5. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的顶点$C$与原点$O$重合,点$B$在$y$轴的正半轴上,点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点$D$的坐标为$(3,4)$.
(1)菱形$ABCD$的边长为;
(2)求$k$的值;
(3)若将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移,当菱形的顶点$D$落在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移的距离.

(1)5
(2)解:$\because$ 菱形 $ABCD$ 的边长为 $5$,
$\therefore OD=AD=5$,$AD // OB$.
$\because D(3,4)$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,9)$,
代入 $y=\dfrac{k}{x}$, 得 $k=27$.
(3)解:将菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移, 使得点 $D$ 落在函数 $y=\dfrac{27}{x}(x＞0)$ 的图象上点 $D'$ 处,
$\therefore$ 点 $D'$ 的纵坐标为 $4$.
$\because$ 点 $D'$ 在 $y=\dfrac{27}{x}$ 的图象上,$\therefore 4=\dfrac{27}{x}$,
解得 $x=\dfrac{27}{4}$,$\dfrac{27}{4}-3=\dfrac{15}{4}$,
即菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移的距离为 $\dfrac{15}{4}$.

【分析】
首先解决第一问：菱形的边长等于CD的长度，点C和原点重合，已知D点坐标(3,4)，直接用勾股定理计算原点到D点的距离即可得到边长。第二问利用菱形四边相等、对边平行的性质，AD平行于y轴（OB在y轴上），AD长度等于边长5，因此A点横坐标和D点相同，纵坐标为D点纵坐标加AD长度，得到A点坐标后代入反比例函数就能求出k。第三问中菱形沿x轴正方向平移时，所有点的纵坐标保持不变，平移后的D点纵坐标仍为4，代入已求出的反比例函数解析式算出平移后D点的横坐标，减去原D点的横坐标3，就得到平移的距离。
【解析】
(1) 已知点D坐标为$(3,4)$，点C与原点O重合即$C(0,0)$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，菱形四边长度相等，因此菱形ABCD的边长为5。
(2) 因为菱形ABCD的边长为5，所以$AD=CD=5$，且$AD// OB$，OB在y轴上，因此AD平行于y轴。
由$D(3,4)$可得A点横坐标与D点相同为3，A点纵坐标为$4+5=9$，即$A(3,9)$。
将$A(3,9)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$9=\dfrac{k}{3}$，解得$k=27$。
(3) 菱形沿x轴正方向平移时，点的纵坐标不发生变化，因此平移后落在反比例函数图象上的点$D'$的纵坐标仍为4。
将$y=4$代入$y=\dfrac{27}{x}$，得$4=\dfrac{27}{x}$，解得$x=\dfrac{27}{4}$。
原D点横坐标为3，因此平移的距离为$\dfrac{27}{4}-3=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
(1) $5$；(2) $k=27$；(3) $\dfrac{15}{4}$
【知识点】
勾股定理，菱形的性质，反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数与菱形、坐标平移结合的基础综合题，核心是利用菱形对边平行、四边相等的性质快速确定点A的坐标，同时掌握平移过程中点的坐标变化规律，整体计算难度低，侧重对基础几何性质和函数性质的综合运用。
【难度系数】
0.7

6. 如图,一次函数 $y=2x+b$ 的图象经过点 $A(-1,0)$, 并与反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $B(m,4)$.
(1)求 $k_1$ 的值;
(2)以 $AB$ 为一边, 在 $AB$ 的左侧作正方形 $ABCD$, 求点 $C$ 的坐标;
(3)将正方形 $ABCD$ 沿着 $x$ 轴向右平移 $n$ 个单位长度, 得到正方形 $A_1B_1C_1D_1$, 线段 $A_1B_1$ 的中点为 $E_1$, 若点 $C_1$ 和点 $E_1$ 同时落在反比例函数 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 的图象上, 求 $n$ 的值.

解:(1)$\because$ 一次函数 $y=2x+b$ 的图象经过点 $A(-1,0)$,
$\therefore 0=-2+b$, 解得 $b=2$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+2$.
当 $y=4$ 时,$2x+2=4$,
解得 $x=1$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(1,4)$.
$\because y=\dfrac{k_1}{x}$ 的图象过点 $B$,
$\therefore 4=\dfrac{k_1}{1}$,$\therefore k_1=1 × 4=4$.
(2)如答图, 过点 $B$,$D$ 分别作 $BM ⊥ x$ 轴,$DN ⊥ x$ 轴, 垂足分别为 $M$,$N$, 过点 $C$,$D$ 分别作 $y$ 轴,$x$ 轴的平行线,相交于点 $P$.

