8. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB=AD, CB=$$CD$,若 $E$ 是 $CD$ 上任意一点, 连接 $BE$ 交 $AC$于点 $F$,连接 $DF$. 求证: $△ CBF ≌ △ CDF$.

8. 在△ABC 和△ADC 中,$\begin{cases} AB=AD, \\ CB=CD, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BCA=∠DCA.
在△CBF 和△CDF 中,$\begin{cases} CB=CD, \\ ∠BCF=∠DCF, \\ CF=CF, \end{cases}$
∴△CBF≌△CDF(SAS).

9. 新情境 轮船航行 （2025·辽宁鞍山铁东区期中）如图，O 为码头，A，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB 为海岸线，一轮船离开码头，计划沿$∠ AOB$的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔 A 和灯塔 B 的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由.

9. 轮船航行时没有偏离航线.理由如下：
由题意知，假设轮船在 D 处，则 DA=DB,AO=BO.
在△ADO 和△BDO 中,$\begin{cases} AD=BD, \\ DO=DO, \\ AO=BO, \end{cases}$
∴△ADO≌△BDO(SSS),
∴∠AOD=∠BOD,即 OD 为∠AOB 的平分线，
∴轮船航行时没有偏离航线.

10. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AD// BC,AB=$$DC=AD,BD=AC,BD,AC$ 相交于点 $O$.
(1)求证:$△ ABO≌△ DCO$;
(2)写出图中所有与$∠ ACB$相等的角.

精题详解

10. (1)在△BDA 和△CAD 中,$\begin{cases} BA=CD, \\ AD=DA, \\ BD=CA, \end{cases}$
∴△BDA≌△CAD(SSS),
∴∠ABD=∠DCA.
在△ABO 和△DCO 中,$\begin{cases} ∠AOB=∠DOC, \\ ∠ABO=∠DCO, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)题图中与∠ACB 相等的角是∠ABD,∠ADB,∠DAC,∠DBC,∠DCA.理由如下：
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠ACB,∠ADB=∠DBC.
∵AB=AD=DC,
∴∠ABD=∠ADB,∠DAC=∠DCA,
∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.
由(1)知,△ABO≌△DCO,
∴OA=OD,
∴∠DAC=∠ADB,
∴∠ACB = ∠ABD = ∠ADB = ∠DAC = ∠DBC = ∠DCA,即题图中与∠ACB 相等的角是∠ABD,∠ADB,∠DAC,∠DBC,∠DCA.

11. (2024·内江中考) 如图,点 A,D,B,E 在同一条直线上,$AD=BE$,$AC=DF$,$BC=EF$.
(1)求证:$△ ABC≌△ DEF$;
(2)若$∠ A=55°$,$∠ E=45°$,求$∠ F$的度数.

精题详解

11. (1)
∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE.
在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1)可知△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°.
∵∠E=45°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.

12. (2023·云南中考) 如图，$C$ 是 $BD$ 的中点，$AB = ED$，$AC = EC$。求证：$△ ABC ≌ △ EDC$。

12.
∵C 是 BD 的中点,
∴BC=DC.
在△ABC 和△EDC 中,$\begin{cases} AB=ED, \\ AC=EC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(SSS).