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1. 函数$y=\sqrt{2x-3}$中自变量$x$的取值范围是（
A.$x≥ \dfrac{3}{2}$
B.$x≥ -\dfrac{3}{2}$
C.$x≤ -\dfrac{3}{2}$
D.$x≤ \dfrac{3}{2}$
A
）A.$x≥ \dfrac{3}{2}$
B.$x≥ -\dfrac{3}{2}$
C.$x≤ -\dfrac{3}{2}$
D.$x≤ \dfrac{3}{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查二次根式中自变量的取值范围，解题思路是：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
对于函数$y=\sqrt{2x - 3}$，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，因此可得不等式：
$2x - 3 ≥ 0$
解这个不等式：
移项得$2x ≥ 3$，
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{3}{2}$，
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；求函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，直接考查二次根式的基本性质，只要牢记“二次根式的被开方数为非负数”这一知识点，就能快速准确解答，是函数部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式中自变量的取值范围，解题思路是：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
对于函数$y=\sqrt{2x - 3}$，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，因此可得不等式：
$2x - 3 ≥ 0$
解这个不等式：
移项得$2x ≥ 3$，
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{3}{2}$，
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；求函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，直接考查二次根式的基本性质，只要牢记“二次根式的被开方数为非负数”这一知识点，就能快速准确解答，是函数部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
2. 在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,则对角线AC的长是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】本题考查矩形的性质与勾股定理的应用，解题思路是：矩形的四个角均为直角，因此△ABC是直角三角形，AB、BC为直角边，AC为斜边，利用勾股定理即可求出对角线AC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长满足：$AC^2 = AB^2 + BC^2$。代入$AB=3$，$BC=4$，得$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∴$AC = \sqrt{25} = 5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】C
【知识点】矩形的性质；勾股定理
【点评】本题是基础几何题，核心是利用矩形的直角构造直角三角形，结合勾股定理计算，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长满足：$AC^2 = AB^2 + BC^2$。代入$AB=3$，$BC=4$，得$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
∴$AC = \sqrt{25} = 5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】C
【知识点】矩形的性质；勾股定理
【点评】本题是基础几何题，核心是利用矩形的直角构造直角三角形，结合勾股定理计算，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
3. 方程$x(x-2)=0$的两个根的和是 （
A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$4$
C
）A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$4$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，需先求出方程$x(x-2)=0$的两个根，再计算两根之和。对于形如$ab=0$的方程，根据“零乘积性质”，令每个因式分别为0即可求出方程的根，最后将两根相加得到结果，对应选项选出答案。
【解析】
解方程$x(x-2)=0$，根据零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$，
解得方程的两个根为$x_1=0$，$x_2=2$。
两个根的和为$0 + 2 = 2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法；根的和计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解一元二次方程以及根的和的计算，思路清晰，计算简单，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需先求出方程$x(x-2)=0$的两个根，再计算两根之和。对于形如$ab=0$的方程，根据“零乘积性质”，令每个因式分别为0即可求出方程的根，最后将两根相加得到结果，对应选项选出答案。
【解析】
解方程$x(x-2)=0$，根据零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$，
解得方程的两个根为$x_1=0$，$x_2=2$。
