16. (2025·福建中考)如图,$△ ABC$是等边三角形,$D$是$AB$的中点,$CE ⊥ BC$,垂足为$C$,$EF$是由$CD$沿$CE$方向平移得到的.已知$EF$过点$A$,$BE$交$CD$于点$G$.
(1)$∠ DCE$的大小为;
(2)求证:$△ CEG$是等边三角形.

16. (1) $60°$ 解析: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB=60°.$ $\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\dfrac{1}{2}∠ ACB=30°.$ $\because CE⊥ BC, \therefore ∠ BCE=90°, \therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°.$
(2) 由平移可知 $CD// EF, \therefore ∠ EAC=∠ DCA=30°.$ 又 $∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°, \therefore ∠ EAC=∠ ECA, \therefore AE=$ $CE, ∠ AEC=120°.$ 又 $\because AB=CB, \therefore BE$ 垂直平分 $AC,$ $\therefore ∠ GEC=\dfrac{1}{2}∠ AEC=60°.$ 由 (1) 知, $∠ GCE=60°,$ $\therefore ∠ EGC=60°, \therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC, \therefore △ CEG$ 是等边三角形.

17. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AC$于点$E$,点$D$为$AB$上一点,且$AD=AC$,$CD$,$BE$交于点$M$.
(1)$∠ DMB$的度数为;
(2)若$CE=1$,则$AD$的长度为;
(3)若$CH⊥ BE$于点$H$,证明:$AB=4MH$.

17. (1) $45°$ 解析: $\because ∠ A=30°, AD=AC, \therefore ∠ ADC=∠ ACD=$ $\dfrac{1}{2}×(180°-30°)=75°.$ 又 $\because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ABC=60°.$ $\because BE$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABE=30°, \therefore ∠ DMB=∠ ADC-$ $∠ ABE=75°-30°=45°.$
(2) 3 解析: $\because ∠ ABE=∠ CBE=30°, \therefore BE=2CE=2.$ $\because ∠ ABE=∠ A=30°, \therefore AE=BE=2, \therefore AC=3, \therefore AD=$ $AC=3.$
(3) $\because CH⊥ BE, \therefore ∠ CHB=90°. \because ∠ HMC=∠ DMB=45°,$ $\therefore ∠ HCM=∠ HMC=45°, \therefore HM=HC. \because ∠ CHB=90°,$ $∠ EBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°, \therefore HC=HM=\dfrac{1}{2}BC. \because ∠ A=30°,$ $∠ ACB=90°, \therefore BC=\dfrac{1}{2}AB, \therefore AB=2BC=4MH.$

18. (2025·盐城期末)如图①和图②,点 O 是线段 A C 的中点, $O B ⊥ A C, ∠ A B O=30°$.
(1) 如图 ①, 按边分类, $△ A B C$ 的形状为;
(2)如图①,若点 D 在射线 AC 上,点 D 在点C 右侧,且$△ BDQ$是等边三角形,QC 的延长线交直线 BO 于点 P,求证:$PC=BC$;
(3)如图②,若点 M 在线段 BC 上,$△ OMN$是等边三角形,求$∠ OCN$的度数.

18. (1) 等边三角形 解析: $\because$ 点 $O$ 是线段 $AC$ 的中点, $\therefore OA=$ $OC. \because OB⊥ AC, \therefore ∠ AOB=∠ COB=90°.$ 在 $△ AOB$ 与 $△ COB$ 中, $\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ AOB=∠ COB=90°, \\ OB=OB, \end{cases} \therefore △ AOB≌$ $△ COB\ (\mathrm{SAS}), \therefore AB=BC, ∠ ABO=∠ CBO=30°,$ $\therefore ∠ ABC=30°+30°=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形.
(2) $\because △ BDQ$ 是等边三角形, $△ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=BC, BQ=BD, ∠ ABC=∠ DBQ=60°, \therefore ∠ ABC+$ $∠ CBD=∠ DBQ+∠ CBD,$ 即 $∠ ABD=∠ CBQ.$ 在 $△ ABD$ 与 $△ CBQ$ 中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBQ, \\ BD=BQ, \end{cases} \therefore △ ABD≌△ CBQ(\mathrm{SAS}),$ $\therefore ∠ A=∠ BCQ=60°. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB=60°,$ $\therefore ∠ PCO=180°-60°-60°=60°=∠ A.$ 在 $△ ABO$ 与 $△ CPO$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ PCO, \\ OA=OC, \\ ∠ AOB=∠ COP=90°, \end{cases} \therefore △ ABO≌△ CPO(\mathrm{ASA}),$ $\therefore AB=PC. \because AB=BC, \therefore PC=BC.$
(3) 如图, 作 $OE// AB$ 交 $BC$ 于点 $E,$ 则 $∠ COE=∠ A=60°,$ $∠ OEC=∠ ABC=60°, \therefore ∠ COE=∠ OEC=∠ OCE=60°,$ $∠ OEM=180°-∠ OEC=120°, \therefore △ OEC$ 是等边三角形, $\therefore OE=OC. \because △ OMN$ 是等边三角形, $\therefore OM=ON, ∠ MON=$ $60°, \therefore ∠ EOM=∠ CON=60°-∠ EON.$ 在 $△ EOM$ 和 $△ CON$ 中, $\begin{cases} OE=OC, \\ ∠ EOM=∠ CON, \\ OM=ON, \end{cases} \therefore △ EOM≌△ CON(\mathrm{SAS}),$ $\therefore ∠ OEM=∠ OCN=120°, \therefore ∠ OCN$ 的度数是 $120°.$