21.(8分)数学探究
探究主题:月历中的数学

计算
发现
(1)用图2所示的“十”字形框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分),将位置A,B,C,D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次,再把它们的积相加,所得的和叫作这个“十”字形框架的“美好数”。尝试计算图1中“十”字形框架的“美好数”:$5×11+11×19+19×13+13×5=$。(2分)
猜想
说理
(2)移动“十”字形框架,多次尝试可以发现,每个“美好数”都与E位置上的数有关。请设出字母,用数学式子表示你发现的规律,并说明理由。(3分)
拓展
研究
(3)在另一张月历中,两个“十”字形框架如图3摆放,两个“十”字形框架E位置上的数分别为$a,b$,若两个“美好数”的差为1 280,求$a+b$。(3分)

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(2)解:设E位置上的数为x,$(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=4x^2$。理由如下:
$(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=x^2-8x+7+x^2+6x-7+x^2+8x+7+x^2-6x-7=4x^2$。
(3)解:因为$4a^2-4b^2=4(a^2-b^2)=4(a+b)(a-b)=1280$,即$(a+b)(a-b)=320$。由题图3得a-b=10,所以a+b=32。