登录
7. 已知点$M(a-3,a+2)$在$y$轴上，则$a$的值为
3
.答案
7.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆坐标轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0。已知点M在y轴上，因此它的横坐标对应表达式的值为0，我们只需据此列出关于a的一元一次方程，求解方程就能得到a的取值。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0，
又
∵点$M(a-3,a+2)$在$y$轴上，
∴点M的横坐标满足$a-3=0$，
解得：$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
y轴上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标规律，解题关键是牢记y轴上点横坐标为0、x轴上点纵坐标为0的特征，直接列方程求解即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆坐标轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0。已知点M在y轴上，因此它的横坐标对应表达式的值为0，我们只需据此列出关于a的一元一次方程，求解方程就能得到a的取值。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0，
又
∵点$M(a-3,a+2)$在$y$轴上，
∴点M的横坐标满足$a-3=0$，
解得：$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
y轴上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标规律，解题关键是牢记y轴上点横坐标为0、x轴上点纵坐标为0的特征，直接列方程求解即可。
【难度系数】
0.9
8.若点$P(a,b)$在第四象限，则点$(b,-a)$在第
三
象限。答案
8.三
解析
【分析】
解题时首先要牢记平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号规律：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)。首先根据点P在第四象限得出a、b的正负性，再推导所求点(b,-a)的横、纵坐标的正负，最后对应象限符号规律就能确定其所在象限。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在第四象限，
∴根据第四象限点的坐标特征，得$a＞0$，$b＜0$，
∴$-a＜0$，
∴点$(b,-a)$的横坐标$b＜0$，纵坐标$-a＜0$，
∵横、纵坐标均为负数的点在第三象限，
∴点$(b,-a)$在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，只要熟记各象限内点的横纵坐标的正负规律，就能通过已知条件快速推导未知点的所在象限，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要牢记平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号规律：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)。首先根据点P在第四象限得出a、b的正负性，再推导所求点(b,-a)的横、纵坐标的正负，最后对应象限符号规律就能确定其所在象限。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在第四象限，
∴根据第四象限点的坐标特征，得$a＞0$，$b＜0$，
∴$-a＜0$，
∴点$(b,-a)$的横坐标$b＜0$，纵坐标$-a＜0$，
∵横、纵坐标均为负数的点在第三象限，
∴点$(b,-a)$在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，只要熟记各象限内点的横纵坐标的正负规律，就能通过已知条件快速推导未知点的所在象限，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
9. 如果一次函数$y=kx+3$（$k$是常数，$k≠0$）的图象经过点$(1,0)$，那么$y$的值随$x$的增大而
减小
（填“增大”或“减小”）。答案
9.减小
解析
【分析】
解题时首先利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将已知点的坐标代入一次函数解析式，求出未知参数k的值，再根据一次函数增减性与k的正负的对应关系，判断y随x的变化情况即可。
【解析】
∵一次函数$y=kx+3$的图象经过点$(1,0)$，
∴把$x=1$，$y=0$代入函数解析式，可得：
$0 = k×1 + 3$
解得$k=-3$
根据一次函数的性质：当$k＜0$时，y的值随x的增大而减小，本题中$k=-3＜0$，因此y的值随x的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
1.一次函数的性质
2.待定系数法求函数参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的基础性质，以及利用函数图象上的点求解未知参数的方法，熟练掌握一次函数增减性和k的符号的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将已知点的坐标代入一次函数解析式，求出未知参数k的值，再根据一次函数增减性与k的正负的对应关系，判断y随x的变化情况即可。
【解析】
∵一次函数$y=kx+3$的图象经过点$(1,0)$，
∴把$x=1$，$y=0$代入函数解析式，可得：
$0 = k×1 + 3$
解得$k=-3$
根据一次函数的性质：当$k＜0$时，y的值随x的增大而减小，本题中$k=-3＜0$，因此y的值随x的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
1.一次函数的性质
2.待定系数法求函数参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的基础性质，以及利用函数图象上的点求解未知参数的方法，熟练掌握一次函数增减性和k的符号的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10. 如图16-33，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）经过A，B两点，过点A作$AC⊥y$轴于点C，过点B作$BD⊥y$轴于点D，过点B作$BE⊥x$轴于点E，连接AD，已知$AC=1$，$BE=1$，长方形BDOE的面积为4，则$△ ACD$的面积为
图16-33
$\frac{3}{2}$
。图16-33
答案
10.$\frac{3}{2}$ 提示:连接AO,由反比例函数k的几何意义,可知$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}S_{长方形BDOE}=2.$$\because AC=1,$$\therefore CO=4.$$\because DO=BE=1,$$\therefore CD=3.$$\therefore S_{△ ACD}=\frac{3}{2}.$
解析
【分析】
解题时先从已知的长方形BDOE的面积入手，结合反比例函数k的几何意义求出k的值，得到反比例函数的解析式；再根据AC⊥y轴且AC=1，得到点A的横坐标，代入解析式求出点A的纵坐标即OC的长度；由BE=1可得OD的长度，进而求出CD的长；最后利用直角三角形面积公式计算△ACD的面积即可。
【解析】
解：
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象上，长方形BDOE的面积为4，
根据反比例函数$k$的几何意义，得$|k|=S_{长方形BDOE}=4$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$，即反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵$AC⊥y$轴，$AC=1$，
∴点A的横坐标为1，
将$x=1$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=4$，即$OC=4$。
∵$BE⊥x$轴，$BE=1$，$BD⊥y$轴，
∴$OD=BE=1$，
∴$CD=OC-OD=4-1=3$。
又
∵$AC⊥y$轴，
∴△ACD是直角三角形，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的核心是熟练运用反比例函数k的几何意义确定函数解析式，再结合坐标与线段的关系求出所需线段长度，进而求解面积，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的长方形BDOE的面积入手，结合反比例函数k的几何意义求出k的值，得到反比例函数的解析式；再根据AC⊥y轴且AC=1，得到点A的横坐标，代入解析式求出点A的纵坐标即OC的长度；由BE=1可得OD的长度，进而求出CD的长；最后利用直角三角形面积公式计算△ACD的面积即可。
【解析】
解：
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象上，长方形BDOE的面积为4，
根据反比例函数$k$的几何意义，得$|k|=S_{长方形BDOE}=4$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$，即反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵$AC⊥y$轴，$AC=1$，
∴点A的横坐标为1，
将$x=1$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=4$，即$OC=4$。
∵$BE⊥x$轴，$BE=1$，$BD⊥y$轴，
∴$OD=BE=1$，
∴$CD=OC-OD=4-1=3$。
又
∵$AC⊥y$轴，
∴△ACD是直角三角形，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的核心是熟练运用反比例函数k的几何意义确定函数解析式，再结合坐标与线段的关系求出所需线段长度，进而求解面积，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图16-34,一次函数$y=mx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$A(3,1),B(-\dfrac{1}{2},n)$两点.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)求$n$的值及该一次函数的表达式.