两个根的和为$0 + 2 = 2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法；根的和计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解一元二次方程以及根的和的计算，思路清晰，计算简单，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
4. 在平行四边形ABCD中,若∠A=2∠B,则∠B的度数为 (
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
D
)A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补（相邻两个内角的和为180°）。题目给出∠A与∠B的倍数关系，结合邻角互补的性质建立方程，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A与∠B是邻角，满足∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补）。
又已知∠A=2∠B，将其代入上式得：
2∠B + ∠B = 180°，
即3∠B=180°，
解得∠B=60°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质（邻角互补）
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，利用邻角互补的关系结合已知角度倍数关系即可快速求解，属于简单的基础题型，主要检验对平行四边形内角性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补（相邻两个内角的和为180°）。题目给出∠A与∠B的倍数关系，结合邻角互补的性质建立方程，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A与∠B是邻角，满足∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补）。
又已知∠A=2∠B，将其代入上式得：
2∠B + ∠B = 180°，
即3∠B=180°，
解得∠B=60°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质（邻角互补）
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，利用邻角互补的关系结合已知角度倍数关系即可快速求解，属于简单的基础题型，主要检验对平行四边形内角性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
5. 在$-\sqrt{2^2},(-\sqrt{2})^2,-(\sqrt{2})^2,0$这四个数中,最大的是 (
A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
B
)A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
答案
5.B
解析
【分析】要确定四个数中的最大值，需先对每个选项对应的二次根式进行化简，得到具体数值后再比较大小，进而选出正确答案。
【解析】分别计算各选项对应的数值：
选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
选项B：$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2×(\sqrt{2})^2=1×2=2$；
选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
选项D：$0$；
比较四个数的大小：$-2 ＜ 0 ＜ 2$，因此最大的数是2，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次根式的化简、实数的大小比较
【点评】本题考查二次根式的化简与实数大小的比较，关键是区分带符号的二次根式运算，属于基础题，学生易因符号处理失误出错。
【难度系数】0.7
【解析】分别计算各选项对应的数值：
选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
选项B：$(-\sqrt{2})^2=(-1)^2×(\sqrt{2})^2=1×2=2$；
选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
选项D：$0$；
比较四个数的大小：$-2 ＜ 0 ＜ 2$，因此最大的数是2，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次根式的化简、实数的大小比较
【点评】本题考查二次根式的化简与实数大小的比较，关键是区分带符号的二次根式运算，属于基础题，学生易因符号处理失误出错。
【难度系数】0.7
6.用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于$90°$”时，应先假设（
A.有一个内角小于$90°$
B.每一个内角都大于$90°$
C.有一个内角小于或等于$90°$
D.每一个内角都小于$90°$
D
）A.有一个内角小于$90°$
B.每一个内角都大于$90°$
C.有一个内角小于或等于$90°$
D.每一个内角都小于$90°$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握反证法的核心思路：反证法证明命题时，第一步是假设原命题的结论不成立，再通过推导得出矛盾，从而证明原命题正确。首先明确原命题的结论是“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”，接下来找出该结论的否定形式：“至少有一个”的否定是“所有都不”，即所有内角都不满足“大于或等于90°”，也就是每一个内角都小于90°，据此可选出正确选项。
【解析】
