1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$D$是$△ ABC$外一点,$DC ⊥ AC$,连接$BD$.当$∠ DBC=45°$时,求证:$DC=AC$.

1. 如图,过点$ C $作$CE\bot AB$于点$ E$,作$CF\bot BD$交$ BD $的延长线于点$ F.\because ∠ ABC=∠ DBC=45^{\circ }$,$\therefore BC $为$∠ ABD$的平分线,$\therefore CE=CF$. 在四边形$ BECF $中,$\because ∠ EBF=∠ ABC+$$∠ DBC=90^{\circ }$,$∠ BEC=90^{\circ }$,$∠ BFC=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECF=90^{\circ }.$$\because ∠ ACD=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ACE+∠ ECD=∠ FCD+∠ ECD$,即$∠ ACE=∠ FCD.\because CE=CF$,$∠ CEA=∠ CFD=90^{\circ }$,$\therefore △ ACE≌$$△ DCF(\mathrm{ASA})$,$\therefore DC=AC$.

2. 如图, $△ A B C$ 为等腰直角三角形, $∠ B A C=90°$,
$A B=A C, D$ 是 $A C$ 上一点.
(1) 若 $∠ A E B=45°$, 求证: $C E ⊥ B D$;
(2) 若 $∠ A E C=135°$, 求证: $C E ⊥ B D$.

2. (1) 如图①,过点$ A $作$AF\bot AE$交$ BE $于点$ F.\because ∠ AEB=45^{\circ }$,$\therefore ∠ AFE=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$,$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形,易证得$△ ABF≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABE=∠ ACE$. 又$\because ∠ ADB=∠ EDC$,$∠ ABE+∠ ADB=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ACE+∠ EDC=$$90^{\circ }$,$\therefore ∠ BEC=90^{\circ }$,$\therefore CE\bot BD$.

(2) 如图②,过点$ A $作$AF\bot AE$交$ CE $的延长线于点$ F$.$\because ∠ AEC=135^{\circ }$,$\therefore ∠ AEF=45^{\circ }$,$\therefore ∠ AFE=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=$$45^{\circ }$,$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形,易证得$△ ABE≌ △ ACF$$(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABE=∠ ACE$. 又$\because ∠ ADB=∠ EDC$,$∠ ABE+$$∠ ADB=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ACE+∠ EDC=90^{\circ }$,$\therefore ∠ BEC=90^{\circ }$,$\therefore CE\bot$$BD$.
技法点拨
$AB=AC$,$∠ BAC=90^{\circ }$,$∠ APB=45^{\circ }$ 过点$ A $作$AD\bot AP$,构造等腰直角三角形$ ADP$ $△ ABD≌ △ ACP$,$CP\bot BP$
$AB=AC$,$∠ BAC=90^{\circ }$,$∠ APC=135^{\circ }$ 过点$ A $作$AD\bot AP$,构造等腰直角三角形$ ADP$ $△ ABP≌ △ ACD$,$CP\bot BP$
$AB=AC$,$∠ BAC=90^{\circ }$,$∠ APC=45^{\circ }$ 过点$ A $作$AD\bot AP$,构造等腰直角三角形$ ADP$ $△ ABD≌ △ ACP$,$PD\bot BD$

3. 如图①,$△ ABC$和$△ DCE$都是等腰直角三角形,点$D$在$AC$上,连接$BE$,取$BE$的中点$M$,连接$AM,DM$.
(1)$AM$与$DM$具有怎样的位置关系和数量关系? 请说明理由. 经过探究,小李得到了一种解题思路:如图②,延长$DM$交$AB$于点$N$,利用“三线合一”可证$AM ⊥ DM$,且$AM=DM$.请利用小李的思路将完整的解题过程写出来.
(2)如图③,若将$△ DCE$绕点$C$逆时针旋转$45^{ \circ }$,即恰好使$AC ⊥ CE$,$DC$平分$∠ ACE$,则$AM$与$DM$具有怎样的位置关系和数量关系? 请说明理由.
(3)若将$△ DCE$绕点$C$逆时针旋转任意角度,如图④,则$AM$与$DM$具有怎样的位置关系和数量关系?(直接写出结果)

3. (1)$\because △ ABC$和$△ DCE$都是等腰直角三角形,$\therefore DE// AB$.又$\because M $为$ BE $的中点,$\therefore $易证$△ MDE≌ △ MNB(\mathrm{ASA})$,$\therefore DE=BN=DC$,$DM=MN$.$\because △ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore AC=AB$,$\therefore AN=AD$. 在等腰直角$△ ADN$中,$M $为$ DN $的中点,$\therefore AM\bot DM$,$AM=DM$.
(2)$AM\bot DM$,$AM=DM$. 理由: 延长$ DM $交$ BC $于$ N$,连接$ AN$,$AD$. 如图①,$\because ∠ DEC+∠ BCE=180^{\circ }$,$\therefore DE// BC$,$\therefore $易证$△ MDE≌ △ MNB(\mathrm{ASA})$,$\therefore BN=DE=DC$,$DM=$$MN$,$\therefore △ ABN≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ BAN=∠ CAD$,$AN=AD$.$\because ∠ BAN+∠ CAN=90^{\circ }$,则$∠ CAD+∠ CAN=90^{\circ }$,$\therefore △ ADN$为等腰直角三角形. 在等腰直角$△ ADN$中,$M $为$ DN $的中点,$\therefore AM\bot DM$,$AM=DM$.

(3)$AM\bot DM$,$AM=DM$. 解析:过点$ B $作$BN// DE$,交$ DM$的延长线于点$ N$,连接$ AN$,$AD$. 如图②,$\therefore $易证$△ MDE≌$$△ MNB(\mathrm{ASA})$,$\therefore ∠ BNM=∠ EDM$,$DM=MN$,$BN=DE=DC$.记$ AC $与$ DM $的交点为$ F$,在四边形$ ABNF $和四边形$ CEDF$中,$∠ BNF=∠ EDF$,$∠ AFN=∠ CFD$,$\therefore ∠ ABN+∠ BAF=$$∠ DEC+∠ FCE$,则$45^{\circ }+∠ FCE=∠ ABN+90^{\circ }$.$\because ∠ BCE=$$∠ FCE+∠ BCA=∠ FCE+45^{\circ }$,$\therefore ∠ ABN+90^{\circ }=∠ BCE$,且$∠ BCE=∠ ACD+∠ ECD+∠ BCA=∠ ACD+90^{\circ }$,$\therefore ∠ ABN=$$∠ ACD$,$\therefore △ ABN≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=AN$,$∠ CAD=$$∠ BAN$,$\therefore ∠ DAN=∠ CAD+∠ CAN=∠ CAN+∠ BAN=$$∠ BAC=90^{\circ }$,$\therefore △ ADN$为等腰直角三角形. 在等腰直角三角形$ ADN $中,$M $为$ DN $的中点,$\therefore AM\bot DM$,$AM=DM$.