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1.(2025·海安月考)如图,在平面直角坐标系中,菱形$OABC$的边$OC$在$x$轴负半轴上,函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象经过顶点$A$和对角线$OB$的中点$D$,$AE// OB$交$y$轴于点$E$,若$△ AOE$的面积为$5$,则$k$的值为
$-\dfrac{40}{3}$
.答案
1. $-\dfrac{40}{3}$
解析
【分析】
我们的解题思路是：1. 利用菱形的性质，得到AB平行于x轴，因此点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，再结合平行四边形对角线中点坐标公式，得到OB中点D的坐标和A点坐标的关系。2. 由于A、D两点都在反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上，代入两点坐标得到关系式，推导得出A点横坐标与菱形边长的关系。3. 利用AE平行于OB的条件，求出直线AE与y轴交点E的纵坐标，再结合$△ AOE$的面积为5的条件，代入面积公式整体代换即可求解得到k的值，避免复杂的根号运算。
【解析】
解：设菱形OABC的边长为a，即$OA=AB=OC=a$，点A的坐标为$(x_A, y_A)$，其中$x_A＜0$，$y_A＜0$。
1. 由菱形性质可知，$AB// OC$，OC在x轴上，因此点B的纵坐标与点A相等，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(-a,0)$，故点B的坐标为$(x_A - a, y_A)$。
2. D是OB的中点，由中点坐标公式得D的坐标为$( \dfrac{x_A - a}{2}, \dfrac{y_A}{2} )$。
3. 因为点A和点D都在函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上，代入得：
对A点：$x_A y_A = -k$ ①
对D点：$\dfrac{x_A - a}{2} · \dfrac{y_A}{2} = -k$，整理得$y_A(x_A - a) = -4k$，即$x_A y_A - a y_A = -4k$ ②
将①代入②：$-k - a y_A = -4k$，化简得$a y_A = 3k$，即$y_A = \dfrac{3k}{a}$。
再将$y_A = \dfrac{3k}{a}$代入①，约去非零的k，得$x_A = -\dfrac{a}{3}$。
4. 直线OB的斜率$k_{OB} = \dfrac{y_A}{x_A - a} = \dfrac{y_A}{-\dfrac{a}{3} - a} = -\dfrac{3y_A}{4a}$，因为$AE// OB$，所以直线AE的斜率等于$k_{OB}$。
设直线AE的解析式为$y = -\dfrac{3y_A}{4a} x + b$，将点A$(-\dfrac{a}{3}, y_A)$代入，解得$b = \dfrac{3y_A}{4}$，即E点坐标为$(0, \dfrac{3y_A}{4})$。
5. 计算$△ AOE$的面积：A点到y轴的距离为$|x_A| = \dfrac{a}{3}$，OE的长度为$|b| = -\dfrac{3y_A}{4}$（因$y_A＜0$），因此：
$S_{△ AOE} = \dfrac{1}{2} · |OE| · |x_A| = \dfrac{1}{2} · (-\dfrac{3y_A}{4}) · \dfrac{a}{3} = -\dfrac{a y_A}{8}$
已知$S_{△ AOE}=5$，因此$-\dfrac{a y_A}{8}=5$，即$-a y_A = 40$。
结合$a y_A = 3k$，代入得$-3k=40$，解得$k=-\dfrac{40}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{40}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，菱形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与菱形的几何综合题，解题核心是利用反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值的特点，结合中点坐标公式推导坐标关系，通过整体代换简化计算，不需要求解额外未知量，对学生的几何性质运用和代数化简能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.3
我们的解题思路是：1. 利用菱形的性质，得到AB平行于x轴，因此点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，再结合平行四边形对角线中点坐标公式，得到OB中点D的坐标和A点坐标的关系。2. 由于A、D两点都在反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上，代入两点坐标得到关系式，推导得出A点横坐标与菱形边长的关系。3. 利用AE平行于OB的条件，求出直线AE与y轴交点E的纵坐标，再结合$△ AOE$的面积为5的条件，代入面积公式整体代换即可求解得到k的值，避免复杂的根号运算。
【解析】
解：设菱形OABC的边长为a，即$OA=AB=OC=a$，点A的坐标为$(x_A, y_A)$，其中$x_A＜0$，$y_A＜0$。
1. 由菱形性质可知，$AB// OC$，OC在x轴上，因此点B的纵坐标与点A相等，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(-a,0)$，故点B的坐标为$(x_A - a, y_A)$。
2. D是OB的中点，由中点坐标公式得D的坐标为$( \dfrac{x_A - a}{2}, \dfrac{y_A}{2} )$。
3. 因为点A和点D都在函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上，代入得：
对A点：$x_A y_A = -k$ ①
对D点：$\dfrac{x_A - a}{2} · \dfrac{y_A}{2} = -k$，整理得$y_A(x_A - a) = -4k$，即$x_A y_A - a y_A = -4k$ ②
将①代入②：$-k - a y_A = -4k$，化简得$a y_A = 3k$，即$y_A = \dfrac{3k}{a}$。
再将$y_A = \dfrac{3k}{a}$代入①，约去非零的k，得$x_A = -\dfrac{a}{3}$。