用反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立。原命题“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”的结论为“至少有一个内角≥90°”，其否定为“所有内角都＜90°”，即每一个内角都小于90°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，关键在于正确找出“至少有一个”的否定形式，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需掌握反证法的核心思路：反证法证明命题时，第一步是假设原命题的结论不成立，再通过推导得出矛盾，从而证明原命题正确。首先明确原命题的结论是“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”，接下来找出该结论的否定形式：“至少有一个”的否定是“所有都不”，即所有内角都不满足“大于或等于90°”，也就是每一个内角都小于90°，据此可选出正确选项。
【解析】
用反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立。原命题“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”的结论为“至少有一个内角≥90°”，其否定为“所有内角都＜90°”，即每一个内角都小于90°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，关键在于正确找出“至少有一个”的否定形式，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
7.《九章算术》记载了这样一个问题:今有立木,系索其末(上端),(绳索从木柱上端垂下后)委地(堆在地面)三尺。引索却(退)行,去本(木柱底端)八尺而索尽。问:索长几何?如图,设绳索的长为x尺,则可列方程为 (
A.$(x-3)^2+8^2=x^2$
B.$(x-3)^2+x^2=8^2$
C.$x^2+8^2=(x+3)^2$
D.$x^2+(x+3)^2=8^2$
A
)A.$(x-3)^2+8^2=x^2$
B.$(x-3)^2+x^2=8^2$
C.$x^2+8^2=(x+3)^2$
D.$x^2+(x+3)^2=8^2$
答案
7.A
解析
【分析】
本题是古代数学中的直角三角形应用问题，解题思路是：先将实际问题转化为直角三角形模型，明确各边对应的长度：绳索为斜边，长度设为x尺；木柱垂直于地面，其高度为垂直边，因绳索垂下后堆在地面3尺，故木柱高度为(x-3)尺；人退离木柱底端的水平距离为8尺，是另一条直角边。再根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），即可列出对应的方程。
【解析】
设绳索的长为x尺，则木柱的高度为(x-3)尺，水平距离为8尺。由于木柱垂直于地面，三者构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，实际问题建模
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，关键在于准确找出直角三角形的三边长度，将实际问题转化为数学模型，难度适中，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题是古代数学中的直角三角形应用问题，解题思路是：先将实际问题转化为直角三角形模型，明确各边对应的长度：绳索为斜边，长度设为x尺；木柱垂直于地面，其高度为垂直边，因绳索垂下后堆在地面3尺，故木柱高度为(x-3)尺；人退离木柱底端的水平距离为8尺，是另一条直角边。再根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），即可列出对应的方程。
【解析】
设绳索的长为x尺，则木柱的高度为(x-3)尺，水平距离为8尺。由于木柱垂直于地面，三者构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，实际问题建模
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，关键在于准确找出直角三角形的三边长度，将实际问题转化为数学模型，难度适中，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8.设数据0,1,2,3,4的平均数为a,中位数为b,方差为c,则 （
A.$a=b=c$
B.$a=b＜c$
C.$a＜b=c$
D.$a＜b＜c$
A
）A.$a=b=c$
B.$a=b＜c$
C.$a＜b=c$
D.$a＜b＜c$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决本题，需分别计算数据0,1,2,3,4的平均数a、中位数b、方差c，再比较三者大小。计算时需牢记各统计量的定义：平均数是所有数据的和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（数据个数为奇数时）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数。
【解析】
1. 计算平均数a：
数据总和为$0+1+2+3+4=10$，数据个数为5，故$a=10÷5=2$。
2. 计算中位数b：
将数据从小到大排列为0,1,2,3,4，共5个（奇数个），中间位置是第3个数，即$b=2$。
3. 计算方差c：
方差公式为$c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均数，n为数据个数），代入得：
$c=\frac{(0-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (4-2)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
因此$a=b=c$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计中基本统计量的计算，属于基础题，只要掌握各统计量的定义即可顺利解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需分别计算数据0,1,2,3,4的平均数a、中位数b、方差c，再比较三者大小。计算时需牢记各统计量的定义：平均数是所有数据的和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（数据个数为奇数时）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数。
【解析】
1. 计算平均数a：
数据总和为$0+1+2+3+4=10$，数据个数为5，故$a=10÷5=2$。
2. 计算中位数b：
将数据从小到大排列为0,1,2,3,4，共5个（奇数个），中间位置是第3个数，即$b=2$。
3. 计算方差c：
