8. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是.

8. $50°$

【分析】
首先利用等腰三角形内角和性质求出底角∠ACB的度数，再结合角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，推导出∠OCE的度数；其次根据折叠的对称性，可得EC=EO，且EF平分∠CEO，△EOC为等腰三角形；最后利用等腰三角形内角和计算出∠CEO的度数，除以2即可得到∠CEF的度数。
【解析】
1. 连接OB
∵AB=AC，∠BAC=50°
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-50°)÷2=65°
∵AO平分∠BAC
∴∠BAO=∠CAO=50°÷2=25°
∵点O在AB的垂直平分线上
∴OA=OB，故∠ABO=∠BAO=25°
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°
又
∵AB=AC，AO是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一，AO垂直平分BC
∴OB=OC，故∠OCB=∠OBC=40°，即∠OCE=40°
2. 由折叠性质可知：点C与点O关于EF对称，因此EC=EO，∠CEF=∠OEF
∴△EOC为等腰三角形，∠EOC=∠ECO=40°
在△EOC中，∠CEO=180°-∠ECO-∠EOC=180°-40°-40°=100°
∴∠CEF=∠CEO÷2=100°÷2=50°
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何角度计算的综合题，将等腰三角形、线段垂直平分线、折叠三类性质结合考查，解题时需逐步推导中间角的度数，重点要理解折叠前后图形的对应边、对应角相等的特性。
【难度系数】
0.6

三、解答题
9. 如图为一直角三角形纸片，两直角边$AC=6$，$BC=8$.现将直角边$AC$沿直线$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，且与$AE$重合，求$CD$的长.

9. 设 $CD=x.\because ∠ C=90°,AC=6,BC=8$,
$\therefore AB=10.\because AE=AC=6,\therefore BE=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ DBE$ 中,$DE=CD=x,DB=8-x$,
$\therefore x^2+4^2=(8-x)^2,\therefore x=3$,即 $CD=3$.

【分析】
遇到折叠类几何题，首先要利用折叠的性质得到相等的线段和角：折叠后AC=AE，CD=DE，∠AED=∠C=90°，由此可知△BDE是直角三角形。要求CD的长，我们可以设CD为未知数，先通过勾股定理算出斜边AB的长度，进而得到BE的长度，再把Rt△BDE的三边用含未知数的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$CD=x$，
$\because △ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
$\therefore$由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because$直角边$AC$沿$AD$折叠后与$AE$重合，
$\therefore AE=AC=6$，$DE=CD=x$，$∠ AED=∠ C=90°$，
$\therefore BE=AB-AE=10-6=4$，$BD=BC-CD=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，由勾股定理得$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开化简得$16x=48$，
解得$x=3$。
【答案】
$CD=3$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题关键是利用折叠的性质转化相等线段，将已知量和未知量集中到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，能很好地考查几何性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

10.已知一张矩形纸片$ABCD$，$AB=a$，$BC＞AB$.如图，将纸片沿$EF$折叠，使顶点$A$与点$C$重合.
(1)求证:四边形$AECF$是菱形；
(2)若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为$2a^2$，求此矩形的周长.

10. (1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AD// BC.\therefore ∠ AFE=∠ CEF$.
$\because$ 点 $A$ 与点 $C$ 关于 $EF$ 对称,
$\therefore EF$ 垂直平分 $AC,AF=CF$.
$\therefore ∠ AFE=∠ CFE.\therefore ∠ CEF=∠ CFE$.
$\therefore CF=CE.\therefore AF=CE$.
$\because AF// CE,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
$\because AF=CF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是菱形.
(2)周长为$(6+2\sqrt{3})a$.

【分析】
(1) 要证明四边形AECF是菱形，可按“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合折叠的性质（折痕垂直平分对应点连线、对应边相等）推导角的等量关系，得到边相等，即可证明平行四边形，结合邻边相等得菱形。
(2) 首先明确重叠两部分的面积和就是菱形AECF的面积，菱形的高等于矩形的宽AB，利用菱形面积公式求出菱形边长，再在直角三角形ABE中用勾股定理求出BE的长度，进而得到BC的长，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ AFE=∠ CEF$。
∵将纸片沿EF折叠，点A与点C重合，
∴EF垂直平分AC，$AF=CF$，
∴$∠ AFE=∠ CFE$，
∴$∠ CEF=∠ CFE$，
∴$CF=CE$，
∴$AF=CE$。
又
∵$AF// CE$，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵$AF=CF$，
∴平行四边形AECF是菱形。
(2) 解：
由题意可知，重叠两部分的面积和即菱形AECF的面积，为$2a^2$。
菱形AECF的高与AB长度相等，为$a$，设菱形边长$CE=x$，
根据菱形面积公式：$S_{\mathrm{菱形}AECF}=CE· AB$，
代入得$x· a=2a^2$，解得$x=2a$，即$AE=CE=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=a$，$AE=2a$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$，
∴$BC=BE+CE=\sqrt{3}a+2a$，
∴矩形ABCD的周长$=2(AB+BC)=2(a+2a+\sqrt{3}a)=(6+2\sqrt{3})a$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 矩形的周长为$\boldsymbol{(6+2\sqrt{3})a}$
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何综合题，解题的核心是利用折叠的性质得到边角的等量关系，结合特殊四边形的判定定理和勾股定理逐步推导，这类题型是初中几何的常见考法，熟练掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

