20. 如图，在等边三角形ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是。

20.4

【分析】
解题时先从已知条件梳理可用性质：1. 等边三角形ABC的三边相等、三个内角均为60°，可得AC=6，∠A=∠C=60°，结合AO=2可直接算出OC的长度；2. 旋转的性质可得OP=OD，∠POD=60°。接下来通过角的等量代换推导全等条件：平角为180°，因此∠AOP+∠COD=180°-∠POD=120°，同时在△AOP中，内角和为180°，因此∠AOP+∠APO=180°-∠A=120°，即可推出∠APO=∠COD，结合角相等和边相等的条件，可证明△AOP和△CDO全等，根据全等对应边相等即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AC=6，
∵AO=2，
∴OC=AC-AO=6-2=4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∵∠AOP+∠POD+∠COD=180°，
∴∠AOP+∠COD=180°-60°=120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠APO=∠COD \\OP=OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何中旋转结合动点的典型题型，解题核心是通过角的等量代换找到三角形全等的条件，熟练掌握等边三角形、旋转的性质以及全等三角形的判定方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.65

三、解答题(第21,22题每题9分,第23~25题每题10分,第26题12分,共60分)
21. 如图，P为△ABC内任意一点，求证：$AB + AC ＞ PB + PC$.

21. 如图，延长 BP 交 AC 于点 D，

在$△ ABD$中，$PB+PD＜AB+AD$①，
在$△ PCD$中，$PC＜PD+CD$②，
由①+②，得 $PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD$，
即 $PB+PC＜AB+AC,$ 即 $AB+AC＞PB+PC.$

【分析】
要证明线段和的不等关系，核心依据是三角形三边关系（两边之和大于第三边）。由于待比较的4条线段未在同一个三角形中，因此需要构造辅助线将线段拆分到不同三角形中：我们可以延长BP交AC于点D，得到△ABD和△PCD两个三角形，分别在两个三角形中利用三边关系列出不等式，再对不等式相加消去公共线段，即可推导出结论。
【解析】
1. 作辅助线：延长 BP 交 AC 于点 D，
2. 在$△ ABD$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得：$PB+PD＜AB+AD$ ①
3. 在$△ PCD$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得：$PC＜PD+CD$ ②
4. 将①和②左右两边分别相加，得：$PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD$
5. 两边同时减去PD，且$AD+CD=AC$，整理得：$PB+PC＜AB+AC$，即$AB+AC＞PB+PC$
【答案】
如图，延长 BP 交 AC 于点 D，
在$△ ABD$中，$PB+PD＜AB+AD$①，
在$△ PCD$中，$PC＜PD+CD$②，
由①+②，得 $PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD$，
即 $PB+PC＜AB+AC,$ 即 $AB+AC＞PB+PC.$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解决此类线段和不等关系的问题，关键是通过作辅助线将待比较的线段转化到多个三角形中，结合三边关系列不等式后，再通过不等式运算整理得到结论，延长线段构造三角形是这类题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7

22. 一个正数的平方根分别是$2a+5$和$2a-1$，$b-30$的立方根是$-3$，求：
(1)$a$，$b$的值；
(2)$a+b$的算术平方根。

22. (1)由题意，得 $(2a+5)+(2a-1)=0,b-30=(-3)^3=-27,$ 解得 $a=-1,b=3.$
(2)$\because a+b=-1+3=2,$
$\therefore a+b$ 的算术平方根是 $\sqrt{2}.$
方法诠释 本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型.

【分析】
解题思路：(1)求a值时，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，据此列一元一次方程即可求出a；求b值时，根据立方根的定义，若一个数的立方根是-3，则这个数等于-3的立方，据此列等式即可求出b。(2)先将a、b的值代入计算a+b的结果，再根据算术平方根是非负平方根的定义，求出a+b的算术平方根即可。
【解析】
(1)
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，即 $(2a+5)+(2a-1)=0$
解方程：$4a + 4 = 0$，解得 $a=-1$
又
∵ $b-30$ 的立方根是$-3$
根据立方根定义可得：$b - 30 = (-3)^3 = -27$
解得 $b = 30 - 27 = 3$
(2) 将$a=-1$，$b=3$代入得：$a+b = -1 + 3 = 2$
∵ 算术平方根是指非负数的非负平方根
∴ 2的算术平方根为$\sqrt{2}$，即$a+b$的算术平方根是$\sqrt{2}$
【答案】
(1) $a=-1$，$b=3$；(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平方根、立方根、算术平方根的相关概念与性质，熟练掌握各类根的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

23. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量$∠ ADC=90°$，$CD=6\ \mathrm{m}$，$AD=8\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？

23. 如图，连接 AC，

在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$AC^2=CD^2+AD^2=6^2+8^2=10^2,$
在 $△ ABC$ 中，$AB^2=26^2,BC^2=24^2,$
而 $10^2+24^2=26^2,$ 即 $AC^2+BC^2=AB^2,$
$\therefore ∠ ACB=90°.$
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AC· BC-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}× 10× 24-\frac{1}{2}× 8× 6$
$=96(\mathrm{m}^2).$
所以需费用 $96× 200=19\ 200(\mathrm{元}).$
故该空地上种植草皮共需 19 200 元.

