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1.a和b是两个连续的自然数，它们的公因数是()。
A.1
B.a
C.b
D.ab
A.1
B.a
C.b
D.ab
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心概念：一是连续自然数（相邻的非0自然数，如2和3、5和6等），二是公因数（几个数公有的因数）。我们可以通过举例验证的方法，推导连续自然数的公因数，进而确定答案。
【解析】
连续的两个非0自然数，除了1之外没有其他共同的因数，即它们的公因数只有1。举例验证：取连续自然数2和3，它们的因数分别是1、2和1、3，公有的因数仅为1；再取4和5，公有的因数同样只有1。因此，任意两个连续自然数的公因数是1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因数、连续自然数
【点评】
本题考查基础数论概念，通过简单举例即可快速得出结论，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心概念：一是连续自然数（相邻的非0自然数，如2和3、5和6等），二是公因数（几个数公有的因数）。我们可以通过举例验证的方法，推导连续自然数的公因数，进而确定答案。
【解析】
连续的两个非0自然数，除了1之外没有其他共同的因数，即它们的公因数只有1。举例验证：取连续自然数2和3，它们的因数分别是1、2和1、3，公有的因数仅为1；再取4和5，公有的因数同样只有1。因此，任意两个连续自然数的公因数是1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因数、连续自然数
【点评】
本题考查基础数论概念，通过简单举例即可快速得出结论，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
2. 大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数有()个。
A.1
B.2
C.3
D.无数
A.1
B.2
C.3
D.无数
答案
2.D
解析
【分析】很多同学会局限于同分母分数的情况，误以为大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数只有1个，从而误选。但实际上，分数的分母可以灵活调整，当把两个分数的分母扩大时，中间会出现更多分数，且分母可无限增大，因此中间的分数数量是无数个，需打破同分母的思维局限。
【解析】判断大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数个数：①同分母时，两者之间仅$\frac{6}{9}$这1个分数；②若将分母扩大，比如变为18，$\frac{5}{9}=\frac{10}{18}$，$\frac{7}{9}=\frac{14}{18}$，中间有$\frac{11}{18}$、$\frac{12}{18}$、$\frac{13}{18}$共3个分数；③若分母继续无限扩大（如27、36……），中间的分数会越来越多，因此大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数有无数个。
【答案】D
【知识点】分数的大小比较
【点评】本题易错点是仅考虑同分母分数的情况，忽略了分数分母可无限细分的特性，考查对分数大小的灵活理解，需打破思维定式。
【难度系数】0.5
【解析】判断大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数个数：①同分母时，两者之间仅$\frac{6}{9}$这1个分数；②若将分母扩大，比如变为18，$\frac{5}{9}=\frac{10}{18}$，$\frac{7}{9}=\frac{14}{18}$，中间有$\frac{11}{18}$、$\frac{12}{18}$、$\frac{13}{18}$共3个分数；③若分母继续无限扩大（如27、36……），中间的分数会越来越多，因此大于$\frac{5}{9}$且小于$\frac{7}{9}$的分数有无数个。
【答案】D
【知识点】分数的大小比较
【点评】本题易错点是仅考虑同分母分数的情况，忽略了分数分母可无限细分的特性，考查对分数大小的灵活理解，需打破思维定式。
【难度系数】0.5
3.妈妈买了40多个鸡蛋,如果把这些鸡蛋装进4个一排的蛋托中,正好装完;如果把它们装进6个一排的蛋托中,也正好装完,这些鸡蛋一共有()个。
A.12
B.24
C.42
D.48
A.12
B.24
C.42
D.48
答案
3.D
解析
【分析】首先，题目中“正好装完”说明鸡蛋总数是4和6的公倍数，且鸡蛋数量在40~50之间，因此需要先求出4和6的公倍数，再结合数量范围筛选出正确答案。
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：分解质因数，4=2×2，6=2×3，最小公倍数为2×2×3=12；2. 列出12的倍数：12、24、36、48、60……；3. 结合“40多个”的条件，符合范围的公倍数是48，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公倍数、最小公倍数
