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12. 如图16-35,已知过点$B(1,0)$的直线$l_1$与直线$l_2:y=2x+4$相交于点$P(-1,a)$.
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
(2)求四边形$PAOC$的面积.
图16-35
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
(2)求四边形$PAOC$的面积.
图16-35
答案
12.(1)$\because$ 点$P(-1,a)$在直线$l_2:y=2x+4$上,$\therefore 2×(-1)+4=a.$$\therefore a=2.$$\therefore$ 点P的坐标为$(-1,2).$设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,由直线$l_1$过点$B(1,0)$和$P(-1,a)$,则$\begin{cases}k+b=0,\\-k+b=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}$$\therefore$ 直线$l_1$的函数表达式为$y=-x+1.$
(2)$\because$ 直线$l_1$与y轴相交于点C,$\therefore$ 点C的坐标为$(0,1).$又$\because$ 直线$l_2$与x轴相交于点A,$\therefore$ 点A的坐标为$(-2,0).$$\therefore AB=3.$$\therefore S_{四边形PAOC}=S_{△ PAB}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{2}.$
(2)$\because$ 直线$l_1$与y轴相交于点C,$\therefore$ 点C的坐标为$(0,1).$又$\because$ 直线$l_2$与x轴相交于点A,$\therefore$ 点A的坐标为$(-2,0).$$\therefore AB=3.$$\therefore S_{四边形PAOC}=S_{△ PAB}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{2}.$
解析
【分析】
（1）要得到直线$l_1$的函数表达式，需先确定$l_1$上两个已知点的坐标：已知$l_1$过点$B(1,0)$，还需求出交点$P$的坐标。利用点$P$在直线$l_2$上，将$P$的横坐标代入$l_2$的解析式即可求出$a$，得到$P$点坐标后，用待定系数法设$l_1$的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标解方程组即可求出$k、b$的值。
（2）四边形$PAOC$是不规则图形，直接计算面积较复杂，可采用割补法：先求出直线$l_2$与$x$轴交点$A$、直线$l_1$与$y$轴交点$C$的坐标，用$△ PAB$的面积减去$△ BOC$的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 点$P(-1,a)$在直线$l_2:y=2x+4$上，
$\therefore$ 把$x=-1$代入$y=2x+4$，得$a=2×(-1)+4=2$，即点$P$坐标为$(-1,2)$。
设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
$\because$ 直线$l_1$过点$B(1,0)$和$P(-1,2)$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases}k+b=0\\-k+b=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$l_1$的函数表达式为$y=-x+1$。
(2) 对于直线$l_1:y=-x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即点$C$坐标为$(0,1)$；
对于直线$l_2:y=2x+4$，令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即点$A$坐标为$(-2,0)$。
$\therefore AB=1-(-2)=3$，
$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× y_P=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{四边形PAOC}=S_{△ PAB}-S_{△ BOC}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $y=-x+1$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察一次函数解析式的求解和不规则图形面积的计算，解题时要熟练掌握待定系数法的应用，遇到不规则图形面积问题时，灵活运用割补法转化为规则图形的面积和差计算是常用技巧。
【难度系数】
0.7
（1）要得到直线$l_1$的函数表达式，需先确定$l_1$上两个已知点的坐标：已知$l_1$过点$B(1,0)$，还需求出交点$P$的坐标。利用点$P$在直线$l_2$上，将$P$的横坐标代入$l_2$的解析式即可求出$a$，得到$P$点坐标后，用待定系数法设$l_1$的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标解方程组即可求出$k、b$的值。
（2）四边形$PAOC$是不规则图形，直接计算面积较复杂，可采用割补法：先求出直线$l_2$与$x$轴交点$A$、直线$l_1$与$y$轴交点$C$的坐标，用$△ PAB$的面积减去$△ BOC$的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 点$P(-1,a)$在直线$l_2:y=2x+4$上，
$\therefore$ 把$x=-1$代入$y=2x+4$，得$a=2×(-1)+4=2$，即点$P$坐标为$(-1,2)$。
设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
$\because$ 直线$l_1$过点$B(1,0)$和$P(-1,2)$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases}k+b=0\\-k+b=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$l_1$的函数表达式为$y=-x+1$。
(2) 对于直线$l_1:y=-x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即点$C$坐标为$(0,1)$；
对于直线$l_2:y=2x+4$，令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即点$A$坐标为$(-2,0)$。
$\therefore AB=1-(-2)=3$，
$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× y_P=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{四边形PAOC}=S_{△ PAB}-S_{△ BOC}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $y=-x+1$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察一次函数解析式的求解和不规则图形面积的计算，解题时要熟练掌握待定系数法的应用，遇到不规则图形面积问题时，灵活运用割补法转化为规则图形的面积和差计算是常用技巧。
【难度系数】
0.7
13. 某公司计划购买 A、B 两种型号的电脑,已知购买一台 A 型电脑需 0.6 万元,购买一台 B 型电脑需 0.4 万元,该公司准备投入资金 y 万元,全部用于购进 35 台这两种型号的电脑,设购进 A 型电脑 x 台.