4. 直线OB的斜率$k_{OB} = \dfrac{y_A}{x_A - a} = \dfrac{y_A}{-\dfrac{a}{3} - a} = -\dfrac{3y_A}{4a}$，因为$AE// OB$，所以直线AE的斜率等于$k_{OB}$。
设直线AE的解析式为$y = -\dfrac{3y_A}{4a} x + b$，将点A$(-\dfrac{a}{3}, y_A)$代入，解得$b = \dfrac{3y_A}{4}$，即E点坐标为$(0, \dfrac{3y_A}{4})$。
5. 计算$△ AOE$的面积：A点到y轴的距离为$|x_A| = \dfrac{a}{3}$，OE的长度为$|b| = -\dfrac{3y_A}{4}$（因$y_A＜0$），因此：
$S_{△ AOE} = \dfrac{1}{2} · |OE| · |x_A| = \dfrac{1}{2} · (-\dfrac{3y_A}{4}) · \dfrac{a}{3} = -\dfrac{a y_A}{8}$
已知$S_{△ AOE}=5$，因此$-\dfrac{a y_A}{8}=5$，即$-a y_A = 40$。
结合$a y_A = 3k$，代入得$-3k=40$，解得$k=-\dfrac{40}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{40}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，菱形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与菱形的几何综合题，解题核心是利用反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值的特点，结合中点坐标公式推导坐标关系，通过整体代换简化计算，不需要求解额外未知量，对学生的几何性质运用和代数化简能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.3
2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象与$y$轴交于点$C$,与反比例函数$y=$$\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A,B$两点,点$A$在第一象限,纵坐标为$4$,点$B$在第三象限,$BM⊥x$轴,垂足为$M,BM=OM=2.$
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接$OB,MC$,求四边形$MBOC$的面积.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接$OB,MC$,求四边形$MBOC$的面积.
答案
解:(1)$\because BM=OM=2$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-2,-2)$.
$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象经过点 $B$,
则 $-2=\dfrac{k}{-2}$, 解得 $k=4$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because$ 点 $A$ 的纵坐标是 $4$,$\therefore 4=\dfrac{4}{x}$, 解得 $x=1$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$.
$\because$ 一次函数 $y=mx+n(m ≠ 0)$ 的图象过点 $A(1,4)$,$B(-2,-2)$,
$\therefore \begin{cases} m+n=4,\\ -2m+n=-2,\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=2,\\ n=2,\\ \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+2$.
(2)$\because y=2x+2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$, 令 $x=0$,则 $y=2$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,2)$,
$\therefore OC=MB=2$.
$\because BM ⊥ x$ 轴,$\therefore MB // OC$,
$\therefore$ 四边形 $MBOC$ 是平行四边形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}MBOC}=OM · OC=4$.
$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象经过点 $B$,
则 $-2=\dfrac{k}{-2}$, 解得 $k=4$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because$ 点 $A$ 的纵坐标是 $4$,$\therefore 4=\dfrac{4}{x}$, 解得 $x=1$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$.
$\because$ 一次函数 $y=mx+n(m ≠ 0)$ 的图象过点 $A(1,4)$,$B(-2,-2)$,
$\therefore \begin{cases} m+n=4,\\ -2m+n=-2,\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=2,\\ n=2,\\ \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+2$.
(2)$\because y=2x+2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$, 令 $x=0$,则 $y=2$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,2)$,
$\therefore OC=MB=2$.
$\because BM ⊥ x$ 轴,$\therefore MB // OC$,
$\therefore$ 四边形 $MBOC$ 是平行四边形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}MBOC}=OM · OC=4$.