【点评】本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“正好装完”的含义，通过求公倍数并结合数量范围即可得出结果，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：分解质因数，4=2×2，6=2×3，最小公倍数为2×2×3=12；2. 列出12的倍数：12、24、36、48、60……；3. 结合“40多个”的条件，符合范围的公倍数是48，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公倍数、最小公倍数
【点评】本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“正好装完”的含义，通过求公倍数并结合数量范围即可得出结果，难度不大。
【难度系数】0.6
4.把一根绳子分成A,B两段,A段长度占这根绳子的$\frac{3}{5}$,B段长$\frac{3}{5}$米,比较A,B两段绳子的长短,你认为()。
A.两段一样长
B.A段长一些
C.B段长一些
D.无法比较
A.两段一样长
B.A段长一些
C.B段长一些
D.无法比较
答案
4.B
解析
【分析】要比较A、B两段绳子的长短，需先确定两段分别占全长的比例。把整根绳子看作单位“1”，已知A段占全长的$\frac{3}{5}$，先算出B段占全长的分率，再比较两个分率的大小，分率大的那段更长，无需计算总长度，避免被B段的具体长度干扰。
【解析】将这根绳子的总长度看作单位“1”，A段占全长的$\frac{3}{5}$，则B段占全长的：$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$。因为$\frac{3}{5} ＞ \frac{2}{5}$，所以A段比B段长，答案选B。
【答案】B
【知识点】分数的意义；分数大小比较
【点评】本题考查分数意义的实际应用，关键是区分分率与具体数量，无需计算总长度，直接通过分率比较即可，需注意排除B段具体长度的干扰。
【难度系数】0.6
【解析】将这根绳子的总长度看作单位“1”，A段占全长的$\frac{3}{5}$，则B段占全长的：$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$。因为$\frac{3}{5} ＞ \frac{2}{5}$，所以A段比B段长，答案选B。
【答案】B
【知识点】分数的意义；分数大小比较
【点评】本题考查分数意义的实际应用，关键是区分分率与具体数量，无需计算总长度，直接通过分率比较即可，需注意排除B段具体长度的干扰。
【难度系数】0.6
5.如图是一个正方体木料,把它挖掉一个长方体后,它的()。
A.表面积变大,体积变小
B.表面积变小,体积变小
C.表面积变大,体积不变
D.表面积变小,体积变大
A.表面积变大,体积变小
B.表面积变小,体积变小
C.表面积变大,体积不变
D.表面积变小,体积变大
答案
5.A
解析
【分析】要解决这个问题，需分别分析体积和表面积的变化：1.体积：正方体挖掉一部分后，剩余体积等于正方体体积减去挖掉的长方体体积，因此体积必然变小；2.表面积：原正方体的表面积，在挖掉长方体后，会减少2个边长为2cm的正方形面积，但同时会新增长方体的4个侧面面积，新增面积大于减少的面积，因此总表面积变大。
【解析】体积计算：正方体体积为$8×8×8 = 512\mathrm{cm}^3$，挖掉的长方体体积为$2×2×8 = 32\mathrm{cm}^3$，剩余体积$=512 - 32 = 480\mathrm{cm}^3$，体积变小。表面积计算：原正方体表面积为$6×8×8 = 384\mathrm{cm}^2$；挖掉长方体后，减少了2个$2×2$的面，面积共$2×2×2 = 8\mathrm{cm}^2$，新增了长方体的4个侧面，总面积为$4×2×8 = 64\mathrm{cm}^2$，总表面积变为$384 - 8 + 64 = 440\mathrm{cm}^2$，比原表面积大，因此表面积变大。综上，表面积变大，体积变小，对应选项A。
【答案】A
【知识点】正方体体积、长方体体积、立体图形表面积变化
【点评】本题考查立体图形挖去部分后的体积与表面积变化，需明确体积是整体减部分，表面积需准确判断新增和减少的面，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.4
【解析】体积计算：正方体体积为$8×8×8 = 512\mathrm{cm}^3$，挖掉的长方体体积为$2×2×8 = 32\mathrm{cm}^3$，剩余体积$=512 - 32 = 480\mathrm{cm}^3$，体积变小。表面积计算：原正方体表面积为$6×8×8 = 384\mathrm{cm}^2$；挖掉长方体后，减少了2个$2×2$的面，面积共$2×2×2 = 8\mathrm{cm}^2$，新增了长方体的4个侧面，总面积为$4×2×8 = 64\mathrm{cm}^2$，总表面积变为$384 - 8 + 64 = 440\mathrm{cm}^2$，比原表面积大，因此表面积变大。综上，表面积变大，体积变小，对应选项A。