11. 如图(1),在矩形OABC中,AB=8,OA=4,把矩形OABC折叠,使点B与点O重合,点C移到点F位置,折痕为DE.
(1)求OD的长;
(2)请判断△OED的形状,并说明理由;
(3)如图(2),以点O为坐标原点,OC、OA所在的直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,求直线DE的函数表达式,并判断点B关于x轴对称的点B'是否在直线DE上.

11. (1)$OD$ 的长为 $5$.
(2)$△ OED$ 是等腰三角形. 理由如下:
由对折,得$∠ ODE=∠ BDE$.
$\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形,
$\therefore AB// OC.\therefore ∠ BDE=∠ OED$.
$\therefore ∠ ODE=∠ OED.\therefore OD=OE$.
$\therefore △ OED$ 是等腰三角形.
(3)由(1),得 $AD=8-5=3,\therefore D(3,4)$.
由(2),得 $OD=OE=5,\therefore E(5,0)$.
设直线 $DE$ 的表达式为 $y=kx+b$,
则 $\begin{cases}3k+b=4,\\5k+b=0\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=10,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $DE$ 的表达式为 $y=-2x+10$.
点 $B$ 关于 $x$ 轴对称的点 $B'$ 的坐标为 $(8,-4)$.
$\because$ 把 $x=8$ 代入 $y=-2x+10$,得
$y=-6≠ -4$,
$\therefore$ 点 $B'$ 不在直线 $DE$ 上.

【分析】
(1) 求OD的长时，利用折叠性质可得OD=BD，设OD为x，则AD=8-x，在Rt△OAD中结合勾股定理列方程即可求解；
(2) 判断△OED的形状，先由折叠得∠ODE=∠BDE，再结合矩形对边平行的性质，可得∠BDE=∠OED，等量代换后得到∠ODE=∠OED，根据等角对等边即可判定三角形形状；
(3) 求直线DE的解析式，先根据前两问的结论得到D、E两点的坐标，再用待定系数法代入求解即可；要判断点B'是否在直线DE上，先求出B'的坐标，再将横坐标代入解析式，验证得到的函数值是否与B'的纵坐标相等即可。
【解析】
(1) 由折叠性质可知OD=BD，设OD=x，则BD=x，AD=AB-BD=8-x。
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=90°，
在Rt△OAD中，根据勾股定理得$OA^2+AD^2=OD^2$，
代入得$4^2+(8-x)^2=x^2$，
解得$x=5$，即OD的长为5。
(2) $△ OED$是等腰三角形，理由如下：
由折叠得$∠ ODE=∠ BDE$，
∵四边形OABC是矩形，
∴$AB// OC$，
∴$∠ BDE=∠ OED$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ ODE=∠ OED$，
∴$OD=OE$（等角对等边），
∴$△ OED$是等腰三角形。
(3) 由(1)得$AD=8-5=3$，结合$OA=4$，得$D(3,4)$；
由(2)得$OE=OD=5$，E在x轴上，得$E(5,0)$。
设直线DE的表达式为$y=kx+b$，代入D、E坐标得：
$\begin{cases}3k+b=4\\5k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=10\end{cases}$，
∴直线DE的表达式为$y=-2x+10$。
由矩形性质得点B坐标为$(8,4)$，则点B关于x轴对称的点$B'$坐标为$(8,-4)$，
将$x=8$代入$y=-2x+10$得$y=-6≠-4$，
∴点$B'$不在直线DE上。
【答案】
(1) $OD=5$；
(2) $△ OED$是等腰三角形；
(3) 直线DE的函数表达式为$y=-2x+10$，点$B'$不在直线DE上。
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合矩形、折叠变换考查几何计算与一次函数的应用，解题的关键是灵活运用折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理、平行线性质和一次函数相关知识逐步求解，注重对基础性质运用和方程思想的考察。
【难度系数】
0.7