【分析】
要计算种植草皮的总费用，首先需要求出四边形ABCD的面积。由于四边形ABCD是不规则图形，我们通过连接辅助线AC将其转化为两个三角形求解：首先在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；最后用△ACB的面积减去△ACD的面积得到四边形的面积，再乘以每平方米草皮的单价即可得到总费用。
【解析】
1. 连接AC，构造△ACD和△ABC。
2. 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，已知$CD=6\ \mathrm{m}$，$AD=8\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC^2=CD^2+AD^2=6^2+8^2=36+64=100$，即$AC=10\ \mathrm{m}$。
3. 在$△ABC$中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，计算可得：
$AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACB=90°$，即△ABC为直角三角形。
4. 计算四边形ABCD的面积：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ACB}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· BC-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×10×24-\frac{1}{2}×8×6=120-24=96(\mathrm{m}^2)$。
5. 计算总费用：每平方米草皮需200元，因此总费用为$96×200=19200$（元）。
【答案】
如图，连接 AC，

在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$AC^2=CD^2+AD^2=6^2+8^2=10^2,$
在 $△ ABC$ 中，$AB^2=26^2,BC^2=24^2,$
而 $10^2+24^2=26^2,$ 即 $AC^2+BC^2=AB^2,$
$\therefore ∠ ACB=90°.$
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AC· BC-\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}× 10× 24-\frac{1}{2}× 8× 6$
$=96(\mathrm{m}^2).$
所以需费用 $96× 200=19\ 200(\mathrm{元}).$
故该空地上种植草皮共需 19 200 元.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类问题，核心是通过添加辅助线将不规则四边形的面积问题转化为直角三角形的面积计算问题，既考查了勾股定理及逆定理的掌握情况，也锻炼了转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

24.如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$BE⊥ AC$于点$E$,$AD⊥ BC$于点$D$,$∠ BAD=45°$,$AD$与$BE$交于点$F$,连接$CF$.
(1)求证:$BF=2AE$;
(2)若$CD=\sqrt{2}$,求$AD$的长.

24. (1)$\because AD⊥ BC,∠ BAD=45°,$
$\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形. $\therefore AD=BD.$
$\because BE⊥ AC,AD⊥ BC,$
$\therefore ∠ ADC=∠ BDF=∠ BEC=90°.$
$\therefore ∠ CAD+∠ ACD=90°,∠ CBE+∠ ACD=90°.$
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE.$
在 $△ ADC$ 和 $△ BDF$ 中,$\begin{cases}∠ CAD=∠ FBD,\\AD=BD,\\∠ ADC=∠ BDF,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDF(\mathrm{ASA}).\therefore BF=AC.$
$\because AB=BC,BE⊥ AC,$
$\therefore AC=2AE.\therefore BF=2AE.$
(2)$AD=2+\sqrt{2}.$

【分析】
(1) 要证$BF=2AE$，结合$AB=BC$、$BE⊥AC$的条件，根据等腰三角形三线合一可得$AC=2AE$，因此只需证明$BF=AC$即可。先由$AD⊥BC$、$∠BAD=45°$推出$△ ABD$是等腰直角三角形，得到$AD=BD$，再利用同角的余角相等推出$∠CAD=∠FBD$，结合直角相等可证$△ ADC≌△ BDF$，即可得到$BF=AC$，完成等量替换即可得证。
(2) 求$AD$的长时，可将$AD$拆分为$AF+DF$，由(1)的全等结论得$DF=CD=\sqrt{2}$，再根据$BE$是$AC$的垂直平分线可得$AF=CF$，在$Rt△ CDF$中用勾股定理求出$CF$的长度，即可得到$AF$的长度，最终相加求出$AD$。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD⊥ BC$，$∠ BAD=45°$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD=BD$。
$\because BE⊥ AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BDF=∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ CAD+∠ ACD=90°$，$∠ CBE+∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE$。
在$△ ADC$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ CAD=∠ FBD,\\AD=BD,\\∠ ADC=∠ BDF,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF=AC$。
$\because AB=BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore AC=2AE$（等腰三角形三线合一），
$\therefore BF=2AE$。
(2) 解：
由(1)中$△ ADC≌△ BDF$可得$DF=CD=\sqrt{2}$。
$\because AB=BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore BE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AF=CF$。
在$Rt△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2+DF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
$\therefore AF=CF=2$，
$\therefore AD=AF+DF=2+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $2+\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形综合题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质和全等三角形完成线段的等量转换，既考查了基础定理的应用，也锻炼了几何推导中线段关系转化的逻辑思维，是几何部分的典型题型。
【难度系数】
0.65