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用一次函数可以绘制图形,如图16-36,图中的心形就可以用一组限定了自变量取值范围的一次函数来表示.
$\begin{cases}y=-x+8(2≤ x≤7), \\y=x-6(7≤ x≤12), \\y=x+4(2≤ x≤5), \\y=-x+18(9≤ x≤12), \\y=-x+14(5≤ x≤7), \\y=x(7≤ x≤9).\end{cases}$
图16-36
理论上任何折线图形都可以用一组限定了自变量取值范围的一次函数来表示,在图16-37所示的平面直角坐标系中画一幅由线段组成的图案,并用对应的一次函数表示出图案中的每一条边.
图16-37
$\begin{cases}y=-x+8(2≤ x≤7), \\y=x-6(7≤ x≤12), \\y=x+4(2≤ x≤5), \\y=-x+18(9≤ x≤12), \\y=-x+14(5≤ x≤7), \\y=x(7≤ x≤9).\end{cases}$
图16-36
理论上任何折线图形都可以用一组限定了自变量取值范围的一次函数来表示,在图16-37所示的平面直角坐标系中画一幅由线段组成的图案,并用对应的一次函数表示出图案中的每一条边.
图16-37
答案
解：
绘制图案为小鱼图案（图案绘制略），各边对应的限定自变量范围的一次函数如下：
$\begin{cases}y=x+3\quad(2≤ x≤4),\\y=7\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+14\quad(7≤ x≤9),\\y=x-4\quad(7≤ x≤9),\\y=3\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+7\quad(2≤ x≤4),\\y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\quad(9≤ x≤11),\\x=11\quad(4≤ y≤6),\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{19}{2}\quad(9≤ x≤11).\end{cases}$
本题为开放性题目，图案及对应函数表达式不唯一，满足线段端点坐标代入解析式成立、自变量取值范围对应线段端点即可。
绘制图案为小鱼图案（图案绘制略），各边对应的限定自变量范围的一次函数如下：
$\begin{cases}y=x+3\quad(2≤ x≤4),\\y=7\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+14\quad(7≤ x≤9),\\y=x-4\quad(7≤ x≤9),\\y=3\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+7\quad(2≤ x≤4),\\y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\quad(9≤ x≤11),\\x=11\quad(4≤ y≤6),\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{19}{2}\quad(9≤ x≤11).\end{cases}$
本题为开放性题目，图案及对应函数表达式不唯一，满足线段端点坐标代入解析式成立、自变量取值范围对应线段端点即可。
解析
【分析】
这是一道开放性实践类题目，解题可按三步展开：①先构思一个由线段组成的简单图案（如小鱼、小房子等），在坐标系中标出每条线段两个端点的坐标；②对每一条线段求对应函数解析式：水平线段解析式为y=常数，竖直线段解析式为x=常数，倾斜线段设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），代入两个端点坐标用待定系数法求出k、b的值；③根据线段端点坐标，写出每个解析式对应的自变量（或因变量）的取值范围，保证解析式仅对应图案中的一段线段，最后验证端点代入解析式是否成立即可。
【解析】
我们以绘制小鱼图案为例求解：
1. 先在平面直角坐标系中画出小鱼轮廓，确定各条边的端点坐标分别为：(2,5)与(4,7)、(4,7)与(7,7)、(7,7)与(9,5)、(7,3)与(9,5)、(4,3)与(7,3)、(2,5)与(4,3)、(9,5)与(11,6)、(11,4)与(11,6)、(9,5)与(11,4)。
2. 逐个求各线段的函数解析式：
① 过(2,5)、(4,7)的线段：代入两点坐标到y=kx+b，解得k=1，b=3，即$y=x+3$，x范围为$2≤ x≤4$；
② 过(4,7)、(7,7)的水平线段：y恒为7，即$y=7$，x范围为$4≤ x≤7$；
③ 过(7,7)、(9,5)的线段：代入两点坐标解得k=-1，b=14，即$y=-x+14$，x范围为$7≤ x≤9$；
④ 过(7,3)、(9,5)的线段：代入两点坐标解得k=1，b=-4，即$y=x-4$，x范围为$7≤ x≤9$；
⑤ 过(4,3)、(7,3)的水平线段：y恒为3，即$y=3$，x范围为$4≤ x≤7$；
⑥ 过(2,5)、(4,3)的线段：代入两点坐标解得k=-1，b=7，即$y=-x+7$，x范围为$2≤ x≤4$；
⑦ 过(9,5)、(11,6)的线段：代入两点坐标解得k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，x范围为$9≤ x≤11$；
⑧ 过(11,4)、(11,6)的竖直线段：x恒为11，即$x=11$，y范围为$4≤ y≤6$；
⑨ 过(9,5)、(11,4)的线段：代入两点坐标解得k=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{19}{2}$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{19}{2}$，x范围为$9≤ x≤11$。