解析
【分析】
我们的解题思路分两部分推进：第一问求两个函数表达式，首先根据BM⊥x轴、BM=OM=2且B在第三象限的条件，直接确定点B的坐标；将B点代入反比例函数解析式即可求出参数k，得到反比例函数表达式；再利用点A的纵坐标为4，代入反比例函数求出A的横坐标，得到A点坐标；最后将A、B两点代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解m、n，得到一次函数表达式。第二问求四边形面积，先令一次函数x=0，求出y轴交点C的坐标，观察OC和MB的长度、位置关系，发现二者平行且相等，判定四边形MBOC是平行四边形，直接用平行四边形面积公式计算即可，也可通过分割为两个三角形的方法验证结果。
【解析】
(1) 由BM=OM=2，点B在第三象限，且BM⊥x轴，可得点B的坐标为$(-2,-2)$。
将$B(-2,-2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：$-2=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=4$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
已知点A的纵坐标为4，将$y=4$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$4=\dfrac{4}{x}$，解得$x=1$，因此点A的坐标为$(1,4)$。
将$A(1,4)$、$B(-2,-2)$代入一次函数$y=mx+n$，得到方程组：
$\begin{cases} m+n=4 \\ -2m+n=-2 \end{cases}$
两式相减得$3m=6$，解得$m=2$，代入$m+n=4$得$n=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x+2$。
(2) 对于一次函数$y=2x+2$，令$x=0$，得$y=2$，因此点C的坐标为$(0,2)$，可得$OC=2$。
由已知$BM=2$，因此$OC=BM=2$，又因为$BM⊥ x$轴，OC在y轴上，因此$BM// OC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形MBOC是平行四边形。
平行四边形的底为$OM=2$，高为$OC=2$，因此面积$S_{\mathrm{四边形}MBOC}=OM · OC=2×2=4$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+2$；(2) 四边形$MBOC$的面积为$4$
【知识点】
反比例函数求解析式，一次函数求解析式，平行四边形面积
【点评】
本题是反比例与一次函数的基础综合题型，核心考察函数图像上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过已知线段长度推导点坐标是解题的突破口，第二问无需复杂分割，利用坐标特征判定平行四边形即可快速计算面积，整体侧重基础，适合巩固函数相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路分两部分推进：第一问求两个函数表达式，首先根据BM⊥x轴、BM=OM=2且B在第三象限的条件，直接确定点B的坐标；将B点代入反比例函数解析式即可求出参数k，得到反比例函数表达式；再利用点A的纵坐标为4，代入反比例函数求出A的横坐标，得到A点坐标；最后将A、B两点代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解m、n，得到一次函数表达式。第二问求四边形面积，先令一次函数x=0，求出y轴交点C的坐标，观察OC和MB的长度、位置关系，发现二者平行且相等，判定四边形MBOC是平行四边形，直接用平行四边形面积公式计算即可，也可通过分割为两个三角形的方法验证结果。
【解析】
(1) 由BM=OM=2，点B在第三象限，且BM⊥x轴，可得点B的坐标为$(-2,-2)$。
将$B(-2,-2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：$-2=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=4$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
已知点A的纵坐标为4，将$y=4$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$4=\dfrac{4}{x}$，解得$x=1$，因此点A的坐标为$(1,4)$。
将$A(1,4)$、$B(-2,-2)$代入一次函数$y=mx+n$，得到方程组：
$\begin{cases} m+n=4 \\ -2m+n=-2 \end{cases}$
两式相减得$3m=6$，解得$m=2$，代入$m+n=4$得$n=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x+2$。
(2) 对于一次函数$y=2x+2$，令$x=0$，得$y=2$，因此点C的坐标为$(0,2)$，可得$OC=2$。
由已知$BM=2$，因此$OC=BM=2$，又因为$BM⊥ x$轴，OC在y轴上，因此$BM// OC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形MBOC是平行四边形。
平行四边形的底为$OM=2$，高为$OC=2$，因此面积$S_{\mathrm{四边形}MBOC}=OM · OC=2×2=4$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+2$；(2) 四边形$MBOC$的面积为$4$
【知识点】
反比例函数求解析式，一次函数求解析式，平行四边形面积
【点评】
本题是反比例与一次函数的基础综合题型，核心考察函数图像上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过已知线段长度推导点坐标是解题的突破口，第二问无需复杂分割，利用坐标特征判定平行四边形即可快速计算面积，整体侧重基础，适合巩固函数相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
3. 如图,矩形 $AOB C$ 的面积为 8, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象的一支经过矩形对角线的交点 $P$, 则该反比例函数的表达式是
[图]
第3题图
$y=-\dfrac{2}{x}$
.[图]
第3题图
答案
3. $y=-\dfrac{2}{x}$
解析
【分析】