方差公式为$c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均数，n为数据个数），代入得：
$c=\frac{(0-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (4-2)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
因此$a=b=c$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计中基本统计量的计算，属于基础题，只要掌握各统计量的定义即可顺利解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.如图所示为正方形纸片ABCD,点E在边BC上(不与点B,C重合),连结DE。把四边形ADEB翻折,折痕为DE,点A,B分别落在$A',B'$处。若$AB=3$,则点$A'$到点A的距离可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.C 【解析】如图,连结$AA'$,与$DE$相交于点$O$。由折叠的性质可知$DE$垂直平分$AA'$,所以$AA'=2OA$。由图可知,在正方形$ABCD$中,$AD=AB=3$,当点$E$与点$B$重合时,$∠ ADO=45°$,当点$E$与点$C$重合时,$∠ ADO=90°$。因为点$E$在边$BC$上(不与点$B$,$C$重合),所以$45°＜∠ ADO＜90°$。所以$0°＜∠ DAO＜45°$。在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,当$∠ DAO=45°$时,$OA=OD$,因为$OA^2+OD^2=AD^2$,所以$2OA^2=3^2$,解得$OA=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。当点$E$与点$C$重合时,$AO=AD=3$,所以$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}＜OA＜3$。所以$3\sqrt{2}＜AA'＜6$。因为$4＜3\sqrt{2}＜5$,所以C选项符合题意。故选C。
解析
【分析】
要解决本题，需利用折叠的性质确定点A与A'的关系，结合正方形的边长分析线段长度的范围：首先连接AA'，根据折叠性质可知折痕DE垂直平分AA'，故AA'=2OA；再结合点E在BC上的位置，分析∠ADO的范围，进而得到OA的取值范围，最终确定AA'的范围，判断选项。
【解析】
如图，连接$AA'$，与$DE$相交于点$O$。
由折叠的性质可知，折痕$DE$垂直平分$AA'$，因此$AA'=2OA$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB=3$，所以$AD=AB=3$。
当点$E$与点$B$重合时，$∠ ADO=45°$；当点$E$与点$C$重合时，$∠ ADO=90°$。
由于点$E$在边$BC$上（不与点$B,C$重合），故$45°＜∠ ADO＜90°$，则在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$0°＜∠ DAO＜45°$。
当$∠ DAO=45°$时，$OA=OD$，由勾股定理$OA^2+OD^2=AD^2$，得$2OA^2=3^2$，解得$OA=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，此时$AA'=2×\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\approx4.24$；
当点$E$与点$C$重合时，$AO=AD=3$，此时$AA'=2×3=6$。
因此$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}＜OA＜3$，即$3\sqrt{2}＜AA'＜6$。
结合选项，只有$5$在$3\sqrt{2}$与$6$之间，故选C。
【答案】C
【知识点】折叠的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的折叠变换，通过分析动点的位置范围，利用勾股定理确定线段长度的取值范围，考查了几何图形的变换与不等式的应用，需要学生具备逻辑推理和空间想象能力。
【难度系数】0.5
要解决本题，需利用折叠的性质确定点A与A'的关系，结合正方形的边长分析线段长度的范围：首先连接AA'，根据折叠性质可知折痕DE垂直平分AA'，故AA'=2OA；再结合点E在BC上的位置，分析∠ADO的范围，进而得到OA的取值范围，最终确定AA'的范围，判断选项。
【解析】
如图，连接$AA'$，与$DE$相交于点$O$。
由折叠的性质可知，折痕$DE$垂直平分$AA'$，因此$AA'=2OA$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB=3$，所以$AD=AB=3$。
当点$E$与点$B$重合时，$∠ ADO=45°$；当点$E$与点$C$重合时，$∠ ADO=90°$。
由于点$E$在边$BC$上（不与点$B,C$重合），故$45°＜∠ ADO＜90°$，则在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$0°＜∠ DAO＜45°$。
当$∠ DAO=45°$时，$OA=OD$，由勾股定理$OA^2+OD^2=AD^2$，得$2OA^2=3^2$，解得$OA=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，此时$AA'=2×\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\approx4.24$；
当点$E$与点$C$重合时，$AO=AD=3$，此时$AA'=2×3=6$。
因此$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}＜OA＜3$，即$3\sqrt{2}＜AA'＜6$。
结合选项，只有$5$在$3\sqrt{2}$与$6$之间，故选C。
【答案】C
【知识点】折叠的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的折叠变换，通过分析动点的位置范围，利用勾股定理确定线段长度的取值范围，考查了几何图形的变换与不等式的应用，需要学生具备逻辑推理和空间想象能力。
【难度系数】0.5