【答案】A
【知识点】正方体体积、长方体体积、立体图形表面积变化
【点评】本题考查立体图形挖去部分后的体积与表面积变化，需明确体积是整体减部分，表面积需准确判断新增和减少的面，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.4
6. 下面四个算式中的5和3可以直接相加减的是()。
A.$985+321$
B.$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{9}-\frac{3}{9}$
D.$4.559-1.003$
A.$985+321$
B.$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{9}-\frac{3}{9}$
D.$4.559-1.003$
答案
6.C
解析
【分析】要判断5和3能否直接相加减，核心是看它们的计数单位是否相同：只有计数单位相同的数，才能直接进行加减运算。接下来逐个分析选项中5和3的计数单位是否一致即可。
【解析】根据“只有计数单位相同的数才能直接相加减”的规则：
选项A：985中的“5”在个位，计数单位是1；321中的“3”在百位，计数单位是100，计数单位不同，不能直接相加。
选项B：$\frac{5}{8}$的分数单位是$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{4}$的分数单位是$\frac{1}{4}$，分数单位不同，不能直接相加，需通分后计算。
选项C：$\frac{5}{9}$和$\frac{3}{9}$是同分母分数，分数单位均为$\frac{1}{9}$，计数单位相同，分子的5和3可以直接相减，符合要求。
选项D：4.559中的“5”在百分位，计数单位是0.01；1.003中的“3”在千分位，计数单位是0.001，计数单位不同，不能直接相减。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】相同计数单位的加减法、同分母分数加减法、小数数位对齐
【点评】本题考查整数、分数、小数加减法的核心本质，即相同计数单位的数才能直接相加减，是基础运算的重点易错点，能帮助学生巩固运算规则的理解。
【难度系数】0.5
【解析】根据“只有计数单位相同的数才能直接相加减”的规则：
选项A：985中的“5”在个位，计数单位是1；321中的“3”在百位，计数单位是100，计数单位不同，不能直接相加。
选项B：$\frac{5}{8}$的分数单位是$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{4}$的分数单位是$\frac{1}{4}$，分数单位不同，不能直接相加，需通分后计算。
选项C：$\frac{5}{9}$和$\frac{3}{9}$是同分母分数，分数单位均为$\frac{1}{9}$，计数单位相同，分子的5和3可以直接相减，符合要求。
选项D：4.559中的“5”在百分位，计数单位是0.01；1.003中的“3”在千分位，计数单位是0.001，计数单位不同，不能直接相减。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】相同计数单位的加减法、同分母分数加减法、小数数位对齐
【点评】本题考查整数、分数、小数加减法的核心本质，即相同计数单位的数才能直接相加减，是基础运算的重点易错点，能帮助学生巩固运算规则的理解。
【难度系数】0.5
7. 在百数表中,用三个顶点相连的正方形(如右图)盖住三个数,这三个数的和可能是()。
A.86
B.100
C.129
D.130
A.86
B.100
C.129
D.130
答案
7.C 解析:三个顶点相连的正方形盖住百数表，三数之和是3的倍数，选项中只有129是3的倍数，即3x=129，解得x=43，如下图框所示。
解析
【分析】首先观察百数表的排列规律：每行有10个数，同一行相邻数相差1，上下行同一列的数相差1。题目中三个数呈斜向排列，设中间的数为$a$，则上方的数为$a-9$（上一行左移1，即$a-10+1=a-9$），下方的数为$a+9$（下一行左移1，即$a+10-1=a+9$），因此三个数的和为$(a-9)+a+(a+9)=3a$，即三个数的和一定是3的倍数，据此判断选项。
【解析】根据百数表的排列规律，三个数的和为$3a$，是3的倍数。逐一分析选项：
A选项：$86÷3\approx28.67$，不是3的倍数，排除；
B选项：$100÷3\approx33.33$，不是3的倍数，排除；
C选项：$129÷3=43$，是3的倍数，符合要求；
D选项：$130÷3\approx43.33$，不是3的倍数，排除。
因此答案为C。
【答案】C
【知识点】百数表规律、数的整除
【点评】本题结合百数表的排列特点，探究三个数的和的规律，需要学生通过观察分析得出数量关系，进而利用整除特征判断选项，考查逻辑推理能力。
【难度系数】0.5
【解析】根据百数表的排列规律，三个数的和为$3a$，是3的倍数。逐一分析选项：
A选项：$86÷3\approx28.67$，不是3的倍数，排除；
B选项：$100÷3\approx33.33$，不是3的倍数，排除；