我们可以按照三步思路解题：第一步，利用矩形对角线交点是中点的性质，过点P向x轴、y轴分别作垂线，推导得到P点与坐标轴围成的小矩形面积是原大矩形AOBC面积的1/4；第二步，结合反比例函数k的几何意义，双曲线上任意一点向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|，由此算出|k|的数值；第三步，根据图像所在的象限判断k的正负，避免遗漏符号得到错误结果。
【解析】
1. 辅助线绘制：过点P作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E。
2. 利用中位线性质推导小矩形面积：因为P是矩形AOBC对角线的交点，是对角线的中点，所以PD是△OBC的中位线，PE是△OAC的中位线，可得$PD=\frac{1}{2}AC$，$PE=\frac{1}{2}BC$。已知大矩形AOBC面积为8，即$|OA|·|OB|=8$，因此小矩形PEOD的面积为：
$S_{PEOD}=|PD|·|PE|=\frac{1}{2}|OB|·\frac{1}{2}|OA|=\frac{1}{4}×8=2$
3. 结合反比例函数k的几何意义：点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，因此$|k|=S_{PEOD}=2$，即$k=\pm2$。
4. 判断k的符号：由图可知反比例函数的这一支位于第二象限，因此$k＜0$，得$k=-2$。
最终得到反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，核心考查k的几何意义的应用，最容易出错的点是忽略图像所在象限直接取k=2，得到系数为正的错误解析式，解题时要注意结合图像位置判断k的符号。
【难度系数】
0.7
我们可以按照三步思路解题：第一步，利用矩形对角线交点是中点的性质，过点P向x轴、y轴分别作垂线，推导得到P点与坐标轴围成的小矩形面积是原大矩形AOBC面积的1/4；第二步，结合反比例函数k的几何意义，双曲线上任意一点向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|，由此算出|k|的数值；第三步，根据图像所在的象限判断k的正负，避免遗漏符号得到错误结果。
【解析】
1. 辅助线绘制：过点P作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E。
2. 利用中位线性质推导小矩形面积：因为P是矩形AOBC对角线的交点，是对角线的中点，所以PD是△OBC的中位线，PE是△OAC的中位线，可得$PD=\frac{1}{2}AC$，$PE=\frac{1}{2}BC$。已知大矩形AOBC面积为8，即$|OA|·|OB|=8$，因此小矩形PEOD的面积为：
$S_{PEOD}=|PD|·|PE|=\frac{1}{2}|OB|·\frac{1}{2}|OA|=\frac{1}{4}×8=2$
3. 结合反比例函数k的几何意义：点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，因此$|k|=S_{PEOD}=2$，即$k=\pm2$。
4. 判断k的符号：由图可知反比例函数的这一支位于第二象限，因此$k＜0$，得$k=-2$。
最终得到反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，核心考查k的几何意义的应用，最容易出错的点是忽略图像所在象限直接取k=2，得到系数为正的错误解析式，解题时要注意结合图像位置判断k的符号。
【难度系数】
0.7
4. (2025·甘孜州)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,四边形$OABC$为矩形,点$A$的坐标为$(4,0)$,点$C$的坐标为$(0,2)$,$D$为$BC$的中点.反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$D$,交$AB$于点$E$.
(1)求点$D$的坐标和$k$的值;
(2)延长$DE$交$x$轴于点$F$,求$△ AFE$的面积.
(1)求点$D$的坐标和$k$的值;
(2)延长$DE$交$x$轴于点$F$,求$△ AFE$的面积.
答案
解:(1)$\because$ 四边形 $OABC$ 为矩形, 点 $A$ 的坐标为 $(4,0)$,点 $C$ 的坐标为 $(0,2)$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$.
$\because D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(2,2)$.
将点 $D$ 的坐标代入 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$,
得 $k=2 × 2=4$,$\therefore k$ 的值为 $4$.
(2)由(1)知, 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$,
将 $x=4$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}$, 得 $y=1$,
$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(4,1)$.
设直线 $DE$ 的函数表达式为 $y=mx+n$,
则 $\begin{cases} 4m+n=1,\\ 2m+n=2,\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2},\\ n=3,\\ \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $DE$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
由 $-\dfrac{1}{2}x+3=0$, 得 $x=6$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,0)$,
$\therefore S_{△ AFE}=\dfrac{1}{2}AF · AE=\dfrac{1}{2} × (6-4) × 1=1$.
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$.
$\because D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(2,2)$.
将点 $D$ 的坐标代入 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$,
得 $k=2 × 2=4$,$\therefore k$ 的值为 $4$.
