算式中的最后一个分数。解题时需先总结该规律，再应用到题目的两个小题中，找到每个算式的最后一个分数，用1减去它即可得到结果。
【解析】
观察已知算式：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$，
可总结规律：对于算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，结果为$1-\frac{1}{2^n}$。
(1) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$中，最后一个分数是$\frac{1}{16}$，对应$2^4=16$，因此结果为$1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$；
(2) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{512}$中，最后一个分数是$\frac{1}{512}$，对应$2^9=512$，因此结果为$1-\frac{1}{512}=\frac{511}{512}$。
【答案】
(1)$\frac{15}{16}$ (2)$\frac{511}{512}$
【知识点】
分数加法、找规律
【点评】
本题通过示例引导学生归纳分数求和的简便规律，培养观察与归纳能力，利用规律可快速计算此类分数加法，简化运算过程。
【难度系数】
0.3
先观察题目给出的示例，小敏和小慧的计算方法显示：分子为1，分母依次是2、4、8…（后一个分母是前一个的2倍）的分数相加时，和等于1减去算式中的最后一个分数。解题时需先总结该规律，再应用到题目的两个小题中，找到每个算式的最后一个分数，用1减去它即可得到结果。
【解析】
观察已知算式：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$，
可总结规律：对于算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，结果为$1-\frac{1}{2^n}$。
(1) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$中，最后一个分数是$\frac{1}{16}$，对应$2^4=16$，因此结果为$1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$；
(2) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{512}$中，最后一个分数是$\frac{1}{512}$，对应$2^9=512$，因此结果为$1-\frac{1}{512}=\frac{511}{512}$。
【答案】
(1)$\frac{15}{16}$ (2)$\frac{511}{512}$
【知识点】
分数加法、找规律
【点评】
本题通过示例引导学生归纳分数求和的简便规律，培养观察与归纳能力，利用规律可快速计算此类分数加法，简化运算过程。
【难度系数】
0.3
