1. (2024·青海中考改编) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$D$ 是 $AC$ 的中点, $∠ BDC=60°, AC=6$, 则 $BC$ 的长是（）

A.3
B.4
C.5
D.6

1. A 解析:
∵ 点 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点, AC = 6,
∴ $BD=CD=AD=\frac{1}{2}AC=3$.
∵ $∠BDC=60°$,
∴ △BCD 为等边三角形,
∴ $BC=BD=3$.故选 A.

2. (2026·温州期中) 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$分别为边$AB,BC$上的中点,连接$AE,DE$,若$∠ AED=20°$,则$∠ C$的度数为（）

A.$70°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$30°$

2. A 解析:
∵ $AB=AC$,点 E 为边 BC 上的中点,
∴ $AE⊥ BC$, $∠B=∠C$,
∴ $∠AEB=90°$.
∵ $∠AED=20°$,
∴ $∠DEB=70°$.
∵ 点 D 为边 AB 上的中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB=DB$,
∴ $∠B=∠DEB=70°$,
∴ $∠C=70°$.故选 A.

3. (2025·宿迁期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AB=10, AC=8, BC=6$, 线段 $DE$ 的两个端点 $D,E$ 分别在边 $AC,BC$ 上滑动, 且 $DE=4$, 若 $M,N$ 分别是 $DE,AB$ 的中点, 则 $MN$ 的最小值为
（）

A.2
B.3
C.3.5
D.4

3. B 解析: 如图,连接 CM,CN,在△ABC 中, $∠ACB=90°$,$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$.
∵ $DE=4$,M,N 分别是 DE,AB 的中点,
∴ $CN=\frac{1}{2}AB=5$, $CM=\frac{1}{2}DE=2$.
∵ $MN≥ CN-CM$,
∴ 当点 C,M,N 在同一直线上时,MN 取最小值,
∴ MN 的最小值为 5-2=3.故选 B.

4. 如图,四边形 $ABCD$ 中,$∠ ABD=∠ ACD=90°$,
$P$ 是边 $AD$ 的中点.若 $BC=3,AD=8$,则 $△ BPC$
的周长为.

4. 11 解析:
∵ $∠ABD=∠ACD=90°$,P 是边 AD 的中点,
∴ $PB=PC=\frac{1}{2}AD$.
∵ $AD=8$,
∴ $PB=PC=\frac{1}{2}×8=4$,
∴ △BPC 的周长 $=PB+PC+BC=4+4+3=11$.

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上的一点,$AB=AD$,$E,F$分别是$AC,BD$的中点,若$EF=3$,则$AC$的长是.

5. 6 解析: 如图,连接 AF,
∵ $AB=AD$,F 是 BD 的中点,
∴ $AF⊥ BD$.又
∵ 在 Rt△ACF 中,E 是 AC 的中点, $EF=3$,
∴ $AC=2EF=6$.

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=90°$,
$E$为对角线$AC$的中点,连接$BE,ED,BD$.若$∠ BAD=58°$,则$∠ EBD$的度数为$°$.

6. 32 解析:
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$,E 为对角线 AC 的中点,
∴ $AE=BE=DE$,
∴ $∠BAE=∠ABE$, $∠DAE=∠ADE$,
∴ $∠BED=∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE=2∠BAD=116°$.
∵ $DE=BE=\frac{1}{2}AC$,
∴ $∠EBD=∠EDB=\frac{1}{2}×(180°-116°)=32°$.

7. 如图①,在$△ ABC$中,$CD,BE$分别是$AB,AC$边上的高线,$M,N$分别是线段$BC,DE$的中点.
(1)求证:$MN⊥ DE$.
(2)连接$DM,ME$,猜想$∠ A$与$∠ DME$之间的关系,并说明理由.
(3)若将锐角三角形$ABC$变为钝角三角形$ABC$,其余条件不变,如图②,则$∠ BAC$与$∠ DME$之间的关系为.

7. (1) 如图①,连接 DM,ME,
∵ CD,BE 分别是 AB,AC 边上的高线,M 是 BC 的中点,
∴ $DM=\frac{1}{2}BC$, $ME=\frac{1}{2}BC$,
∴ $DM=ME$.又
∵ N 为 DE 的中点,
∴ $MN⊥ DE$.

(2) $∠DME=180°-2∠A$.理由如下:在△ABC 中, $∠ABC+∠ACB=180°-∠A$,
∵ $DM=ME=BM=MC$,
∴ $∠ABC=∠BDM$, $∠ACB=∠CEM$,
∴ $∠BMD=180°-∠ABC-∠BDM=180°-2∠ABC$, $∠CME=180°-∠ACB-∠CEM=180°-2∠ACB$,
∴ $∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A$,
∴ $∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=180°-2∠A$.
(3) $∠DME=2∠BAC-180°$ 解析: 连接 DM,ME,如图②,
∵ CD,BE 分别是 AB,AC 边上的高线,M 是 BC 的中点,
∴ $DM=\frac{1}{2}BC$, $ME=\frac{1}{2}BC$,
∴ $DM=ME$,
∴ $DM=ME=BM=MC$,
∴ $∠ABC=∠ADM$, $∠ACB=∠AEM$,
∴ $∠BME=∠ACB+∠AEM=2∠ACB$, $∠CMD=∠ABC+∠ADM=2∠ABC$.在△ABC 中, $∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC$,
∴ $∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC$,
∴ $∠DME=180°-(∠BME+∠CMD)=180°-(360°-2∠BAC)=2∠BAC-180°$.