11. 如图16-34,一次函数$y=mx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$A(3,1),B(-\dfrac{1}{2},n)$两点.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)求$n$的值及该一次函数的表达式.
答案
11.(1)$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$A(3,1),$$\therefore k=3×1=3.$$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}.$
(2)把$B(-\frac{1}{2},n)$代入反比例函数表达式,可得$-\frac{1}{2}n=3.$解得$n=-6.$$\therefore$ 点B的坐标为$(-\frac{1}{2},-6).$把$A(3,1),B(-\frac{1}{2},-6)$代入一次函数$y=mx+b$,得$\begin{cases}1=3m+b,\\-6=-\frac{1}{2}m+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\b=-5.\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x-5.$
(2)把$B(-\frac{1}{2},n)$代入反比例函数表达式,可得$-\frac{1}{2}n=3.$解得$n=-6.$$\therefore$ 点B的坐标为$(-\frac{1}{2},-6).$把$A(3,1),B(-\frac{1}{2},-6)$代入一次函数$y=mx+b$,得$\begin{cases}1=3m+b,\\-6=-\frac{1}{2}m+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\b=-5.\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x-5.$
解析
【分析】
（1）反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$，仅含有1个未知系数$k$，只要知道反比例函数图象上任意一个点的坐标，代入表达式就能求出$k$的值，进而确定反比例函数的表达式，题中已经给出点$A(3,1)$在反比例函数图象上，直接代入计算即可。
（2）点$B$在反比例函数图象上，它的坐标满足反比例函数表达式，将点$B$的横坐标代入已求出的反比例函数表达式，就能算出$n$的值，得到点$B$的完整坐标。一次函数$y=mx+b$含有2个未知系数$m$和$b$，已知一次函数经过$A$、$B$两个点，将两个点的坐标分别代入一次函数表达式，即可得到关于$m$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$m$和$b$的值，就能确定一次函数的表达式。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$A(3,1)$，
$\therefore k=3×1=3$，
$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
(2) 把$B(-\dfrac{1}{2},n)$代入反比例函数表达式$y=\dfrac{3}{x}$，可得：
$-\dfrac{1}{2}n=3$，解得$n=-6$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},-6)$。
把$A(3,1)$、$B(-\dfrac{1}{2},-6)$代入一次函数$y=mx+b$，得：
$\begin{cases}1=3m+b\\-6=-\dfrac{1}{2}m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\b=-5\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x-5$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) $n=\boldsymbol{-6}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x-5}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数图象点的坐标特征；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是函数模块的基础常规题，核心考查用待定系数法求解函数解析式的方法，解题关键是明确函数图象上的点的坐标满足对应函数的表达式，计算量小，是函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
（1）反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$，仅含有1个未知系数$k$，只要知道反比例函数图象上任意一个点的坐标，代入表达式就能求出$k$的值，进而确定反比例函数的表达式，题中已经给出点$A(3,1)$在反比例函数图象上，直接代入计算即可。
（2）点$B$在反比例函数图象上，它的坐标满足反比例函数表达式，将点$B$的横坐标代入已求出的反比例函数表达式，就能算出$n$的值，得到点$B$的完整坐标。一次函数$y=mx+b$含有2个未知系数$m$和$b$，已知一次函数经过$A$、$B$两个点，将两个点的坐标分别代入一次函数表达式，即可得到关于$m$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$m$和$b$的值，就能确定一次函数的表达式。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$A(3,1)$，
$\therefore k=3×1=3$，
$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
(2) 把$B(-\dfrac{1}{2},n)$代入反比例函数表达式$y=\dfrac{3}{x}$，可得：
$-\dfrac{1}{2}n=3$，解得$n=-6$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},-6)$。
把$A(3,1)$、$B(-\dfrac{1}{2},-6)$代入一次函数$y=mx+b$，得：
$\begin{cases}1=3m+b\\-6=-\dfrac{1}{2}m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2\\b=-5\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x-5$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) $n=\boldsymbol{-6}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x-5}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数图象点的坐标特征；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是函数模块的基础常规题，核心考查用待定系数法求解函数解析式的方法，解题关键是明确函数图象上的点的坐标满足对应函数的表达式，计算量小，是函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