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
易证 $△ ABM ≌ △ DAN ≌ △ DCP$,
则 $AN=BM=CP=4$,$DN=DP=AM=2$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(-3,6)$.
(3)$\because A(-1,0)$,$B(1,4)$,
$\therefore$ 线段 $AB$ 的中点 $E$ 的坐标为 $(0,2)$. 点 $C(-3,6)$,$E(0,2)$ 沿着 $x$ 轴向右平移 $n$ 个单位长度可得 $C_1(-3+n,6)$,$E_1(n,2)$.
$\because$ 点 $C_1$ 和点 $E_1$ 同时落在反比例函数 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 的图象上,
$\therefore (-3+n) × 6=2n$, 解得 $n=\dfrac{9}{2}$.

【分析】
这道题是函数与几何的综合题，我们可以分三小问逐步拆解思路：
1. 第一问求$k_1$：首先已知一次函数过点A，直接用待定系数法代入A点坐标求出b，得到完整的一次函数解析式；再把B点的纵坐标代入一次函数，算出B点的横坐标，得到B点完整坐标，最后把B点代入反比例函数就能求出$k_1$。
2. 第二问求点C的坐标：已知ABCD是正方形，AB是边，我们可以过点B、D向x轴作垂线，构造直角三角形，利用正方形邻边相等、内角为90°的性质，证明得到的直角三角形全等，通过全等三角形对应边相等，算出点C相对于点B的横纵坐标偏移量，最终得到C点坐标。
3. 第三问求平移的n值：根据平移的性质，点沿x轴向右平移n个单位时，横坐标增加n，纵坐标保持不变，先写出平移后$C_1$和AB中点平移后的$E_1$的坐标；因为两个点都在同一个反比例函数上，反比例函数上任意点的横纵坐标乘积都等于$k_2$，因此可以列出等式求解n。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=2x+b$经过点$A(-1,0)$，将A点坐标代入解析式：
$0 = 2×(-1) + b$，解得$b=2$，
因此一次函数的表达式为$y=2x+2$。
将点$B(m,4)$代入$y=2x+2$，得$2m+2=4$，解得$m=1$，
因此点B的坐标为$(1,4)$。
因为反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$过点B，代入B点坐标得$4 = \frac{k_1}{1}$，解得$k_1=4$。
(2) 过点B作$BM⊥ x$轴，垂足为M，过点D作$DN⊥ x$轴，垂足为N，过点C、D分别作平行于y轴、x轴的直线，两线交于点P。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=AD=DC$，$∠ BAD=∠ ADC=90°$，
可证得$△ ABM ≌ △ DAN ≌ △ DCP$，
由$A(-1,0)$、$B(1,4)$可得$AM=1 - (-1)=2$，$BM=4$，
根据全等三角形对应边相等，得$AN=BM=4$，$DN=CP=AM=2$，$DP=4$，
因此从点B向左平移4个单位，向上平移2个单位即可得到点C，计算得C的坐标为$(1-4,4+2)$，即$(-3,6)$。
(3) 已知$A(-1,0)$，$B(1,4)$，因此线段AB的中点E的坐标为$(\frac{-1+1}{2}, \frac{0+4}{2})$，即$E(0,2)$。
将正方形沿x轴向右平移n个单位，所有点横坐标加n，纵坐标不变，因此平移后：
$C_1$的坐标为$(-3 + n, 6)$，$E_1$的坐标为$(0 + n, 2)$。
因为$C_1$和$E_1$都在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，因此两点横纵坐标的乘积相等：
$6×(-3 + n) = 2× n$，
展开得$-18 + 6n = 2n$，解得$4n=18$，$n=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$k_1=4$；
(2)点C的坐标为$(-3,6)$；
(3)$n=\frac{9}{2}$。

【知识点】
待定系数法求函数解析式，正方形性质，坐标平移规律
【点评】
本题属于函数几何综合题，难度设置分层递进，第一问考察基础的待定系数法，属于基础得分点；第二问需要构造全等三角形求解正方形顶点坐标，是典型的坐标几何转化技巧，考察学生的数形结合能力；第三问结合平移性质和反比例函数的核心特征列方程，计算难度低，整体兼顾基础和能力考察，适合作为中档综合训练题。
【难度系数】
0.5