本题图案及函数表达式不唯一，只要满足线段端点代入解析式成立、取值范围对应线段端点即可。
【答案】
绘制图案为小鱼图案（图案绘制略），各边对应的限定自变量范围的一次函数如下：
$\begin{cases}y=x+3\quad(2≤ x≤4),\\y=7\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+14\quad(7≤ x≤9),\\y=x-4\quad(7≤ x≤9),\\y=3\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+7\quad(2≤ x≤4),\\y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\quad(9≤ x≤11),\\x=11\quad(4≤ y≤6),\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{19}{2}\quad(9≤ x≤11).\end{cases}$
本题为开放性题目，图案及对应函数表达式不唯一，满足线段端点坐标代入解析式成立、自变量取值范围对应线段端点即可。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的图象，自变量取值范围
【点评】
本题为开放性实践题型，将函数知识与绘图操作相结合，既考查了一次函数解析式的求解能力，也考查了对函数图象与自变量取值范围对应关系的理解，解题形式灵活，能有效锻炼动手能力与创新思维。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性实践类题目，解题可按三步展开：①先构思一个由线段组成的简单图案（如小鱼、小房子等），在坐标系中标出每条线段两个端点的坐标；②对每一条线段求对应函数解析式：水平线段解析式为y=常数，竖直线段解析式为x=常数，倾斜线段设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），代入两个端点坐标用待定系数法求出k、b的值；③根据线段端点坐标，写出每个解析式对应的自变量（或因变量）的取值范围，保证解析式仅对应图案中的一段线段，最后验证端点代入解析式是否成立即可。
【解析】
我们以绘制小鱼图案为例求解：
1. 先在平面直角坐标系中画出小鱼轮廓，确定各条边的端点坐标分别为：(2,5)与(4,7)、(4,7)与(7,7)、(7,7)与(9,5)、(7,3)与(9,5)、(4,3)与(7,3)、(2,5)与(4,3)、(9,5)与(11,6)、(11,4)与(11,6)、(9,5)与(11,4)。
2. 逐个求各线段的函数解析式：
① 过(2,5)、(4,7)的线段：代入两点坐标到y=kx+b，解得k=1，b=3，即$y=x+3$，x范围为$2≤ x≤4$；
② 过(4,7)、(7,7)的水平线段：y恒为7，即$y=7$，x范围为$4≤ x≤7$；
③ 过(7,7)、(9,5)的线段：代入两点坐标解得k=-1，b=14，即$y=-x+14$，x范围为$7≤ x≤9$；
④ 过(7,3)、(9,5)的线段：代入两点坐标解得k=1，b=-4，即$y=x-4$，x范围为$7≤ x≤9$；
⑤ 过(4,3)、(7,3)的水平线段：y恒为3，即$y=3$，x范围为$4≤ x≤7$；
⑥ 过(2,5)、(4,3)的线段：代入两点坐标解得k=-1，b=7，即$y=-x+7$，x范围为$2≤ x≤4$；
⑦ 过(9,5)、(11,6)的线段：代入两点坐标解得k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，x范围为$9≤ x≤11$；
⑧ 过(11,4)、(11,6)的竖直线段：x恒为11，即$x=11$，y范围为$4≤ y≤6$；
⑨ 过(9,5)、(11,4)的线段：代入两点坐标解得k=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{19}{2}$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{19}{2}$，x范围为$9≤ x≤11$。
本题图案及函数表达式不唯一，只要满足线段端点代入解析式成立、取值范围对应线段端点即可。
【答案】
绘制图案为小鱼图案（图案绘制略），各边对应的限定自变量范围的一次函数如下：
$\begin{cases}y=x+3\quad(2≤ x≤4),\\y=7\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+14\quad(7≤ x≤9),\\y=x-4\quad(7≤ x≤9),\\y=3\quad(4≤ x≤7),\\y=-x+7\quad(2≤ x≤4),\\y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\quad(9≤ x≤11),\\x=11\quad(4≤ y≤6),\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{19}{2}\quad(9≤ x≤11).\end{cases}$
本题为开放性题目，图案及对应函数表达式不唯一，满足线段端点坐标代入解析式成立、自变量取值范围对应线段端点即可。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的图象，自变量取值范围
【点评】
本题为开放性实践题型，将函数知识与绘图操作相结合，既考查了一次函数解析式的求解能力，也考查了对函数图象与自变量取值范围对应关系的理解，解题形式灵活，能有效锻炼动手能力与创新思维。
【难度系数】
0.7