C选项：$129÷3=43$，是3的倍数，符合要求；
D选项：$130÷3\approx43.33$，不是3的倍数，排除。
因此答案为C。
【答案】C
【知识点】百数表规律、数的整除
【点评】本题结合百数表的排列特点，探究三个数的和的规律，需要学生通过观察分析得出数量关系，进而利用整除特征判断选项，考查逻辑推理能力。
【难度系数】0.5
8. 向下面A,B,C,D四个容器中倒入同样多的水且都没有溢出,则水面最高的容器是()。(单位:分米)
答案
8.B 解析:$5×3=15$(平方分米),$4×3=12$(平方分米),$5×4=20$(平方分米),$6×3=18$(平方分米),$12＜15＜18＜20$,所以水面最高的容器是
。解析
【分析】要解决这个问题，需利用长方体体积公式：体积=底面积×高。当倒入的水体积相同时，水面高度与容器底面积成反比，即底面积越小，水面高度越高。因此需计算四个容器的底面积，比较后找出底面积最小的容器，即为水面最高的容器。
【解析】根据长方体底面积=长×宽，分别计算四个容器的底面积：
容器A：底面积=5×3=15（平方分米）；
容器B：底面积=4×3=12（平方分米）；
容器C：底面积=5×4=20（平方分米）；
容器D：底面积=6×3=18（平方分米）；
比较底面积大小：12＜15＜18＜20，容器B的底面积最小，因此水面最高。
【答案】B
【知识点】长方体体积公式、底面积与高的关系
【点评】本题考查长方体体积公式的灵活应用，核心是理解“体积一定时，底面积越小，高度越大”的规律，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据长方体底面积=长×宽，分别计算四个容器的底面积：
容器A：底面积=5×3=15（平方分米）；
容器B：底面积=4×3=12（平方分米）；
容器C：底面积=5×4=20（平方分米）；
容器D：底面积=6×3=18（平方分米）；
比较底面积大小：12＜15＜18＜20，容器B的底面积最小，因此水面最高。
【答案】B
【知识点】长方体体积公式、底面积与高的关系
【点评】本题考查长方体体积公式的灵活应用，核心是理解“体积一定时，底面积越小，高度越大”的规律，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
9.一杯纯果汁,欢欢喝了$\frac{1}{3}$杯后,觉得有点甜,兑满水又喝了一半,欢欢一共喝了()杯纯果汁。
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{6}$
D.1
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{6}$
D.1
答案
9.B
解析
【分析】
要计算欢欢一共喝的纯果汁，需分两步计算：先确定第一次喝的纯果汁量，再算出兑满水后第二次喝的纯果汁量，两者相加得到总量。核心是明确第二次喝的“一半”是兑完水后剩余纯果汁的一半，而非整杯的一半，避免概念混淆。
【解析】
1. 第一次喝的纯果汁：直接喝了$\frac{1}{3}$杯纯果汁。
2. 兑满水后，剩余纯果汁量：$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$杯。
3. 第二次喝的纯果汁量：喝了兑完水后整杯的一半，其中纯果汁占剩余的$\frac{2}{3}$，因此第二次喝的纯果汁为$\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$杯。
4. 总共喝的纯果汁：$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$杯。
【答案】
B
【知识点】
分数的应用
【点评】
本题为分数应用题的典型题型，关键在于理清每次喝的纯果汁量的计算逻辑，需区分“整杯的一半”和“剩余纯果汁的一半”，避免因概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.6
要计算欢欢一共喝的纯果汁，需分两步计算：先确定第一次喝的纯果汁量，再算出兑满水后第二次喝的纯果汁量，两者相加得到总量。核心是明确第二次喝的“一半”是兑完水后剩余纯果汁的一半，而非整杯的一半，避免概念混淆。
【解析】
1. 第一次喝的纯果汁：直接喝了$\frac{1}{3}$杯纯果汁。
2. 兑满水后，剩余纯果汁量：$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$杯。
3. 第二次喝的纯果汁量：喝了兑完水后整杯的一半，其中纯果汁占剩余的$\frac{2}{3}$，因此第二次喝的纯果汁为$\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$杯。
4. 总共喝的纯果汁：$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$杯。
【答案】
B
【知识点】
分数的应用
【点评】
本题为分数应用题的典型题型，关键在于理清每次喝的纯果汁量的计算逻辑，需区分“整杯的一半”和“剩余纯果汁的一半”，避免因概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.6
