12. 如图(1),在四边形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90°,经过点O的直线l将四边形分成两部分,直线l与OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处(如图(1)).
(1)若折叠后点D恰为AB的中点(如图(2)),则θ=;
(2)若θ=45°,四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后,点B落在四边形OABC的边AB上的点E处(如图(3)),求a的值.

12. (1)$30°$
(2)如图,作 $ED⊥ OA$ 于点 $D$,

$\because$ 四边形 $OABC$ 的直角 $∠ OCB$ 沿直线 $l$ 折叠后, 点 $B$ 落在四边形 $OABC$ 的边 $AB$ 上的点 $E$ 处,
$\therefore AB⊥$ 直线 $l,OD=OC=3,DE=BC=2$.
$\because θ=45°,AB⊥$ 直线 $l$,
即直线 $l$ 平分 $∠ AOC,\therefore ∠ A=45°$,
$\therefore △ ADE$ 为等腰直角三角形,$\therefore AD=DE=2$,
$\therefore OA=OD+AD=3+2=5,\therefore a=5$.

【分析】
本题属于折叠类几何综合题，解题核心是利用折叠（轴对称）的性质得到对应边相等、对应角相等，结合图形特征构造特殊三角形或全等三角形求解：
(1) 遇到AB中点D的条件，可通过延长OD构造全等三角形，得到线段的倍数关系，再结合直角三角形的边角性质求出角度θ；
(2) θ=45°时，先由折叠的角度关系判断点D的位置，再结合折叠的边相等性质，得到等腰直角三角形，进而求出OA的长度即a的值。
【解析】
(1) 延长OD交CB的延长线于点P，由折叠的性质可得：∠COl=∠DOl=θ，OC=OD=3，∠ODP=∠OCB=90°。
∵∠BCO=∠AOC=90°，
∴BC//OA，
∴∠P=∠DOA，∠PBD=∠OAD。
又
∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
∴△PBD≌△OAD（AAS），
∴PD=OD=3，
∴OP=OD+PD=6。
在Rt△OCP中，OC=3，OP=6，
∴∠P=30°，
∴∠COP=90°-30°=60°，
又
∵∠COP=2θ，
∴θ=30°。
(2) 作ED⊥OA于点D，
由折叠的性质可得：点C对应点D落在OA上，OC=OD=3，BC=DE=2，且直线l垂直平分线段BE，即AB⊥直线l。
∵θ=45°，
∴∠COl=∠DOl=45°，直线l平分∠AOC，
结合AB⊥l可得∠A=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，即a=5。
【答案】
(1)$30°$
(2)如图,作 $ED⊥ OA$ 于点 $D$,

$\because$ 四边形 $OABC$ 的直角 $∠ OCB$ 沿直线 $l$ 折叠后, 点 $B$ 落在四边形 $OABC$ 的边 $AB$ 上的点 $E$ 处,
$\therefore AB⊥$ 直线 $l,OD=OC=3,DE=BC=2$.
$\because θ=45°,AB⊥$ 直线 $l$,
即直线 $l$ 平分 $∠ AOC,\therefore ∠ A=45°$,
$\therefore △ ADE$ 为等腰直角三角形,$\therefore AD=DE=2$,
$\therefore OA=OD+AD=3+2=5,\therefore a=5$.
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠与四边形结合的典型题型，考查学生对轴对称性质的应用能力，以及构造辅助线解决几何问题的思维，解题的关键是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合已知条件转化为特殊三角形的边角关系求解，是几何部分的高频考点题型。
【难度系数】
0.6

13. 如图(1)，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示，则不难说明$S_1=S_2+S_3$.
(1)如图(2)，分别以Rt△ABC三边为一边向外作三个正方形，其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示，那么$S_1,S_2,S_3$之间有什么关系？
(2)如图(3)，若分别以Rt△ABC三边为一边向外作三个正三角形，其面积分别用$S_1,S_2,S_3$表示，试确定$S_1,S_2,S_3$之间的关系并加以说明.

13. (1)分别以 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 三边为边向外作三个正方形,则 $S_1=S_2+S_3$. 理由如下:
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,利用勾股定理,得 $AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore S_1=S_2+S_3$.
(2)分别以 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 三边为边向外作三个正三角形,则 $S_1=S_2+S_3$. 理由如下:
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2+\frac{\sqrt{3}}{4}BC^2$,即 $S_1=S_2+S_3$.

【分析】
这是勾股定理在图形面积关系推导中的应用类题型，解题思路清晰：首先正方形、正三角形的面积都与对应边长的平方成正比，结合直角三角形勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即可推导出三个面积的数量关系。第(1)问中正方形面积本身就是边长的平方，可直接对应勾股定理的边长平方关系得结论；第(2)问先写出正三角形面积公式，再给勾股定理的等式两边同乘面积公式的公共系数，即可得到面积关系。
【解析】
(1) 推导$S_1,S_2,S_3$的关系：
设$\mathrm{Rt}△ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$，即$c^2=a^2+b^2$。
正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2=c^2$，$S_2=BC^2=a^2$，$S_3=AC^2=b^2$，代入得$S_1=S_2+S_3$。
(2) 推导$S_1,S_2,S_3$的关系：
仍设$\mathrm{Rt}△ABC$中$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2$。
边长为$x$的正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$，因此：
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}BC^2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$。
将勾股定理等式两边同乘$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，即$S_1=S_2+S_3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$
(2) $\boldsymbol{S_1 = S_2 + S_3}$，理由见解析
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算、正三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典拓展题型，核心规律为：以直角三角形三边为边向外作任意相似图形时，斜边上图形的面积恒等于两直角边上图形的面积之和，掌握该规律可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7