(2)由(1)知, 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$,
将 $x=4$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}$, 得 $y=1$,
$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(4,1)$.
设直线 $DE$ 的函数表达式为 $y=mx+n$,
则 $\begin{cases} 4m+n=1,\\ 2m+n=2,\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2},\\ n=3,\\ \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $DE$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
由 $-\dfrac{1}{2}x+3=0$, 得 $x=6$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,0)$,
$\therefore S_{△ AFE}=\dfrac{1}{2}AF · AE=\dfrac{1}{2} × (6-4) × 1=1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问求D点坐标和k值：首先利用矩形对边平行且相等的性质，由已知A(4,0)、C(0,2)的坐标，先推出点B的坐标为(4,2)；再根据D是BC中点，直接算出D的横纵坐标，最后将D点代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
2. 第二问求△AFE的面积：首先由第一问得到的反比例函数解析式，结合点E在AB上（AB上所有点的横坐标都为4），代入x=4求出E点坐标；接着用D、E两点的坐标，通过待定系数法求出直线DE的解析式，令直线解析式中y=0，算出它和x轴交点F的坐标；最后观察△AFE，它的底是线段AF的长度，高是E点的纵坐标，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 已知四边形OABC是矩形，A(4,0)，C(0,2)，
根据矩形性质，可得点B的坐标为(4,2)。
因为D是BC的中点，BC端点坐标为(0,2)和(4,2)，
所以D点横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为2，即D(2,2)。
将D(2,2)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{2}$，解得$k=2×2=4$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，
点E在AB上，AB上所有点的横坐标都为4，将x=4代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{4}=1$，
因此E点坐标为(4,1)。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，将D(2,2)、E(4,1)代入得方程组：
$\begin{cases} 2m + n = 2 \\ 4m + n = 1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2} \\ n=3 \end{cases}$
因此直线DE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
令y=0，即$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得x=6，所以F点坐标为(6,0)。
计算△AFE的面积：A点坐标为(4,0)，所以$AF=6-4=2$，AE的长度等于E点的纵坐标1，
代入三角形面积公式：$S_{△ AFE}=\dfrac{1}{2} × AF × AE = \dfrac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为(2,2)，k的值为4；(2) △AFE的面积为1。
【知识点】
矩形性质，待定系数法，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的基础综合题型，属于中考常考的基础题，解题逻辑清晰，只需要依次利用几何图形的坐标特征得到对应点坐标，再通过待定系数法求解函数解析式，最后代入面积公式计算即可，能很好地考察学生对函数基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问求D点坐标和k值：首先利用矩形对边平行且相等的性质，由已知A(4,0)、C(0,2)的坐标，先推出点B的坐标为(4,2)；再根据D是BC中点，直接算出D的横纵坐标，最后将D点代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
2. 第二问求△AFE的面积：首先由第一问得到的反比例函数解析式，结合点E在AB上（AB上所有点的横坐标都为4），代入x=4求出E点坐标；接着用D、E两点的坐标，通过待定系数法求出直线DE的解析式，令直线解析式中y=0，算出它和x轴交点F的坐标；最后观察△AFE，它的底是线段AF的长度，高是E点的纵坐标，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 已知四边形OABC是矩形，A(4,0)，C(0,2)，
根据矩形性质，可得点B的坐标为(4,2)。
因为D是BC的中点，BC端点坐标为(0,2)和(4,2)，
所以D点横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为2，即D(2,2)。
将D(2,2)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{2}$，解得$k=2×2=4$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，
点E在AB上，AB上所有点的横坐标都为4，将x=4代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{4}=1$，
因此E点坐标为(4,1)。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，将D(2,2)、E(4,1)代入得方程组：
$\begin{cases} 2m + n = 2 \\ 4m + n = 1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2} \\ n=3 \end{cases}$
因此直线DE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
令y=0，即$-\dfrac{1}{2}x+3=0$，解得x=6，所以F点坐标为(6,0)。
计算△AFE的面积：A点坐标为(4,0)，所以$AF=6-4=2$，AE的长度等于E点的纵坐标1，
代入三角形面积公式：$S_{△ AFE}=\dfrac{1}{2} × AF × AE = \dfrac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
(1) 点D的坐标为(2,2)，k的值为4；(2) △AFE的面积为1。
【知识点】
矩形性质，待定系数法，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的基础综合题型，属于中考常考的基础题，解题逻辑清晰，只需要依次利用几何图形的坐标特征得到对应点坐标，再通过待定系数法求解函数解析式，最后代入面积公式计算即可，能很好地考察学生对函数基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
