21. (4分)已知:如图,在 $△ ABC$ 中,$∠ A = ∠ ABC$,直线 $EF$ 分别交 $△ ABC$ 的边 $AB,AC$ 和 $CB$ 的延长线于点 $D, E, F$,求证:$∠ F + ∠ FEC = 2∠ A$.

21. 【点拨】本题考查三角形内角和定理.
【解析】证明:
∵ ∠A + ∠ADE + ∠AED = ∠F + ∠FBD + ∠BDF = 180°,∠ADE = ∠BDF,
∴ ∠A + ∠AED = ∠F + ∠FBD.
∵ ∠AED = 180° - ∠FEC,∠FBD = 180° - ∠ABC,
∴ ∠A + 180° - ∠FEC = ∠F + 180° - ∠ABC,
∴ ∠A + ∠ABC = ∠F + ∠FEC.
∵ ∠A = ∠ABC,
∴ ∠F + ∠FEC = 2∠A.

22. (4分)如图，$△ ABC$的顶点都在网格纸的格点上.
(1)利用格点画出$BC$边上的垂直平分线$MN$；
(2)平移$△ ABC$，使点$B$移动到点$B'$的位置.
①画出平移后的$△ A'B'C'$；
②若连接$AA'$，$BB'$，则这两条线段之间的位置关系是________；
(3)试计算平移结束后四边形$ACC'A'$的面积.

22. 【点拨】本题考查垂直平分线的画法、平移的性质以及平行四边形面积的计算.
【解析】(1)BC 边上的垂直平分线 MN 如图.
(2)①平移后的 △A'B'C' 如图.
②由平行的性质可得,连接 AA',BB',这两条线段之间的位置关系是平行. 故答案为平行.

(3)四边形 ACC'A' 的面积 = 2 × $\dfrac{1}{2}$ × 7 × 4 = 28.

23.（5分）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示，按该程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行.

(1)若$x=6$，该程序需要运行次才停止；
(2)若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求$x$的取值范围.

23. 【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
【解析】(1)运行一次:6 × 2 - 3 = 9;
运行两次:9 × 2 - 3 = 15;
运行三次:15 × 2 - 3 = 27.
∵ 27 ＞ 23,
∴ 若 x = 6,该程序需要运行三次才停止. 故答案为三.
(2)根据题意,得 $\begin{cases} 2x - 3 ＜ 23, \\ 2(2x - 3) - 3 ≥ 23, \end{cases}$ 解得 8 ≤ x ＜ 13,
∴ x 的取值范围为 8 ≤ x ＜ 13.