(1)求 y 关于 x 的函数表达式;
(2)若购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 2 倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?
(1)求 y 关于 x 的函数表达式;
(2)若购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 2 倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?
答案
13.(1)由题意,得$0.6x+0.4×(35-x)=y.$整理,得$y=0.2x+14(0＜x＜35$且x为整数).
(2)由题意,得$35-x≤2x.$解得$x≥\frac{35}{3}$,则x的最小整数为12.$\because k=0.2＞0,$$\therefore y$的值随x的增大而增大.$\therefore$ 当$x=12$时,y有最小值16.4.答:该公司至少需要投入资金16.4万元.
(2)由题意,得$35-x≤2x.$解得$x≥\frac{35}{3}$,则x的最小整数为12.$\because k=0.2＞0,$$\therefore y$的值随x的增大而增大.$\therefore$ 当$x=12$时,y有最小值16.4.答:该公司至少需要投入资金16.4万元.
解析
【分析】
（1）求y关于x的函数表达式时，首先明确总投入资金等于A型电脑总费用加B型电脑总费用。已知购进A型电脑x台，总购进量为35台，因此B型电脑数量为(35-x)台，将两种电脑的费用相加后整理即可得到函数关系式，同时要注意x代表电脑台数，需满足正整数且取值在0到35之间的要求。
（2）先根据“B型电脑数量不超过A型电脑数量的2倍”这一限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，要得到最少投入资金，只需取x的最小整数值代入函数计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(35-x)$台，总投入资金y为两种电脑的费用总和：
$\begin{aligned}y &= 0.6x + 0.4×(35-x)\\&=0.6x +14 -0.4x\\&=0.2x +14\end{aligned}$
其中x的取值范围为$0＜x＜35$且x为整数。
(2) 根据B型电脑数量的限制条件列不等式：
$35-x ≤2x$
解不等式得：
$3x≥35$，即$x≥\frac{35}{3}\approx11.67$
由于x为正整数，因此x的最小取值为12。
在一次函数$y=0.2x+14$中，$k=0.2＞0$，因此y的值随x的增大而增大，当x取最小值12时，y取得最小值：
$y_{最小}=0.2×12 +14=16.4$（万元）
【答案】
(1) $y=0.2x+14$（$0＜x＜35$且x为整数）
(2) 16.4万元
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的实际应用题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系、不等关系，分别建立函数模型和不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，能够较好地考察学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求y关于x的函数表达式时，首先明确总投入资金等于A型电脑总费用加B型电脑总费用。已知购进A型电脑x台，总购进量为35台，因此B型电脑数量为(35-x)台，将两种电脑的费用相加后整理即可得到函数关系式，同时要注意x代表电脑台数，需满足正整数且取值在0到35之间的要求。
（2）先根据“B型电脑数量不超过A型电脑数量的2倍”这一限制条件列不等式，求出自变量x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，要得到最少投入资金，只需取x的最小整数值代入函数计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(35-x)$台，总投入资金y为两种电脑的费用总和：
$\begin{aligned}y &= 0.6x + 0.4×(35-x)\\&=0.6x +14 -0.4x\\&=0.2x +14\end{aligned}$
其中x的取值范围为$0＜x＜35$且x为整数。
(2) 根据B型电脑数量的限制条件列不等式：
$35-x ≤2x$
解不等式得：
$3x≥35$，即$x≥\frac{35}{3}\approx11.67$
由于x为正整数，因此x的最小取值为12。
在一次函数$y=0.2x+14$中，$k=0.2＞0$，因此y的值随x的增大而增大，当x取最小值12时，y取得最小值：
$y_{最小}=0.2×12 +14=16.4$（万元）
【答案】
(1) $y=0.2x+14$（$0＜x＜35$且x为整数）
(2) 16.4万元
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的实际应用题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系、不等关系，分别建立函数模型和不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，能够较好地考察学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
